Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Величины (б<г,<д)<)г и (б<д/др) < называются скрытыми теплотами изменения объема и измююнил давленил,. Эпги величины всегда имеют противоположные знаки. Физический смысл (ббпр(0Р)< и (бС~/д)')г ясен, ио опи ие получили специэльвых названий. Их знаки всегда одинаковы. з 51) Устойчивость термодинамичесиого равновесия, 161 12. Остановимся в заключение еще на одном любопытном явлении, теоретически предсказанном В. Томсоном н экспериментально подтвержденном Джоулем. Последний экспериментально обнаружил, что резиновый жгут нагревается, если его быстро (адиабатичес'ки) растянуть. Отсюда Томсон сделал вывод, что при нагревании натянутого резинового жгута (прн постоянном натяжении) его длина должна сокращаться.
Этот вывод и был проверен на опыте Джоулем. Теория этого явления содержится в общих положениях, изложенных в настоящей параграфе. Элементарная работа при расширении жгута представляется выражением бА = — те(1. Роль объема 1е играет длина жгута 1, роль давления — натяжение т, взятое с противоположным знаком. Поэтолзу ясно, что вместо функции е. = е1 — То Я + Ро1' надо пользоваться фуякцией П вЂ” То8 — то1.
Тогда по теореме о знаках восемь величин (-'01). ИР). -(-';'-.-), (-'0г1-,). будут всегда иметь одинаковые знаки. Согласно опытам Джоуля производная (0Т101) з положительна. Поэтому для резины должно быть (011 0Т) „( ( О. А это и значит, что если натяжение т поддерживать постоянным, то при нагревании резинового жгута его длина должна умепыпаться. Болыпинство тел ведет себя иначе — при нагревании тела обычно расширяются. Такие тела прн адиабатическом растяжении должны охлаждаться.
Заьзетиьб что опытами П. Н. Лебедева (1866 — 1912) было показано, что ковффициент обьемного расширения натянутой резины положителен. Отсюда следует, что прн нагревании натянутого резинового жгута поперечные размеры ого уволичиваются. Натянутая розина, гакилз образом, есть тело анизотропное. Температурный коэффициент линейного расширения ее в направлении натяжения отрицателен, а вперпендикулярнолз направлении— положителен. В д. В. Сивухии. ЗО В Глава 1Ъ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 8 52. Уравнение теплопроводности 1.
В этой главе будут рассмогрены элементы люгпемалгаческой теории теплопрооодности. Основы этой теории были заложены французским математиком Фурье 11768-1830) в первой четверти Х1Х века. Естественно, что Фу.рье исходил из представлений теории теплорода, которой тогда пытались объяснить все тепловые явления. Эти представления неверны.
Но мы видели (см. з16), что если объем системы или давление поддерживаются постоянными, то явления протекают так, как если бы теплота была каким-то веществом, которое может только перемещаться в пространстве, но не может создаваться или уничтожаться. Если постоянен объем системы, то количество теплоты следует отождествить с внутренней энергией, а если постоянно давление, то — с энтальпней системы.
В обоих случаях математические основы теории теплопроводностн Фурье остаются верными. хотя их физическое обоснование не имеет ничего общего с представлениями, из которых исходил сам Фурье. В дальнейшем предполагается, что передача теплоты осуществляется исключительно путем теплообмена. Предполагается, что конвекции нет. В твердых телах это осуществляется само собой. В жидкостях же и газах надо позаботиться, чтобы конвекция была устранена: например, нагревать эти тела сверху. Точно так жс предполагается, что потерями теплоты на лучеиспускание можно пренебречь. Кроме того, будем предполагать, что обьем системы остается постоянным, так что никаких перемещений веп1ества в процессе передачи тенлотги не возникает.
Ограничимся, наконец, рассмотрением только одномерных задач. когда температура тела, помимо времени, зависит только от одной пространственной координаты. 2. В математической теории теплопроводностн распространение теплоты рассматривается подобно течению жидкости. Плотноспгью потока теплопил называется оектпор 1, совпадающий по направлению с цапраолтпим распростгранения тпеплоты, и числе~то раопый, количеству гпеплоты, проходящему о одну сскрпду через площадку о одип коадритньга сантиметр, перпендикулярную к направлению потока теплоты. Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет вектор 3 в одномерных задачах.
Пусть имеется неограниченная среда, в которой возникает поток теплоты в направлении, параллельном оси Х. В одномерном общем случае свойства среды и велнчйны, характеризующие тепловой поток. могут меняться в том жо направлении. Кроме того. онн могут Ураггнение теплопроводнвсти з 52) 163 меняться но времени. Поэтому плотность потока теплоты «следует рассматривать как функцию координаты х и времени 1: « = «(хг1).
Выделим мысленно в среде бесконечно длинную призму илн цилиндр с образующими, параллельными оси К, и рассмотрим бесконечно малый участок такого цилиндра АВ длины г)х (рис. 40). Пусть В плогцадь попе- А В речного сечения цилиндра. Количество теплоты, поступающее в цилиндр АВ «(х) «(х+дх) за время г)1 через основание А с коор- х хтдх, динатой т., равно «(х)Ваг1. Количество теплоты, уходящее за то же время через Рис.
40 основание. В, будет «(х + г)х)Вг11. Так как через боковую поверхность цилиндра теплота не поступает, то полное количество теплоты, поступающее за нремя гй через рассматриваемый участок цилиндра, равно [«(х) — «(х+ г)х)1 В г)1 = -(д«(дх)Вйх г«1. Но эту теплоту можно представить в виде г151 с„г)Т, где г«гИ = РВ г«х масса цилиндра АВ, с„удельная тсплосмкостли г)Т поиышенне температуры. Приравниная оба выражения и произнодя сокрапгение, получим дТ д1 Рс» ' д1 дх,' (52Л) 1 (52.2) где гх положительная постоянная, зависягцая только от материала пластинки и его физического состояния.
Эта постоянная называется теплопроводностью материала пластинки ') . ) Термин «теплопроводность» употреоляется в двух смыслах: то как явление ггередачи теплоты, то как коэффициента для коли гественнвго описан я этою явления. Игг контекста будет ясно, в каком смысле употребляется этот термин. Аналогичное замечание по терминологии относится и к другилю понятиям, как-то: тежператрропроводноппгь диффггзия, термодиффйзгт, вяэкоетгь поверхностное.
натяэхение н пр. Впрочем, перед некоторыми аналогичными понятвямн слово «коэффициент» необхолилю сохранять. Прилгсром может служить коэффициент концентрации диффузии (см. Э 92). 3. Теперь надо установить связь между плотностью потока теплоты и температурой среды Т.
Опыт показывает, что поток теплоты имеет место только тогда, когда температура среды меняется от точки к точке. Теплота течет всегда в направлении от высшей температуры к низшей. Простейшим является случай бесконечной однородной пластинки толп1ины 1. Если на одной плоской границе пластинки поддерживается температура Т,, а на другой температура Таг причем Т~ ) Т, то опыт показывает. что пггток теплоты пропорционален разггости тегнперитрр Тг — Т и обрапто проггориионаатг толщине пластинки 1.
Математически это можно представить в виде )Гл. 1>> Теплопроводяость Допустим, что ггластинка бесконечно тонкая. Если ось Х направлена в сторону понижения температуры, то 1 = дх, Т, = Т(х). Тв = Т(х+ Йх), '1' — Т, Т1х+ ат) — Тб ) 0Т 1 дх д* ' и формула (52Л ) переходит в ОТ 1= — и— дх (52.3) (52А) Это уравнение называется рраппег>ием теплоггрооодности. В частном случае, когда среда однородна, теплопроводность >е не зависит от температуры, уравнение принимает вид 0Т 0>Т рсп —, =я "' 01 0хэ ' (5>2.5) или 0Т 0Т 01 йд э> (52.6) где введено обозначение Ж Х (52.7) Настоянная Х называется темпсротуроприводцостью среды.
В среде могут оказатьсл источники теплоты. Например, теплота может выделяться в результате прохождения электрического тока или радиоактивного распада. Такие источники мы не принимали во внимание. Чтобы их учесть. введем величину о, равную количеству теплоты. выделяемому источниками в единице объема среды в одну Выражение (52.3) остается верным и в том случае, когда ось Х направлена в сторону повышения температуры, так как в этом случае — >1х, Тг =. Т(х + дх). Тт = Т>х). Оно также справед>гиво и в общем случае неоднородной среды с совершенно произвольным распределением тел>>>ературы, и притом не только слоистой среды, но и такой, свойства и температура которой являются функциями всех трех пространственных координат х, р, -.
Достаточно в рассматриваемой точке пространства направить ось Х в сторону максимального понижения или повьппения температуры и рассмотреть бесконечно тонкий слой., перпендикулярный к этому направлению, Такой слой может считаться однородным, и к нему применима, формула (52.3). '1'еплопроводность >в будет функцией всех трех пространственных координат х, у, -. В нашей одномерной задаче она будет зависеть только от одной пространственной координаты х: >г = >г)х). Если выражение (52.3) подставить в формулу (52.1), то получится У~ гтвние твплопровгп1постгг з 52) 165 секунду. Тогда вместо уравнения 152.1) следует писать дт дд рот — = — —, + д. дг, дх 152.8) В соответствии с этим изменятся и остальные уравнения.
4. В общем случае, когда свойства и температура среды зависят от всех трех пространственных координат х, у, =., уравнение теплопроводности, выражающее баланс теплоты в теле, имеет вид дТ г дд ддо дд= л "' дг 'уд* ду дв) (52.9) 4пЯтз)„— (фг )„го„) гй = — 4п —, (т 1)г1т ей дт дает количество теплоты, втекающее за время гй в рвсслгатриваемый сферический слой из окружающего пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
