Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В самом деле, поделив обе части равенства йз = г(Г -р Р Л~ на др и предполагая,что температура остается постоянной, получим (Й, =- (т). р Р Таким образом, все величины, стоящие под знаком интеграла в формуле (36.1), могут быть экспериментально измерены при всех значениях эмпирической температуры т. После этого самый интеграл может быть вычислен численно. Тем самым будет найдена термодинамическая температура 7' как функция эмпирической телпэературы т.
'й' 37. Неравенство Клаузиуса (для частного случая) 1. Из рассуждений, приведенных в 330 для доказательства теоремы Карно, можно извлечь другое интересное следствие. Рассмотрим произвольную термодинамичегкую систему (нвзовем ее системой 1), которая лгожет обмениваться теплом с двумя тепловыми резервуарами Яг и Лз, Температуры этих резервуаров обозначим через Т~ и Тз соответственно. Теперь мы нс будем различать, какой резервуар является нагревателем, а какой холодильником.
Количество теплоты, .отданное тепловым резервуаром (т.е. полученное системой и)., условимся считать положительным. В противоположном случае количество теплоты считается отрицательным. Благодаря этому окончательные результаты формулируются симметрично относительно обоих резервуаров. Пусть система ! совершила произвольный круговой процесс обратимьш или необратимьш, в котором онв получила количество теплоты Щ от резервуара Нп и (~э от резервуара йз. Так как система нернулась в исходное состояние, то полное количество теплоты (1~ + .6 ь)з, полученное ею, будет равно работе, которую она произвела. Возьмем теперь обратимую машину Карно и заставим ее работать либо эмпирическую температуру, отсчптывасмую по шкало практического термометра. Очевидно.
7' .—... Т(т), и задача состоит в нахождении функции Т(т1. Так как постоянство Т влечгт эа собой постоянство т и наоборот, то (ВН/дГ)т =. (ВН/д1') . Поэтому формулу (34.2) можно переписать в виде ! Гл. 11! Второе начало термодинамики между теми же тепловыми резервуарами й~ и йв. Для того чтобы наличие машины Карно никак не отразилось на количествах теплоты О1 и фв, полученных системой от тепловых резервуаров во зрелы кругового процесса, можно присоединить машину Карно ужо после того, как крутовой процесс в системе ! закончился.
Если с этого момента теплоизолировать систему 1, то тепловые резервуары Л~ и йз начнут обмениваться теплом только с машиной Карно. Наличие последней никак не скажется на ходе интересующего нас кругового процесса в системе 1, поскольку этот процесс является событием ироеилыле по отношению к моменту присоединения машины Карно. Пусть сама машина Карно совершила круговой процесс, в ходе которого она заимствовала теплоту ф от резервуара Й, и теплоту Щ от резервуара йа.
Для дальнейшего существенно, что машина Карно обратима. Ее можно заставить работать и как двигатель, и как холодильник. Кроме того. изотерма 12 (сьъ рис. 25) в цикле Карно может быть взята сколь угодно короткой. Следовательно, и работа, совершаемая машиной Карно в одном цикле, может быть как угодно малой. Можно получить и сколь угодно большую работу, застввин машину Карно совершить много одинаковых или различных циклов. Таким образом, машина Карно позволяет получать как положительную.
так и отрицательную работу гиобой наш ред заданной величины. Это обстоятельство делает возможным по произволу распорядиться одной из величин ф или Яц Всегда можно достигнуть, чтобы одна из них приняла произвольное значение,как положительное, так и отрицательное. На основании теоремы Карно и определения абсолкатной температуры можно написать (37.1) Объединим машину Карно и систему! в одну сложную систему.
Круговые процессы, последовательно совершенные системой 1 и машиной Карно, очевидно, также можно объединить в один общий круговой процесс. В этом процессе сложная система получила от резервуара Ич теплоту (,), + 1)1м получила от резервуара Лз теплоту Яг + (,)'„ совершила работу е! = Я~ + ф + Я + О',. Дальнейшие рассуждения зависят от того, какой постулат второго начала термодинамики положить в нх основу; Если воспользоваться постулатом Томсона — Планка, то надо рассуждать следующим образом.
ПодбеРем Я1~ так, чтобы Я~У~ .— — --ечзь Тогда ввидУ соотношениЯ (37.1) а' =Та 1г1 1 В результате кругового процесса состояние резервуара Вл не изменит- ся. Тепловой 1эезервуар Л'а отдаст количество теплоты 1!а + Ц, = да + Т, — = Тв ~' — + — ). /Ф агу Т, -'УТ, Т,)' э 37) Неравенство К юуэпрео ~длл члепгиого случая) Пз За счет этой теплоты будет произведена эквивалентная работа А = = еег + ц)!г. Если бы эта работа была положительна, то получился бы процесс Томсона — Планка, что невозможно. Поэтому должно быть А ( (~ О. Так как абсолютная температура Тг суп~ественно положительна, то это приводит к неравенству — э'- —" < О.
Ф Ф Тг Тг (37.2) Это неравенство является частным случаем более общего неравенства Кларзиуса, которое мы рассмотрим в следующем параграфе. 2. Соотношение (37.2) можно, конечно, получить и из постулата Клаузиуса. Для этого выберем Щ так, чтобы А = ЕЕг Ч- Егг + ЕЕ + Кг' = О, или Чг~ + Яг — — — (Я Э ()г). Тогда единственным результатом кругового процесса будет передача теплоты ЕЕг + ЕЕг от резервуара йг к резервуару йг. Теплоту Е,)г можно найти из условия А — — О.
осли воспользоваться соотношением ~37А). Это дает Т Ф Э ч)'+ Еег — =Ее' =О. Тг Определив отсюда Щ, находим дальше Если Тг > 7г, то согласно постУлатУ КлаУзиУса должно быть Едг -~- Щ > > О. Если гке 77 < 7'г., то должно быть СЕг .' Щ < О. Так как абсолютные температуры существенно положительны, то в обоих случаях мы приходим к неравенству — + — < О. 7ь Тг 3, Придадим неравенству Клаузиуса (37.2) другую форму, в которой отчетливее выявляется его связь с техническими проблемами. Вернемся к прежним обозначениям, которыми мы пользовались в э 30.
Пусть Т, —. температура нагревателя, а Тг -- холодильника. Количество теплоты СЕг, как и ранее в 330, будем считать положительным, если холодильник его получает. При таком выборе знаков — — — < О. Тг Тг Отсюда легко получить аг- аг < 7г..тг (37.3) гег !г Слева стоит коэффициент полезного действия тепловой машины, обозначавшийся ранее буквой г). В результате мы доказали следующую )огпоррго) теорему, принадлежащую Карно. КоогЯзицпент полезного дейг:томя осягхой тепловой, ощипы. не может, прегюстодипгь яол7я7гициецш, полезного дератопл идеальной моитны, рсяботогощей по циклу )!л. П! Второе начало те<рмодинаиини Карно с птеми <асс самыми темперттшурами нагревателя и а:олвдильпина.
Эта теорема позволяет, таким образом, оценить верхний предел КПД тепловой машины. Возьмем, например, паровую машину. Пусть максимальная температура пара в котле 1< = 150 'С, температура холодильника ?з = 20'С. В термодинамической шкале соответствующие температуры будут Т, = 423 К, Тз = 203 К. При этом КПД такой машины не может превосходить 7'т — 7'т 130 ° о Т< 423 = — = 30%. В действительности КПД паровых машин значительно меньше. Вторая теорема Карно ясно показывает, что энергия должна характеризоваться нс только количественно, но и качсстпвеннв.
Г1од качеством энергии мы понимаем ее способность превращаться в другие виды энергии при заданных внешних условиях. Конечно, если на способы превращения не накладывать никаких ограничений, то внутренняя (те<<ливан) энергия может быть целиком затрачена на производство работы. В этом смысле теплота и работа эквивалентны между собой. Однако если на внешние условия, в которых находится тело, наложить определенные ограничения, то полное превращение тепла в работу может стать невозможным. Например, невозможно полностью превратить теплоту в работу при помощи периодически действующей тепловой машины.
Для этого надо было бы располагать холодильником, температура которого равна абсолютному нулю. Поскольку такого холодильника нет< периодически действующая машина может превратить в работу только часть тепловой !<внутренней) энергии тела. Чем выше температура тела, тем выше качеставв запасенной в нем тепловой энергии. Всякий естественно иду<ций необратимый процесс приводит к обесцениванию энергии в указанном выше смысле. Обратный процесс, в котором качество энергии повышается, возможен только при наличии другого процесса, в котором энергия обесценивается. Этот другом процесс.
Кпаузиус назва.п квмпенсирутвщим процессом или, короче. квмпетвацисб. Например, можно отнять теплоту от холодильника и передать его нагревателю. Но для этого необходим компенсирующий процесс, скажем, производство работы. ЗАДАЧИ 1. Какую максимальную работу можно получить из системы двух тел, нагретых до разных абсолютных температур 7ш и 7эо (Г<а > '1зе), осли газа используются в качестве нагревателя и холодильника в тепловой машине? Теплоемкости т<ш С< и Св считать н< зависящими от температуры. Найти окончательную температуру 7, которую будут иметь тела, когда установится тепловое равновесие между ними. Решенве. Максимвльттая работа получается тогда. когда тепловая машина работает последовательно повторяющимися бесконечно малыми циклами Карно.
Пусть в результате одного из таких циклов первое тело отдало теплоту <!СЕ< — — -С«ГГ<, а второе <!С2 = - Свд!3 УГ< и 'Г означают перемеввые температуры тел). Произведенная работа бд =- бЯ< Ч- <1С)э, 3 38! Нерввенешво Кггвугсгирса в об»гсем виде причем 6Яг зол с1Тг, с(Тг - — =О, или Сг,, ' Сг,, =О. (37.4) 1 г 1 Интегрируя это соотношение с учетом начальных условий, получим (37.5) Окончательвая температура Т найдется иэ условия Тг =- Т .=.
Т. Оно дает То, ео, 1,с, Тсц (37 ей) Максимальная работа, которую может совершить система, т т А = ~ 6А =- — С, ~ дТ вЂ” С ~ с1Т = (С»Т» .1 С 7г) — (Сг + Сг)71 (377) тг Опа равна убыли внутренней энергии системы. 2. Рассмотреть предельный случай предыдущей задачи, когда теплоемкость холодильника С бесконечно велика. (Нагретосг тело, погруженное в бесконечную среду, температура которой Тго поддерживается постоянной.) Решение. Температура 'Г находится из (37.0) предельным переходом С э сю, который дает Т =- Т о.
Этот результат непосредственно очевиден. Предельный переход в окончательном выражении (37.7) выполнить затруднительно, так как он приводит к неопределенности вида оо — оо. Удобнее выполнить предельный переход в выражении для элементарной работы 6А = 6Яг -!- 6Се. Выразив 6»сг через 617г по формуле (37А) и учгя, что 7 =- Тю =- сопел, полу.чим Тю ...87'г 6Л = 611» - —,, 642» = .Сгсдг ч- С,7;о (37.8) Т А = Сг (Тго Т»е — Тго!п —,7г Тго Работа А меныпе убыли внутренней энергии нагретого тела Сг (Тго — Тэе'). с1асть внутренней энергии тело передает окружающей среде в виде теплоты (см. 348).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
