Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Доказательство. Допустив противоположное, предположим, что Л и  — две соседние точки, в которых полнтропы пересекан>тся с изотермой (рис. 31). Применим к циклу ЛСВРА равенство Клаузнуса. На политропе А РВ теплоемкогть С погтояпяа, а потому тв лов (Интеграл обрап1ается в нуль, так как Тя = Тв, поскольку точки А и В лежат на изотерме.) На нзотерме АСВ ~ — = — „~б1) = —,. Таким образом, равенгтво Клаузнуса сводится к сГ = О, где Я теплота, полученная системой. Но для кругового процесса Я вЂ”.
Л. Зыачит, площадь цикла АСВ РА равна нулю, что может быть тогда и только тогда, когда между точками Л и В политропа н нзотерма пересекаются между собой. Это противоречит предположению, что Л н В— С соседние точки пересечения политропы с нзотермой. 2.
Показать, что для любого вещества Р В аднабата может пересекать нзотерму не болев чем в одной точке. 3. 1(нкл состонг из двух нзохор н двух Рис. 31 нзобар (рнс. 32). Показать, что для любого веп1ества с постоянными геплоемкосгямн Су и Ср температуры Тз, Тз, Тз, 7'ч связаны соотношением Т~Тз = 7з7ш Р е ш е н не. Применив к рассматриваемому циклу равенство Клаузиуса, получим (Сг — Су )1и ..., — О, Тз Тз откуда н с.подует требуемое соотношение, так как Ср — Су ф О.
В обоих выражениях аддитивная постоянная в скобках уже не зависит от числа частиц газа. Формулы (40.8) и (40.0) применимы к идеальным газам не только с постоянным, но и с переменным числом частиц. (Гл. П! Второе начало термодинамики 0 Рис. 32 1'ис. 33 Рис. 34 4. 1(икл состоит из иэобары 12, изохоры 23 и адиабаты 31 (рис. 33). Покачать, что для любого вещества с постоянными геплоемкостями Сг и Сг температуры Тг, Тг, Тз связаны соотношением — = ( — „), где у= —.
5. Определить работу цикла, совершаемого лгобым веществом и состоящего из изотермы 12, политропы 27 и адиабаты 31 (рис. 34). Известно, что теплоелгкость тела на политропе 23 равна С, а температуры на нзотермс 12 и в состоянии 3 равны соответственно Т, н Тг. Ответ. А С';Гг 1п(7г7Тг) — (Т, — Тз)).
6. Цикл состоит из двух изотерм 12, 34 с температурами 7'г и Тг и двух изохор 22, 41 (рис. Зб). На изотсрме с температурой 7г получено количество теплоты Яг. Определить работу цикла, если теп- Р лосмкость рабочего вещества Сь зависит только от его температуры,но пе зависит от объема. 1г — 1г Ответ. А =, с1г 7'г 7. Произвольная термодинамическая система квазистатически переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 двумя способами.
В первом способе система адиабатически охлаждается до температуры Те, чатем изотер- И мически получает теплоту и,наконец, адиабвти- чески переходит в состояние 2. Во втором способе Рис, Зб переход Осуществляется по произвольному пути, однако так, чго на каждом участке этого пути система получает теплоту, а ее температура остается вьппе Тс.
Показать, что в первом способе для перевода системы из состояния 1 в состояние 2 трсбуегся мсныпая затрата теплоты, чем во втором. !ге шенне. Пусть 1242 схематически изображает первый переход, а 132 — второй (рис. 36). Применяя к ним равенство Клаузиуса и учитывая, что па адиабатах 13 и 42 система теплоту пе получает, напишем 3 41! Закон еозрасгаания энап1 апиа 127 где Яа теплота, полученная на изотерме,Ц.
По условию Т > Та и бО > О, а потому где 1,1 — теплота. полученная на пути 1агй. Комбинируя последнее неравенство с предыдущим равенством, получаем гб > с1а. 8. Показать, что разность энтропий системы в состояниях 2 и 1 (при условии,что За > > З~) может быть определена как наименыпее количество теплоты, которое требуется сообщить системе, чтобы квазистатически переве- Рис. 36 сти ее из состояния ! в состояние 2 и притом так, чтобы при переходе температура системы пе опускалась ниже одного кельвина. 9. Если во всех точках изотермы коэффициент теплового расширения равен нулю, го такая изогсрма совпадает с адиабатой. Доказать.
Решение. Пусть во всех точках изотермы 1др1д7']г = О. Тогда из (8.3) следует, что 1дР/дТ) и =- О. На изотерме ввиду соотношения (34.2) сШ = ~Т~ —...) — Р~ Л' =. — Р с11; а потому бЯ) = а11 1- Ра1' -. О. Значит, изотсрма во всех точках должна совпадать с адивбагой. 10. В цикле Карно в качестве холодильника выбрана вода при 4 'С. Так как коэффициент теплового расптрения при этой температуре равен нулю, то для осуп1ествления цикла Карно пе надо сообп1ать теплоту холодильнику (сьь предыдущую задачу), т.г.
КП11 цикла равен единица. В чем ошибочность этого рассуждения? Ответ. 1) Если бы коэффициент теплового расширения обращался в пуль на всем протяжении изотермы, то опа совпадала бы с вдиабатой, и цикл Карно между температурой 4'С и какой-либо другой температурой осуп1ествить было бы нельзя. 2) На самом доле для воды коэффициент теплового расширения обрап1ается в нуль только в одной точке изотермы. В 41.
Закон возрастания энтропии 1. Допустим, что система переходит из равнонеспого состояния 1 в равновссноо состояние 2 (рис. 37), но процесс перехода является необратимым . на рисунке он изображен штриховой линией 1. Вернем систему из со- 2 стояния 2 н исходное состояние 1 квазистатически по какому-либо пути 11. На основании неравенства Клаузиуса можно написать Рис. 37 ! П ( Гл. 11! Второе начало термодино ниии Так как процесс П кввзистатический.то бΠ— В! 82.
Т Поэтому неравенство Клаузиуса принимает вид бо 82 — 81 > Т (41.1) 2. В качестве иллюстрации рассмотрим следуквций пример. Пусть один моль идеального газа заключен в цилиндр с твердыми аднабатическими стенками (рис. 38). 1[илиндр разделен на две части твердой перегородкой АВ. Сначала газ занимает одну нз этих частей с объемом у'1. Во второй части — вакуум. Затем перегородка убирается или в ней делает- Вакуум ся отверстие. Газ начинает перетекать во вторую часть цилиндра, пока не выравняются давления и Л В температуры в обеих частях. Является ли описанный процесс обратимым?? (ля ответа на этот вопрос 1'1 вычислим изменение энтропии газа.
В результате 1"аэ описанного процесса внутренняя энергия газа не меняется, так как он заключен в жесткую адиабатическую оболочку. Не меняется и температура газа, поскольку она однозначно определяется его внутренней энергией (закон Джоуля). Обозначим через Т общую температуру в начале и конце процесса, через г1 — начальный, а через 12 — конечный объемы газа. Чтобы вычислить изменение энтропии газа, надо перевести его из начального состояния в конечное киатистпшически, Это можно сделать, приведя газ в тепловой контакт с нагревателем, имеющим температуру Т. Бесконечно медленно уменьшая давление на газ, можно Здесь под Т следует понимать температуру окружаюп!ей среды, при которой она отдает системе количество теплоты б ).
Если система адиабатически изолирована, то бСе = О, и интеграл в (41.1) обращается в нуль. Тогда 82 оэ В1. (41.2) Такил! образом, онтропил, адш1ботичегкп изолированной системы не мооюет убывать; она либо возрастает, либо остаеаи1л постоянной, Это закон иозрпшаппил онтрон1ш. Если 82 ) 81, то переход адиабатически изолированной системы из состояния 2 в состояние 1 невозможен, так как он сопровождался бы убыванием энтропии. Наоборот, адиабатический переход системы из состояния с меньшей энтропией 1 в состояние с большей энтропией е не противоречит постулату второго начала термодинамики и в этом смысле является возможным. Второе на!ало, таким образом. позволяет судить о поправлении проиессои, которые могут происходить в природе.
З 42! Обобщение псняптя внтрипене па перивнсвеснпе ссстсяпия 129 его изотермически перевести в конечное состояние с объемом )сз. При этом газ будет заимствовать теплоту от нагревателя и превышать ее в эквивалентную работу. ,Г)ля изотермического процесса с);е = РЛ' = ИТ вЂ”. е)Я = —, = )с —. бБО д)с Т Отсюда Г д)У 1е Яз — 'у', = )! ) —, = )е )и — > О.
1' 10 Энтропия возросла. Поэтому адиабатическоо расширение газа в пустоту необратимый процесс. Обратим внимание на следующую тривиальную, но довольно распространенную ошибку. Говорят, что в рассматриваемом примо)зе теплота не подводится, т.е. бб) = О, а потому также д.'у' = Щ~Т = О. Отсюда заключают, что 9 = сопз1, т.е.
энтропия в начальном и конечном состояниях одна и та же. Ошибка состоит в том, что равенством НЬ' = 6С~(Т в приведенном примере пользоваться нельзя. Оно относится только к квалирпвнооесным процест.м. Для неравновесных процессов это равенство не имеет места. По самому определению энтропии. даваемому интегралом 140.5), интеграл допжен быть взят для произвольного, но обязательно квсзистатического процессл, переводян)его систему из начального состояния в конечное. я 42. Обобщение понятия энтропии на нерввновесные состояния 1.
Понятие энтропии, как оно введено выше, относится только к равновесным состояниям. Однако оно может быть обобщено и на неравновесные состояния. Рассмотрим это обобщение для того случая. когда система, находяп)аяся в неравновесном состоянии, может быть мьи:пенно разбита на отдельные макроскопические подсистемы, каждая из которых практически находится в равновесии, так что ее внутреннее состояние можно характеризовать, например, двумя параметрами Т и Р. Вообще говоря, подсистемы могут совершать макроскопические днижения.
Параметры, характеризующие внутреннео состояние подсистем и их макроскопическое движение, могут плавно меняться от подсистемы к подсистеме. В этом случае говорят, что имеет место лскплши>е термодпнпмическое равновесие. ! )римером кюжет служить жидкость или газ в состоянии макроскопического движения, как оно понимается в гидродинамике и аэродинамике. Можно говорить об энтропии Я; каждой из подсистем в том смысле. в каком это понятие было введено в 940.
Тогда энтропию всей системы можно определить Б д. в. спвухпы. 'г. в (Гл. И! Второе начало термоЬинаминш 13О как сумму энтропий таких подсистем: !42.1) Макроскопические подсистемы, на которые мысленно разбивается вся система, должны быть выбраны настолько малыми, чтобы сумма (42.1) уже не менялась при дальнейшем дроблении системы. Мы не утверждаем, что это можно сделать всегда. Мы подчеркиваем только, что наше рас|пиренное понятие энтропии пока что относится лишь к тем случаям, когда это сделать можно. 2. При таком обобщенном понимании энтропии теорема о ее возрастании остается в силе.,'!ли доказательства рассмотрим сначала адиабатически изолированную систему, заключенную в жесткую оболочку и состоящую яз и подсистем с температурами Ты Тш..., То.
Нредположим сначала, что все подсистемы находятся в покое, химически не реагируют и не персмспгиваются друг с другом (например, в результате диффузии), между ними может происходить только тепло- обмен. Если ба!, — элементарное количество теплоты, полученное з,'-й подсистемой в результате теплообмена, то, как было показано в 31б, (42.2) В процессе теплообмена система, поскольку ояа изолирована, стремится к вполне определенному равновесному состоянию. В этол» процессе одни подсистемы нагреваются, получая положительные количества теплоты д!ч!е, другие подсистемы охлаждаются для них 6Ц, отрицательны. На основании неравенства Клаузиуса можно написать для 1-й подсистемы а, следовательно, для всей системы (42.3) Разобьем все подсистемы на две группы: более горячую группу ! (с номерами подсистемы от 1 до гп), для которой б!е, отрицательны, и более холодную группу Н (с номерами от гп+ 1 до и), для которой Щ; положительны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
