Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 29
Текст из файла (страница 29)
8 38. Неравенство Клаузиуса в общем виде 1. Обобщим теперь неравенство (37.2) на случай произвольного числа тепловых резервуаров Нг. Нг...., Нв, Резервуары должны быть достаточно велики (в пределе бесконечно велики), чтобы в ходе теплообмена их температуры Ты Т...., Тв оставались практически постояннылги. Пусть какая-либо термодинамическая система (назовем ее по-прежнему системой!) совершила произвольный круговой процесс— обратимый или необратимый, в ходе которого она заимствовала от тепловых резервуаров теплоты Сгг г С)»,..., Ов и за их счет произвела эквивалентную работу Дг +»ссг» + + ссзв (Рис 28) После того как указанный круговой процесс закончился, теплоизолируем систему 1.
Возьмем всполюгательный тепловой резервуар йо настолько болыпой, что в процессе тсплообмена его температура То практически не лгеняется. Возьмем, кроме того, и идеальных машин (Гл. И! Вгаорое начало ноормоданамани Карно и включим их между вспомогательным резервуаром йо и резервуарами й,, йа,..., й„. Таким образом, 1-я машина будет совершать цикл Карно между резервуарами йо и й. (! = 1,2,...,и). Не имеет значения, совершаются ли все зти п циклов Карно одновременно, последователь- но или с произвольным нала жением друг на друга. Пусть в результате своего цикла 1-я машина Карно забирает от резервуара йо теплоту Оо; а от резервуара й, теплоту Щ. На основании теоремы Карно и определения абсолютной температуры — '+ — ' = О. (38.1) Суммируя по 1, находим обгцес количество теплоты отданное вспомогательным резервуаром: Все и циклов Карно можно Рис. 28 объединить с круговым процессом, ранее совершаемым систе- мой 1, в один сложныи круговой процесс.
В результате такого процесса резервуар Йо отдал теплоту С!о, резервуар Й1 отдал теплоту 1ч'1 + ф, (38.2) РезеРвУаР йо отДал теплотУ Я!о + ГчЗ'„, совершена работа А = Оо + Я1 + ф ) + ... + Яа + О'„,). ,'!альнсйшие рассуждения построим на постулате Томсона — Планка. Выберем ф, Я',,... так. чтобы Я1 + ф) = ... = Яо + Я'„) = О. Это всегда возможно, так как тепловые резервуары Йы йа....., Йо предполагаются достаточно болыпими. !3 резулыате все тепловые резервуары вернутся в свои исходные состояния. Вспомогательный резервуар Йо отдаст 0о = То,~ —... Я, (38.3) Получился круговой процесс, совершенный системой ! и и машинами Карно, в результате которого ! 38! Нврвввнотво Кваувиуво в общем виде 117 резервуар Йо отдал количество теплоты Яо. совершена эквивалентная работа А = („1о.
Больше никаких изменений не произошло. Произведенная работа А = Яо не может быть положительной, так как в противоположном случае получилось бы противоречие с постулатом Томсона — Планка. Таким образом, должно быть Яв < О, илн, учитывая (38.3) и положительность абсолютной температуры Тв, (38.4) Это неравенство мы и хотели доказать. Кружок у знака суммы означает, что соотношение (38.4) относится к круговому процессу. Имеется в виду круговой процесс, выполненный самой системой 1.
Вспомогательные приспособления машины Карно и тепловой резервуар Йо — использовались только для доказательства. Их наличие никак не может отразиться на справедливости соотношения (38.4). Это ясно хотя бы уже из того, что вспомогательные приспособления были привлечены только после того, как произошел круговой процесс, к которому относятся величины б1; н Ть 2. При доказательстве предполагалось, что каждый из тепловых резервуаров Й; может обмениваться теплотой только с рассматриваемой системой 1. Обмен теплотой между самими тепловыми резервуарами, а также между резервуарами и остальными телами не учитывался. Но такого рода теплообмен нс играет роли.
Неравенство (38л!) останется справедливым и при его наличии. Действительно, всегда можно ввести адиабатическио перегородки, исключающие указанный теплообмен и в то же время не меняющие физическое состояние тепловых резервуаров и не влияющие на их теплообмсн с рассматриваемой системой. 3. Далее, доказательство предполагало, что тепловые резервуары Йы Й,..., Й„достаточно велики. '! акое предположение необходимо, чтобы температуры Т; могли считаться постоянными, каковы бы ни были количества теплоты, получаемые или отдаваемые тепловыми резервуарами.
Общий случай, когда резервуары конечны, а их температуры произвольно меняются во времени, сводится к разобранному частному случаю. Действительно, пусть температура Т, резервуара Й, меняется во времени. Процесс теплообмена, в результате которого резервуар Й, отдает системе 1 теплоту 1эп можно разбить на, сколь угодно большое число М бесконечно малых процессов, в которых резервуар Й, отдает бесконечно малые количества теплоты б(дп,..., й;);в. В каждом из таких процессов температуру резервуара Й; можно считать постоянной. А это означает, что по отношению к этим процессам резервуар Й; ведет себя как бесконечно большой. Один резервуар Й, с переменной температурой как бы эквивалентен Л' последовательно включаемым резервуарам с постоянными, но разными температурами; в течение короткого времени первый резервуар отдает системе 1 тепло- Второе начало тлрлаллдллнимини )!л.
П! ту 6!У,л, а в остальное время кругового процесса он теплоизолирован: в течение следующего короткого времени второй резервуар отдает теплоту 6!6гл, оставаясь теплоизолированным в остальное время, и т. д. Ясно поэтому, что в облцем случае неравенство (38Л) следует записать в виде — < О. 6л,л (38. 5) Это фундаментальное соотношение называется неравенством Кларллллрса. 4.
При окончательной формулировке неравенства (38.5) нет необходимости вводить какие-то тепловые резервуары Йл, Йа,..., Й„, с которыми система 1 обменивается теплом..л!учше пользоваться предггавлсннем о теплообмене между системой ! и онр!!элсалощелу средой.
Тогда величина Т будет означать шемперллгллррр этой, среди и может меняться как в пространстве,так и во времени. Надо ллысленно представить себе, что окружающая среда разделена на малые области, каждая из которых характеризуется определенной, вообще говоря, переменной температурой.
Символ Щ означает бесконечно малое количество теплоты, переданное системе ! одной или несколькими из таких областей при температуре Т. Кружок у знака интеграла должен напоминать, что неравенство !л38.5) относится к круговому процессу, совершенному рассматриваемой систомой !. б. Отметим еще, почему при доказательстве был введен вспомогательный тепловой резервуар Йа.
Это было сделано для того, чтобы иметь в распоряжении неограниченный илточпик внутренней энергии, из которого можно было бы черпать или которому можно было бы передавать ничем не ограниченное количество теплоты. Если бы один нз тепловых резервуаров Вл . Йа,..., например первый. обладал неограниченным запасом внутренней энергии, то надобности во вспомогательном резервуаре Йа не было бы. Его функции можно было бы возложить на резервуар Йл. Поскольку в общем случае дело обстоит не так, то и потребовался резервуар Йа.
Таким образом. для доказательства сулллественлло, чтобы резервуар Йа был бесконечно большим. Выбор резервуара Йа не может сказаться на окончательном результате, в который резервуар Йа ве входит вообще. 6. Применилл неравенство !л38.ае) к уточнению вопроса о верхнем пределе коэффициента полезного действия тепловых ллалллин, который уже разбирался в конце предыдулл!его параграфа.
Как и там, удобно вернуться к прежнему правилу знаков. Элсллентарное количество теплоты условимся обозначать символом 6Ял, если машина ело получает. Элементарное же количество теплоты, отдаваемое машиной, будем обозначать символом 6ллЛв. Таким образом, по определению 66!л и 60 существенно положительны. В этих обозначениях неравенство Клаузиуса запишется в виде 6Оа <О Здесь Т, -- температура той части окружающей среды, от которой малпина получает теплоту 6٠— эта часть среды играет роль на- з 38) Негизвеистла Кларзирса в вбизвм виде 119 гревателя. Величина Та есть температура «холодильниквю т.е.
части окружающей среды, которой машина отдает теплоту б(1з. В отличие от случая, разобранного в предыдуп1ем параграфе, теперь предполагается, что температуры нагревателя и холодильника не остаются постоянными, а меняются в ходе процесса.
Пусть Т,„„„., и Тзчв„ означают соответственно максимальную температуру нагревателя и минимальную температуру холодильника. Предыдущее неравенство будет только усилено, если Т1 и Тз заменить на Т1 „,„, и Тзв„,. Следовательно, — ( О. 0 гсюда ')~ — а < О. где 1,)1 -- полное количество теплоты, полученное машиной от нагревателя за время кругово1 о процесса, а Яз — полное количество теплоты, отданное холодильнику. Переппсав последнее неравенство в виде Я 7' „„ -Т~, '7„...: а затем прибавив к обеим частям по единица, получим с)~ — 1)а 'Г „...
— Т „„. О=— (38.6) Этим неравенством и определяется верхний предел для коэффициента полезного действия тепловой машины т). ЗАДАЧА Доказать неравенство Клаузиуса с помощью постулата 11лаузиуса. Доказательство. До соотношений (38.2) включительно рассуждения остаются прежними, а далыпе должны быть изменены следующим образом. Наложим дополпительвые условия Ч)з -~. 1,1а .=... =- Я„+ Я„= О и Л = Я)в -1. 8 (Ф т 111) т.
т (С1„г Я'„) =. О, нли Яо =- — (Щ т Я',). Тогда получится круговой процесс, в результате которого резервуар До отдал теплоту <,>а, резервуар йг получил теплоту -Я~ -1 17~1) = Яа. Никаких других изменений ве произошло. Найдем сначала переданное количество теплоты С'1а. При з == 1 из соотношений (38.1) получаем сгаг сзо 9 сзг 7'в Т1 апри1=.2,3,...,п Тз 'Г, Складывая вти равенства, находим Оо ав, " а Т 7' Т, ) Гл. П! Второе начало тссрмодинслмсаки 120 Отсюда '!'оТ, ~"- Ф* =3 Если То > Тм то должно быть с„!о > О. Если же То < Тс, то наоборот, С,!о < О.
Иначе получилось бы противоречие с поступатолс Клаузиуса. В обоих случаях мы приходим к неравенству (38А). 'В ЗЯ. Принцип динамического отопления 1. Применим неравенство Клаузиуса к проблеме отопления помещений. При обычных способах огопления теплота, получающаяся в топке ог сгорания топлива, непосредственно поступает в отапливаемое помещение. Зпачитольная доля тепло гы, уносимая нагретыми газами, бесполезно расходуотся на обогревание окружающей атмосферы. Имеются и другие потери теплоты. Но мы отвлечемся от них и будем илсеть в виду идеальную отопительную систему, когда все количество теплоты, полученное в топке, поступает па обогреввние помещения. Вильям Томсон предложил другую схему отопления, названную дина.иическилс, отоплением. Теорсти юски этот способ отопления более выгоден, чем обычный. Хотя динамическое отопление по техничоским причинам и не получило распространения, разбор его принципа представляет интерес как любопытный пример применения закопав термодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
