Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 35
Текст из файла (страница 35)
2. Сосуд с твердыми адиабатическими стенками рашален на две части твердой адиабатической перегородкой. По одну сторону перегородки находится газ, по другую — вакуум. Вывести общую терминологическую формулу для температуры газа, которая установится в нем после удаления перегородки. Применить полученную формулу к идеальному газу и пока зать,что в этом случае изменения температуры не произойдет. Р еш ение. Так как нал газом но производится работа и теплота но подводится, то после удаления перегородки и установления равновесия внутренняя энергия газа не язлгенится, !'еальный процесс, совершаемый газом, является неравновесным и очень сложным.
Однако начальное и конечное состояния равновесны, а температура газа в равновесном состоянии определяегся двумя параметрами, за которые удобно взять внутреннюю энергию и объем газа. При вычислении изменения температуры реальный пропесс можно заменить квазистатическим процессом при постоянной внутренней Входящий сюда интеграл также мал по сравнению с единие1ей, а потому приближенно (Гл. И! Второе начали термодинамика энергии.
Для такого процесса ъз ВТ Т,-Т,=)( —,,) 411 В!' о (46.5) Для вычисления частной производной, входящей в этот интеграл, надо дифференциал ~ д77) „,, ~ ~и) положить равным нулю. Если еще восполызоватьси формулами (18.3) и (34.2), то получится дТ) Р— Т(дР(07')и ( †) = дЪ'lи Ск (46.6) Окончатсльио ( Р— Т(дР)ВТ)к (46.7) Для идеального газа эта формула дает Та — Т~ =- О.
то и, следовательно, (47Л) Из соотношений типа (47.1) и выводятся различные термодинамические равенства. Именно так были получены соотношения (45.19) и (45.20). Применяя этот метод. необходимо, однако, убедиться, что выражение Х дх + У пу является именно дифференциалом (полным дифференциалом) функции состояния )(х,у), а не просто какойто бесконечно малой величиной. Иначе можно прийти к ошибочныги выводам.
Приведем один пример неправильного рассуждения такого рода. Допустим, что элементарное количество теплоты бЦ мы стали рассматривать как дифференциал некоторой функции состояния С„е = = е,е(Т, Р). По первому началу этот дифференциал 0Я = Лl + Р д(г = д1 — 1l дР, й 47. Общие замечания о методе термодинамических функций.
Примеры Метод термодинамических функций. и сущности, основан на том, что если некоторая величина 7', характеризующая состояние системы при термодинагиическом равновесии. есть функция других величин х и у, а се дифференциал представлен в виде дУ = Х(х, у) дх + У(х, у) ду, з 47) Метод термодссномссчески функций. Примеры 145 ,4С ( ) ат+ [( ) Р~а Применяя к этому выражению соотношение [47.1), получим "'Р=И(дР) -'~ "'»" (д'7) =' Отсюда заключаем, что тепловое расширение тел невозможно, а это находится в резком противоречии с опытом. Противоречие получилось потому, что теплоту сС' мы неприиильно рассматривали как функцию состояния системы, а 5Π— как дифференциал этой функции. На самом деле такой функции не существует, /[ля того чтобы предостеречь читателя от ошибок такого рода. бесконечно малые величины мы обозначвлн символом д, если онв не бьши полными дифференциалами функций состояния.
Символ же 71 сохранен только для обозначения таких бесконечно малых величин, которые являются полными дифференциалами. При выводе некоторых термодинамических теорем встречаются производные, нс входящие в соотношения [45.15) — [45.18). В таком случае эти производные надо выразить через величины [45.15)-[45.18). Для примера найдем связь между адиабатической [д[с) д Р) л. и изотермичсской [д[сссдР)7.
сжимаемостями изотропного вещества. Используя формулы [45Л5) — [45.18), находим ( —,")7 =( — "')7(-,"-")7 = -( — ':),( — "'), Отсюда почленным делением получается [дР)дР)т Ы и (дТ) Л Г(др) р (с~~ ) р1 /[ифференцирование в первой квадратной скобке производится при постоянном объеме 1'. а во второй — при постоянном давлении Р. Поэтому на основании правила дифференцирования сложной функции !' ., ( ) (") Ю, так как Т[ддл)дТ) и = Сг, Т[дЯ)дТ)р = Ср.
Этот результат был уже получен иным путем в задаче к З 23. В заключение приведем ещо несколько примеров на применение методов термодипамических функций. 1. Найдем связь между алиабатическими и изотермическими модулями объемного сжатия Кэ и Кт физически однородного и изотропного вещества. По определению этих модулей Кэ = — р( —,,), 87 = — М( —,) дР , ОР (Гл.
И! Второе начало гаермодинаыики Преобразуем производную (е7Р/ВР)э. Величины Р, !', Т связаны уравнением состояния. Кроме того, в рассматриваемом случае между ними есть сщо одно соотно1пение, выражающее адиабатичность процесса. В адиабатическом процессе переменные Р, ), Т, В могут рассматриваться как функции одной из них. Возьмем в качестве независимой перемеапой температуру 77 Тогда (д'), = (й)Л,7')э Ввиду уравнения состояния между величинами Р, Т, В в любом состоянии существует функциональная зависимость. Го же относится к величинами Т, 1', Я.
Поэтому и далее Правую часть преобразуем с полющью соотноп~сний . е7В л 7 д'Г, т(ВЯ/дт) р (бЯ~д7') р Ср ( †) ( †) †. дт/ р ~ дВ.) л. 7(0$(д1) к (бЯ/д7)л Сл ' В результате получим ( —,) = 7( —,), или К~ = уйбт, ВР ВР (47.2) где 7 = Ср,~си. 7аким образом., адиабатический модуль всестороннего сжатия в 7 раз болыпе иэотермического модуля. Этот результат был уже получен иным способом в 323 (см. задачу к 3 23). с, т( —,,).
(47.3) !'ассматривая энтропию Я как функцию температуры и объема, можем написать ВВ = (~~) дт+ (',~~) дк Отсюда ( ).— (, ), -(7КЦВТ),-- —" Ы,(д ), Таким образом, с — с,=т( — ',,) ~ —,,) . !47.4) 2. Выведем еп!е раз формулу для разности теплоемкостей Сг — Сг. По определению энтропии и теплоемкости Мактииальнал робота и свободная энрреил 147 Приведем еще без подробных доказательств несколько полезных тормодинамичсских соотношений: ('.")т= (-,'—,'), (ОР)з (ОЯ)р (7)Р)т Ср (дР)т' (47.5) (47.6) (47.7) (47,8) (47.9) (47.10) (47.11) (47.12) (ОТ)р (ОР)т (ОТ)р(ОР)о Т (дР)н (47.1б) й 48.
Максимальная работа и свободная энергия 1. Рассмотрим какую-либо термодинамическую систему в произвольном, вообще говоря, неравновесном состоянии. Пусть она граничит со средой, температура То которой поддерживается постоянной. Система может обмениваться теплотой только с этой средой. С остальными теламн теплообмена нет. Что касается работы, производимой системой, то в общем случае она слагается из двух частей: из работы над рассматриваемой средой и над всеми остальными телами. Эту обп1ую 1таботу, как обычно, будем обозначать буквой А.
Пусть система переходит из состояния 1 в состояние 2. В соответствии с первым началом термодинамики А = Ь1 — Ьз+Я1. Работа. А н количество сообщенной теплоты Г> зависят от вида процесса, переводящего систему из состояния 1 в [Гл. И! Второе начиао терасодинасннат состояние В. Второе начало термодинамики позволяет указать верхний предел для работы А. Согласно неравенству К21аузнуса бО То или ввиду предполагаемого постоянства температуры Тв В2 81 О.
Подставив сюда С~ = А — 111+ бс2 н введя обозначение (48.1) У = бс — Тв.8', получим (48.2) А<У,— Ут. Знак равенства относится к обратимым процессалс. Таким образом, работа. которую может совершить система, не может превзойти убыли функции У з— е !1 — 7вГм В частности, когда температура системы Т все время равна температуре окружающей среды Тв, функция У переходит в свободную энергию системы У = 1к = ~/ — ТЯ. В этом случае А < Ф1 — Ф2. Знак равенства относится к обратимым процессам. Таким образом, для обратимого процесса Т = Тв, '!макс = 1к1 ' 1к2. (48.3) Если воспользоваться уравнением !'иббса-Гельмгольца (45.13), то выражение (48.3) легко преобразовать к виду У д(Ф1 — Ф2) 1 Авакс = С11 ' С12 + Т или /дА„а,'с Ача„,= и, — ия+Т~',,',",") .
(48.4) Эта формула называется урионением Гиббгл — !сльмеольца длл асаксимальпой работы. Она имеет лсногочисленные применения. 2. Из изложенного становятся ясными мотивы, которьмси руководствовался Гельмгольц. назвавший величину Ф = 11 — ТЯ свободной энергией системы. Величина 11 есть внутренняя,или полная, энергия системы. Но если система находится в тепловом контакте со средой, температура которой Т поддерживается постоянной, то только часть этой энергии, а именно бс — ТЯ, может быть использована для получения работы. В этом смысле она и является свободной.
Оставшаяся часть при сохранении неизменной телспературы среды, с которой устанонлен тепловой1 контакт, в работу превращена бьггь не может. Она называется солвастой энергией. В предельном случае Т вЂ” 1 0 разлизис между внутренней и свободной энергиями пропадает. э 49) Эяектродвиэюйигая сила гальвани нткого злеменпзп 149 3. Наряду с полной работой А в термодинамике часто рассматривают так называемую полезную рабогпу. Хотя это понятие для физических приложений и не необходимо, приведем нужные разъяснения. Понятие полезной работы вводится в тех случаях. когда рассматриваемая (вообще говоря, неравновесная) термодинамическая система помещена в среду, находящуюся в равновесии и поддерживаемую при постоянной температуре То и постоянном давлении Рэ.
Предполагается, что система может производить работу нс только против давления среды Рв. но и над друтими телаз~и. Эта последняя составная часть работы и называется полезной работой. Работа, производимая против давления среды Р», представляется выражением Рэ('з э — 'г1 ). Эту часть нужно вычесть из полной работы А, чтобы получить полезную работу Ап""". Для нее нз формулы (48.2) получаем ~полезн ~ у 7 '2; (48.5) где У1 = У+ Ро = и -- 7;8+ Р,1г. (48.6) В частности, когда температура и давление среды равны температуре и давлению самой системы, функция Я пореходит в термодинамический потенциал г, = Ф = У - Т 8+ РЪ'.
В этом случае ~пополз ~ Ф (48.7) Максимальная полезная работа получается при обратном процессе и равна Л"„',;*,",.зн = Ф~ — Фз. Для этой работы по аналогии с формулой (48.4) получчаез1 вторйю формулу Гиббон Гельмгольца А .' — 1, 1, +Т( ""'Г 1 (48.8) Когда термодинамическая система состоит только из твердых и жидких тел, изменением ее объема при всех процессах, как правило, можно пренебречь. В этих случаях различие между полной работой Л и работой А"'л"" пропадает.
Для газообразных систем, напротив, н!О различие может быть существенным. ЗАДАЧА Используя результаты этого параграфа, дать другое решение задачи 2 з 37. 8 49. Электродвижущая сила гальванического элемента 1. В качестве примера применения термодинамики к электрическим явлениям рассмотрим вепре< об электродвнжущей силе гальванического элемента. Разумеется, термодинамика не может ответить на вопрос, как и почему в гальваническом элементе возникает электрический гок. Опираяся на опыт, опа констатирует лишь, что гальванический элемент есть неравновесная термодинамическая система, приближающаяся к состоянию равновесия с ) Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
