Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Этот метод называется мепюдом циклов. ! !оясним его на примерах. ') Другие способы градунровкн термометра в термодннамической шкале приведены в 336, 46. Рг 141 Рг 1''г В)г) = Нт(1 /1 г — 12~1гг) С той жо гочностью величину ВТ в левой части соотношения (33.4) можно заменить на Вт. В результате получится Примерь~ иа применение теоремы Карно 105 Таблица 2 ,зт .е17' т.,к Т. К Пример 1. Рассмотрим физически однородное тело, состояние которого характеризуется двумя параметрами, например Т и г'. Внутренняя энергия такого тела есть однозначная функция тех же парал~етров: сл = ~/~Т, г'). Если известно термическое уравнение состояния 7'(Р, К Т) = О, то теорема Карно позволяет в общем виде решить воп1>ос о зависимости внутренней энергии У от объелла.
Этот вопрос мы и рассмотрим. Будем изображать состояние тела точкой на диаграмме и". Р. Рассмотрим в плоскости у' Р селлейство изотерм и семейство адиабат. Они разбивают эту плоскость на клетки, имеющие форму криволинейных 0 б Рис. 27 четырехугольников (рис. 27 а). Если изотермы и адиабаты пронести достаточно густо, то клетки будут сколь угодно мало отличаться от 3 и 2О зо 4О 50 6О 70 80 9О 1ОО 110 12О 1ЗО О.О45 4О 37 34 З1 28 22 2О 18 и 15 1З ио 150 160 170 18О ио 20О 210 220 230 240 250 260 270 280 о.оп и 9 5 4 3 2 2 1 о о ,'500 З2О З5О 370 400 420 45О 470 500 520 550 570 620 670 -О,ОО1 — 1 — 1 о 1 3 5 8 о,ои 14 17 2О 31 [Гл.
И! Второе начато тд модинаммни 100 параллелограмма. Возьмем один из таких бесконечно малых параллелограммов 12Ц, изображенный на рис. 27 6 в увеличенном масштабе. 1)икл 12Ц есть цикл Карно. Обозначим абсолютную температуру на изотермс !2 через Tм а на нзотерме еЦ через Тэ. Так как эти температуры бесконечно мало отличаются друг от друга, то индексея 1 и 2 будем опускать во всех соотношениях, в которые Т1 и Тз входят в виде множителей при бесконечно малых величинах. То же относится и к другим величинам. например Р,, Рз, 'е'ы !а и т.
и. Работа А. произведенная системой в результаге цикла !2Ц, численно равна площади параллелограмма !2Ц. Чтобы аычислить ее, проведем прямые !6 и 25, параллельные оси давлений. Ясно, что искомая площадь равна площади параллелограмма !266. Высота этого параллелограмма численно равна прирагценикз 1э -- \/1 обьема при изотермическом процессе 12. Основание же 6! дает приращение давления при повышении температуры на Т, - Тт, когда объем системы поддерживается постоянным. Оно равно (дР)дТ) и(Т1 — Та). Для работы цикла, которая численно равна его площади, получаем А = ( —,) (Т1 — Т ) (1; — й;).
Вычислим теперь количество теплоты С~ы отданное нагревателем на изотерме !2. 1!о первому началу !е» = !7а — !l~ + Р(1а — 11). 'Гак как на изотерме !2 температура постоянна, то что дает 1!о теореме Карно А Т~ — Та (34.1) 11оцставляя сюда значения А и О, найденные выше, получим (34.2) Эта формула и решает поставленную задачу. 11ример 2. Формулу, аналогичную формуле (34.2), можно вывести и для энтальпии. Энтальпию 1 будем рассматривать как функцию температуры Т и давления Р, 1!рсобразуем яы!>ажения для количестка теплоты 1„1~ и работы А.
Очевидно. 61 = 6(17 + Р1е) = (И!7 + Р Г) + 1' е4Р, откуда на основании первого начала е!7 = 66!+ 1едР. или 6!) = 67 — !'е!Р. (34.3) Примере! на применение теоремы Карно 107 Соотношение !34.3) также выражает первое начало термодинамики, но в иной форме. Пользуясь им, для теплоты Я1 получаем Так как на изотсрме 1з температура постоянна. то / д1 х 1 — 1! = ( — ) 1Р2 — Р!). 1,д )1 Таким образом, = ~(Ы)т-'1('2 -' 11реобразуем теперь выражение для работы А. С этой целью восполь- зуемся тождеством 18.3)! (дТ)1 (д7') р(д1') г ' а также соотношением ( ) дрт — 1рз — 1;) = Р, — Р,. дР)Т Тогда получим гдрт А = --( — ) (Т! — Тэ) (Р2 — Р1). 1,дТ) р Подставляя ~2! и А в формулу 134.1), находим искомое соотношение: (~~) = -'(~') 134.4) Применим уравнение 134.2) к идеальному газу.
В этом случае Р = = НТ!Г и, следовательно, Т(дР) = ~~,' =Р После подстановки этих значений в формулу 134.2) получаем (-,,~~з) = О. 134.3) Отсюда следует, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема, а является функцией только температуры. Это закон Джоуля, который использовался нами ранео как эмпирический факт. Мы видилэ. что он является следствием уравнения Клапейрона и второго начала термодинамики.
Далее, из соотношения Сг = 1дИ)дТ)р получаем ( ) = — ' —:=' дС! '1 д до' д'г' 1т дТ др !34.6) Значит, теплоемкость Ср идеального газа ие зависит о!и обаема, а монсепш зааигегаь от темперап!уры. !Гл. н! Второе начало тггрмоданамгггхт Аналогичные соотношения получаются из уравнения 134.4). Именно (, ) о, (д ') =О. 134.7) (34.8] Отсюда видно. что ошгшльпия идеальпоео газа и еео пгш лоемкость Сг являются г)гуггкг5игеми одной только температуры. При лгер 3. Уравнение !34.2) можно обобщить на случай произвольной тсрмодинамической системы, состояние которой определяется заданием каких-то внепгних гшраметров аг, аа.,, .. а„и температуры Т. В этом случае элементарная работа представляется выражением 6А = Аг даг +...
+ А„дгго. причем величины Аг!ггг, аэ,..., аом Т) играют роль обобщемпыш сил. Если 1гг — 1) параметров а, за исключением одного а;, поддерживать постоянными, то остается только один свободный параметр а,. '!'огда можно без всяких изменений повторить рассуждения, приведшие нас к формуле 134.2).
Роль объема 5г будет играть параметр а„роль давления обобщенная сила А,. В результате получится — =Т( ' г) — А,. !34.9) Аналогично можно обобщить формулу !г34.4). Если ввести обозначения (:54.10) 1 = !1+ А г аг + Азаа +... + Ава„, то получится ВА =" Т(ВТ'). !34.11) Формулы !г34.0) и !г34.11) имеют многочисленные применения. 8 35. Разность между теплоемкостнми Ср н Ср 1. В 3 18 из первого начала термодинамики была выведена формула (35.1) (35.2) Чтобы по этой формуле вычислить Ср — Ср. надо знать термическое и калорическое уравнения состояния. Второе начало термодинамики позволяет решить ту же задачу бео аспользоошг я калорического ураегшиия соглггоягг я. Оно приводят к формуле (;54.2), с помощью которой из соотношения !35.1) можно исключить производную !д11,г1г1г)т.
Это даст 1 35) Разность между теплоечкоетллт Ср и Ст 109 С помощью тождества 18Л) эту формулу можно преобразовать к виду Ср — Ск = — Т(ОТ) (д,) = — Т( —,,) ( —,) . 13о.1) Зная термическое уравнение состояния, можно но любой нз этих формул вычислить разность Ср — Ск. В частности, для идеального газа РЧ = ЛТ. В этом случае формулы (35.2) и (35.3) приводят к соотношению Майера Ср - С~ = й.
Если ввести температурный коэффициент объемного расширения . = '.(":). и изотермический модуль обьемного сжатия (дР) то из первой формулы 135.3) получится Ср — Сь = 7'а'К вЂ” ", . 1' (35Л) Так как К ) О, то нз этой формулы следует, что дия всех веществ Ср ) Си. Доказательство этого неравенства при менее ограниченных предположениях будет дано в 3 51. 2. Для твердых и жидких тел разницей объемов го н 1е обычно можно нренсбречь. Если трсбуотся получить ср — с„удельных тепло- емкостей, то малярный объем !'' следует заменить на удельный объем и = 1~д, где р плотность вещества.
'!'аким образом, для твердых и жидких тел приближенно К ср — с,= — Та . 135.5) д Для воды при ! = 0'С [Т = 273,15 К) коэффициент а = --6,10 х х 10 з К ', К = 2 10и 1!а, р = 10з кг/мз и формула (35.5) дает ср — с, = 2 Дж/(кг. К) = 5 1О ~ ккал/!кг. К). Столь ничтожная разница удельных тсплосмкостсй ср и с„для воды объясняется малостью температурного коэффициента обьемного расширения а. Эта малость в свою очередь обусловлена тем, что коэффициент а прн ! = = 4'С, где вода имеет наиболыную плотность, обращается в нупь. 3.
В качестве второго ьримсра вычислим удельную тснлоемкость с„ ртути нри 1 = 0'С. Воспользуемся следующими экснериментальнымн данными; Т = 273 К, ср = 140 ДжДкг К), р = 13,6 10з кг/мз, К=2,6 10 о!!а, а=1.81 10 К !!осле подстановки в формулу (35.5) получится ср — се = 17 Дж/!кг К), (Гл. П! Второе начало термодинамики 110 с, = 125 Дж/(кг К) 0,0202 ккал/(кг. К) ср!с, = 1,13. Здесь разница между ср и со величина, вполне заметная. Это в основном объясняется значительно большим коэффициентом теплового расширения ртути при ! = 0'С, чем воды при той же температуре.
4. Выясним причину различия между теплосмкостями ср и сь для жидких и твердых тел. С этой целью воспользуемся формулой (35.1) и представим разность ср — си в виде ср .- с„= и[( —,) + Р] — ( —,,) = — [( —,) + Р]. Отсюда ( — ) +Р= ~(ср -си). (35.6) После подстановки числовых данных получаем для воды — + Р = — 0,33 10 Па = — 0,33 10' атм, ( :)- дит до 7. и для ртути (ди) — + Р = 1,28 10а Па = 1.3 10" атм. ди)т' 3 36. Принципиальный способ градуировки термометра в термодинамической шкале Машина Карно теоретически может быть использована для гралуировки термометра в термодинамической шкале температур. Для той же цели можно воспользоваться любым точным термодинамическим соотношением, в которос, помимо температуры Т, входят только экспериментально измеримые величины.
Примером может служить соотяошевие (34.2). Покажем, как опо может быть использовано для указанной цели. Обозначим буквой т какую- Следовательно, при обычных условиях величина (ди/ди)т в тысячи и десятки тысяч раз превосходит атмосфорнос давление. Отсюда вытекает, что для жидких и твердых тел разность ср — с,, обус,ловлена главным образом работой. которая идет на изменение внутренней энергии тела при его расширении или сжатии при постоянном давлении.
Работа против внешнего давления практически не играет роли. Для газов, как мы видели. положение обратное: здесь разность ср — с„обусловлена почти исключительно работой против постоянного внешнего давления Р. Если температурный коэффициент объемного расширения о положителен (как в примере го ртутью), то при тепловом расширении тела надо затратить положительную работу против молекулярных сил.
Если коэффициент теплового расширения отрицателен (как в примере с водой). то при нагревании тело сжимается. но при этом работа против молекулярных сил также положительна. Этим и обьясняется, почему в обоих случаях разность ср —. с, положительна. Неравенство Клауэирса (<Рлл чиспгиоэо случая) 3 37) Отсюда с~Т (ВР(дт)г Т (дН,~д1'), + Р или после интегрирования (дР!дт) г (д(1/дг') -'; Р о (36.1) Частная производная (дР1'дт)к может быть вайлопа иэ уравнения состояния Р =- Р(т, г ). Величину же (дн/д1') -~- Р можно найти, измеряя количество теплоты, которое тело получает при изотермическом квазистатическом расширении или отдает при изотермнческом квазистатическом сжатии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
