Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Допустим, что температура окружающего воз чуха равна — 10 'С. Пользуясь этими данными, нетрудно вычислить, что за сутки (1 = 86 400 с) образуется слой льда толщиной:с 11,3 см. 2. Сферический кусок льда (с начальным радиусом йо —" 1 см) погружен в большую массу воды с температурой 10'С. Предполагая, что теплоперс дача в жидкости связана только с еетеплопроводпостью, определить время т, в течение которого лед полностью растает. Топлопроводпость воды и =-. =- 6 10 ' Вт/(см К), удельная теплота плавления льда д =- 330 Дж/г. Р с ш е п и е.
Если таяние льда идет очень быстро, то мпювсппое распре- деление температуры в окружающей воде будет таким же, что и в стш1и- онарном случае при тех же граничных значениях температуры. Согласно (53,2) опо в рассматриваемом случае имеет вид й Т .-- Т 1 — (Т вЂ” Т ), где й — мгновенное значение радиуса куска льда. Тэ и Т вЂ” постоянные температуры воды на поверхности шара и в бесконечности (по условию задачи 7 — 7в = 10 К). Количество топлоты, поступающее к шару от окружающей воды за время сй, с1Т 4яга и — сй -- 4хнй(7' — Тв) сй. Ф Эта теплота идет на расплавлеяие льда н потому может быть также пред- ставлена выражением — еж — —. — 4хй Р дай.
Приравнивая оба выражения, получим н(7' — 7'О)сй — -Р„,д й с(й. Отсюда интегрированием находим искомое время таяния льда; т ", 2480 с 40 мин. Р. Ч )Гл. 1У 174 Тенлопроеодл)осгаь В 55. Принцип суперпозиции температур. Температурные волны 1. Уравнение теплопроводности (52.6) линейно и однородно. Следствием этого является важное свойство его решений, называемое прингйипом срперпозиции температурных возмущений. Пусть 7') <)с, 1) и Тг (х, 1) — какие-либо два решения уравнения (52.6), т.е.
д 'Г) д Tг дTг д "'Гг д1 Хд, дс Х д,г Е<ли почлешю сложить эти соотношения, то получится д(,Т) + Тг) д'(,Т) 1- Тг) =х Отсюда видно, что сумма Т вЂ” 7'г + Тг также являотся решением уравнения <52.6). Вообще, сум.ма произвольного кисла региюгий уравнения тгалокроаодности сама яеляется реиынием того же ) раонеш я. Эта математическая теорема выражает сяеду<оп<г<й физический факт. Про)аь Т<(х, 1), Та(х, 1),, — какие-либо возможные произвольные распределения, тамг)ературы о среде. Тогда их сумма 7' .=. 'Гг (х) 1) + 7<)<и, 1) + ...
раен) также некоторое возможное распределение температуры о той же среде. Это положение и называется принципом суперпозиции (наложения) температурных возл<ущепий. <1ля правильного попил<виня и применения суперпозиции температур необходимо иметь в виду,что свойства реальных сред, в том числе и температуропроводность х, меняют<я с температурой. Этого при доказательстве мы не учитывали.
Температура 7' — Тг 1 7'г+... может оказаться, например, настолько высокой. что твердое тело расплавится или испарится. Тогда решение Т = 'Гг -~- 7' -1 ... потеряет всякий смысл. Таким обрат<ем, свойства линейности и от<ородности уравнение теплопроводности сохраняет лишь приближенно в каком-то температурном интервале, в которол< тсмпсратуропроводность постоянна. П1ирипа )штервала зависит от самой среды, а также от степени точности, предьявляемой расчету, Принцип суперпозиции сохраняет силу только тогда, когда все температуры Т) .
Тг )..., а также их сумлга не выходят за пределы этого интервала. Вне этих пределов принцип супер- позиции несправедлив. Основное значение принципа суперпозиции состоит в том, что он позволяет по известным решениям уравнения теплопроводности гконструироватьл новые решения. 2. Теорема, обратная только что доказанной. конечно. несправедлива. Сумма Т =- 71< 4 Тг может быть решением уравнения теплопроводиости (52.6), но слагаемые Тг и Тг могут и не быть таковыми.
Однако формально математически можно ввести комплексно)е решения,. Пусть Т вЂ” колтлекс.- нвя функция, уловлетворяюп<эя уравнению ,'52.6). 1лазобгьел< ее на вещественную и мнимую части: Т = 7) -~- л'!'г, где 7'г и '1'г — величины вещественные. Подставляя это выражение в уравнение <52.6) и отделяя вещественную часть <а*мнимой,получим 7г7' дт даТ Но комплексное число тогда и только тогда равно нулю, когда в огдсльностг< равны нулю его вещественная и мнимая части, т. е.
дT) д Т< дTг д Tг дс ' дтг ' д< дт,' "З 55) Принцип срперпозиции температур. Температурные. волны, 175 3. Если в каком-либо месте среды температура периодически меняется во времени, то это приведет к периодическим изменениям температуры и во всех остальных точках среды. Рассмотрим простейший случай, когда среда однородна и заполняет пространство, ограниченное плоскостью я =- = О. Ось Х направим внутрь среды перпендикулярно к ее границе. Пусть температура на поверхности среды меняется во времени по синусоидальцому или косинусоидальному закону,колеблясь вокруг некоторого среднего значения.
Это среднее значение можно принять равньпа нулю, если условиться отсчитывать от него температуру. Так мы и поступим. При отыскании периодических решений уравнения теплопроводности вместо синуса или косинуса удобнее пользоваться комплексной показательной функцией, а затем с помощью известной формулы Эйлера (1707 — 1783) е* = сове| -, '|е!по| (55.1) перейти к вещественной форме решеяия. Рассмотрим комплексную функ- цию Т .— —. Тоец (55.2) где То, |о и й — постоянные.
Посмотрим, при каких значониях этих постоянных функция (55.2) будет рев|ением уравнения теплопроводности. Дифференцирование дает .>2Т Подставляя эти выражения в уравнение (52.6) и сокращая, получим — Хй (55.3) Если выполнено это условие, то функция (55.2) будет решением уравнения (52.6), какова бы ни была постоянная То. Постоянную |о мы выберем всщоственпой и положительной. Тогда постоянная й будет комплексной и может иметь два значения: ! =-,г-'=-',Г« —.
Х 12Х (55.4) В результате выражение (55.2) преобразуется в (55.5) Здесь содержатся два, а но четыре решения, так как верхний знак должен комбинироваться с верхним же знаком «- ю а нижний — с нижним. Из этих двух решений одно надо отбросить по физическим соображениям. Значит, если комплексная функция 7' = 71'| + |Т> является решением уравнения тсплопроводцости, то вещественные фупкцип Т| и Тз также являются решениями того жс уравнения. Справедливость этого утверждения связана с тем, что переменные я и й а также температуропроводпость Х вЂ” вели"зины.
оещсстеенные. Оно остается в спле для любых линейных однородных дифференциальных уравнений с вещественными коэффициентами и часто дает удобный метод отыскания вещественных решений таких уравнений. Проиллюстрируем это на примере так называемых телтератйрны>в волн. Этот вопрос можно было бы рассмотреть и не выходя за пределы класса вещественных функций, но такой метод был бы громоздким и противоестгствецпыы. (Гл.
)М Тсплопроеодность Колебания температуры начинают возбуждатьгя на поверхности среды и передаются внутрь пее. Естественно, что эти колебания должны .зашряагиьч а не нарастать по море удаления от поверхности среды. Между тем знаку ь-~-» в формуле (55.5) соответствует экспопепцивльпо растущий множитель ехр(ч-~~и/2Л:г), стремящийся к бесконечности при я -э оо. Этот знак не удовлетворяет условиям задачи, и надо сохранить только знак « — м Далее. необходимо перейти к веп!естес»п»ой форме решения„так как только такие решения ил»еют физический смысл. Как покьшано выше, всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям. Из комплексного решения (55.5) описанным выше способом получаются два |зешения в вещественной форме: Т вЂ” Т» .= Тэ ехр( — ~ — я1! сов! ь»! — ~ — т), ' ': "-( ~ — )" (" )) — ) (55 6) (55,7) Можно было бы убедиться непосредственной подстановкой, что найденные выражения являются решсниями уравнения (52.6), удовлетворяющими граничному условию на поверхности среды.
Тогда отпала бы необходимость в получении вспомогательного решенпя в комплексной форме (55.5). Но такой способ, как уже отмечалось, сложен и противоестестнеп. 4. Выясним теперь физический смысл полученных решений. Оба решения (55.0) и (55.7) однотипны — синус всегда можно преобразовать в косинус путем изменения начала отсчета времени. Поэтому достаточно огранпчпться исследованием одного из них. Остановимся, например, на решении (55.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
