Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Но заданием источников решение уравнения (54.1) еще не определяется однозначно. К нему необход«э<о добавить так называемые началш<не и грииичиые условия,. Типичные начальные и граничные условия состоят в следующем. Начальное условие определяет температуру во всем теле в какойто один момен"г времени, который удобно принять за начало отсчета времени. Это условие можно записать в виде 154.2) Т; о=У(х), где !1х) — заданная функция координаты т..
Граничные условия определяют температуру тела на границе тела во все моменты времени. В одномерном случае тело имеет вид плоскопарвллельной пластинки, ограниченной плоскостями т. = О и х = !. Поэтому граничные условия запишутся в инде 1©4.3) Те — < = Рз(!), (Гл. Ву Теплопроводногть 11О д«8 д, =Хд,, (54.4) т. е. функция О(х, 1) удовлеткоряет уравнению теилопроводности без источников.
Кроме того, ясно, что эта функция удонлетворяет «нуле- вым» начальным и граничным условиям: (54. 5) 0»,о = 0 прн любых х; О =о=О, О,-ч =0 при любых1. (54. 6) Рассмотрим интеграл ! (1) = ~ О дх. Ясно, что он не может быть отрио цательным. Кроме того, наяду (54.5), 1(0) = О. Найдем произнольную интеграла 1(1) по времени: 41 1 дО С дО = 2 ~ Π—, 4х = 2Х ~ О ., дх. 41 =-~ дг =- ~ дх Интегрируя по частям, получим 41 джей ' Ггдб1х — = 2ХΠ— — 2Х ~ ( —,) »1х.
дх о ~ дх о Первое слагаемое в правой части обращается в нуль ввиду граничных условий (54.6). Второе слагаемое отрицательно или нуль. так как Х > > О. Таким образом, «11,1а1 ( О. С течением времени интеграл 1 может только убывать или остакаться постоянным. Первое невозможно, так как должно быть 1(0) = О, 1(1) > О. Остается единственная возможность «11/«11 = О, т.е. 1(1) = сопя» =- 1(0) = О. Это возможно тогда и только тогда, когда О(х,1) з— в О, т.е.
Т,(х,1) = Тз(х,1). Единственность решения доказана Рассуждая так же, легко доказать, что теорема единственности справедлива и для задач со сферической или цилиндрической симметрией. Она остается справедливой н для тел произвольной формы, где 1а~ (1) и дт(1) — заданные функции времени. 2. Единственность решения сформулированной краской задачи обусловлена тем, что температуроирокодность Х есть величина существе~то полоэкитсльиал. Для доказательства единственности решения допустим, что уравнение (54.1) имеет два решения: Т,(х.,1) и 7а(х, 1), удовлетворяющие начальному условию (54.2) и краевым условиям (54.3). Тогда дТ~ д Т» 4 дТ« д Та =Х, о+ =Х а+ дг дх рс' д1 дх рс Вычитая почленно и вводя обозначение О = Т~ — Та.
получим з 54) Нестацнонарные задача. Теорема единстоснносгаи. 171 когда Т зависит от всех трех пространственных к<>орз<инат. Доказательство проводится так же, только вместо простых интегралов надо пользоваться объемными и поверхностными интегралами. Это доказательство выходит за пределы нашего курса. Если каким-либо способом удается найти или угадать решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее требуемым начальным и граничным условиям, то теорема единственности позволяет утверждат<н что это и будет искомым решением задачи.
Примеры на использование теоремы единственности будут приведены в 2 бб. 3. Могут быть и такие задачи, в которых единственность решения обусловлена другими причинами. В качестве примера рассмотрим следуюп<ую залачу. Два теплоизолированпых тела 1 и 2 с разными температурами соединены между собой однородным теплопроводящим стержнем, боковая поверхность которого также тсплоизолирована. Начальныс темпоратуры тел равны соответственно Т> о и Т>о.
Требуетсв яайти закон изменения температуры этих тел во времени. В такой формулировке задача содержит еще слишком много нсопределеняого. Для устранения неопределенности предположим прежде всего, что теплопроводность обоих тел очень велика <л<ател<атически бесконечно велика). Тогда выравввванио температур между различными частями тал будет происходить практически мгновенно. Поэтому в каждый мол<сит времени 1 можно ввести определенные тел<пературы 7 > <1) и 7' <1), характеризующие толь 1 и 2 в целом.
Но этого еще недостаточно, чтобы задача стала полностью определенной. Необходимо еще ввести дополнительно некоторые предположения относительно стержня. Г!отек теплоты через поперечное сечение стержня будет зависеть от начального распределения температуры в нем. Если начальная температура стержня равна Т>о, то на гравице с телом 1 в стержне в начальный момент времени не будет никакого теплового потока, тогда как на границе с телом 2 поток теплоты будет максимальным. Если стержень имел промежу гочную температуру между 7'>о и 7' о, то начальный поток теплоты будет как-то меняться вдоль стержня от сечения к сечению.
Допустим, однако, что теплоемкость стержня пренебрежимо мала по сравнению с теплоемкостями тел С< и Сг. По истечении некоторого времени в стержне возникает равномерное падение температуры, при котором поток теплоты нс будет изменяться вдоль стержня. За зто врал<я температуры тел 1 и 2, ввиду больших значений их теплоемкостей, практически пс изменяться. Поэтому от процесса установления потока теплоты в стержне можно отвлечься н считать, что с самого начала поток теплоты вдоль стержня олин и тот же во всех его сечениях. Тогда задача становится математически определенной.
т. е. однозначной. Допустил< для определенности, что Т> ) Т . Поток теплоты вдоль стержня от тела 1 к телу 2 равен 1> 1г ><Я вЂ” — —. где Я пло<цадь поперечного сечения стержня, 1 его длина. Этот поток численно равен скорости убывания — д<Е«<Ю теплоты в теле 1 или скорости прирап<епия Э-<10г,<дг теплоты в теле 2. Считая тсплоемкости С< и Сг постоянныл<и, можно написать Я< .— С>Т>, <,>г .
С>7>. Это приводит к уравнениям дТг 7 > — Т> дт Т вЂ” Тг (54.7) ( Гл. 15г Тсплопроеодиоггпь У72 Почленпое сложение уравнений (54.7) даст 4Тг 4Тэ Сг -~-Сг =О, <11 или после интегрирования С1Т1 4- С Тг =- сопви Это уравнение вырахсает сохранение общего количества теплоты, содержащегося в телах 1 и 2. В начальный момент Тг =-. Т,е, Тг == Тге, а потому С~Тг 1- Сэ7г СгТго -~. Сг7го. (54.8) Этого уравнения яедостаточно для определения поизвестных 71 и 7' . Для нахождения недостающего уравнения разрепшм уравнения (54.7) относительно производных г1Тг /Ж и г175 /Ж и вычтем почленцо из одного уравнения другое.
Тогда получим г1(Т вЂ” Т ) Т вЂ” Т (54.9) Ж т где введено обозначенпе (54Л О) Постоянная т имеет размерность времени. Интегрируя уравнение (54.9), получим Тг — Тг —" г(с Разность температур Т, — Тг убывает во времени по экспоненциальному закону. За время т эта разность убывает в е раз. Поэтому т характеризует время установленпя теплового равновесия магкпу толами 1 и 2. Оно называется временем релаясации или временем вы1ювниваии температур рассматриваемых тел. Постоянная интегрирования Л найдется иэ начальных условий: 7г = 7га, Тг = Тго прц 1 = О.
Это дает !1 — 1г " (7ю — 7го)е (54Л1) Решая теперь систему уравнений (54.8) и (54.11), найдем Сг + С Сг-~- Сг С,Тгс й Сг7ю Сг Сд 4 Сз Сг + Сг При 1 )) т зкспоненциальные члены в этих выражениях пренебрежимо малы, и формулы (54.12) переходят в общеизвестное выражение, определяюп1ее «температуру смесик ЗАДАЧИ 1. Определить толщину льда, образующегося в течение заданного времени на спокойной поворхности озера.
Считать, что *гемпература 7" окружаюп1сго воздуха все время постоянна и равна температуре наружной поверхности льда (Т < Т,, где Т, — температура плавления льда). Решение. Обозначим буквой т толщину образовавшегося слоя льда к моменгу времени Е Если замерзание идет не очень быстро, как это в действительности имеет место в естественных условиях, то в слое льда установится линейное падение температуры от Т,„, до Т. В этом случае количество теплогы, уходящос наружу от единицы поверхности льда за 3 54) Нестацивнарные ваОачи.
Теорема единственности 173 время ссс, представится выражением Т,,— Т Но вту величину можно представить в виде Ор ссх, гдо сгх — толщина слоя льда, образовавшегося за время с)1, р плотность льда, 9 удельная теплота плавления льда. Это приводит к уравнению Т„-.Т и с11 — — пР с)х.
Умножая на х и интегрируя, получим м(71м — Т) 1 =-, + А. 2 Примем за начало огсчета времени момент, когда образование льда на поверхности воды только чго началось. Тогда х, — — 0 при 1 = О, а потому А =- О. В результате получим х =-. ,Г 2м(Т„„, — Т)4 (54.13) ЧР Для льда и -- 2,22. 10ээрг,'(с см К), д — 3,35 10ээрг~'г. р — 0.9г/сьсэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
