Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 50
Текст из файла (страница 50)
1 а ! 1 2 1 2 2 ! ' ' 2 Следовательно, дг, дг, дг, у! Г! >)!+ . 02+ +, Ю да> д>!г д!!! т.е. обычные скорости и> материальных точек системы являются линейными однородными функциями обобщенных скоростей йы г!ю.... й!>. Коэффициенты, входящие и эти функции, занисят, нообще говоря, от всех обобщенных координат механической системы.
Используя полученное выражение, для кинетической энергии системы находим г Екио ~ >гии> о 2~~ ~ а>! !!>>!Й. (63.6) >=! ь=! Кинетическая энергия представляется квадратичной формой обобщенных скоростей >),. Коэффициенты этой формы а!ы вообще говоря, зависят от обобщенных координат >!>, >1>, >!з, 7. Приведенные рассуждения могут рассматриваться как убедительные аргументы, доказывающие классическую теорему о раи>омерном !испределеиии кинетической энергии по степеням, свободы и разъясняющие ее смысл и частных слу гаях. Приведем теперь без доказательства общую формулировку этой теоремы.
Преднарительно напомним некоторые сведения из классической л>еханики. В классической теории атомы рассматринаются как материальные точки. а всякое макроскопическое тело --. как система материальных точек. Если число материю>ьных точек и системе равно >>' и на систему не наложены никакие дополнительные связи, ограничивающие снободу ее движения, то требуется 3>>' координат, чтобы однозначно задать положение исех точек системы. Классическая теория.
однако, пользуется и такими механическими моделями„н которых на движение мгггериальных точек наложены определенные ограничения — связи. При наличии снязей число независимых координат, заданием которых однозначно определяется конфигурация, т. е. положение всех точек системы, уменьшается. Б качестне таких независимых координат можно взять те прямоугольные координаты материальных точек, через которые выражаются все остальные координаты. Число этих незанисимых координат Г" называется ">ислол! степеней свободы системы.
Не обязательно пользонаться прямолинейными координатами. Можно взять у любых других величин е!>, >!г,..., ду, однозначно определяю>цих конфигурацию системы. Они назыкак>тся г>бобщеиными коордшщп>ами, а их нроизиодные по времени >) >, да,..., !)> — обобще>паимгл скоростями. Радиусы-векторы г; материальных точек системы являются функциями обобщенных координат: Г! = Г>(Я>, 02, , УГ).
Молекулярно-кинетическая нгеория нещетпаа ) Гл. Ъ' 204 В оогцеьг случае в сумму (63.6г) входят члены с наварными произведениями различных обобщенных скоростей. По этой причине слагаемые указанной суммы, вообще гоноря, не могут быть интерпретированы как кинетические энергии, приходящиеся ва соответствующие степени свободы системы. Однако обобщенные координаты всегда можно выбрать так, чтобы такая интерпретация сделалась возможной. Действительно, в математике доказывается, что надлежащим выбором обобщенных координат квадратнчнунз форму (63.6) всегда можно привести к так называемому диагогюльному аиду, т.
е. к такому виду, в котором она содержит только квадратичные члены и не содержит членов с наварными произведениями обобгценных скоростей. При таком выборе обобщенных координат (63.7) Ек„н 2 =1 где коэффицпенты а, являются функциями обобщенных координат. Если возбуждена только одна 1-я степень свободы, то сумма (63.7) сводится к одному слагаемому а;д;12. Это слагаемое поэтому можно интерпретировать как кинетическую энергию, приходящуюся на г-ю степень свободы. Таким образом, при указанном выборе обобщенных координат полная кинетическая энергия системы представляется в виде суммы кинетических энергий, приходящихся на отдельные степени свободы. '1ак, если за координатные осн выбрать главные оси вращения твердого тела, то его кинетическая энергия в любой момент времени может быть представлена в виде где М вЂ” масса тела.,г. у, = — прямоугольные координаты его центра масс.
1. г 1ю 1 — моменты инерции тела относительно координатных осей. углг рю гд - угловыс скорости вращения тела относительно тех же осей, В дальнейшем при изложении теории теплоемкости предполагается, что обобщенные координаты выбраны такг что кинетическая энергия представляется выражением (1г3.7), т.е. в ниде сулгмы квадратичных членов. 8. Так как между частицами системы есть силовое взаимодействие, то прн тепловом движении энергия каждой частицы быстро и беспорядочно меняется во времени.
Веспорядочно менянхгся во времени и слагаемые суммы (63.7). В молекулярно-кинетической теории предстанляет большой интерес знание средних значений таких слагаемых. Основная теорема, применимая к классическим системам. состоит в том, что в состггякии теплового равновесия на катсдую стспянь сообадьг прияогдится а средгглм одна и та теег кинетическая ашгртиг.
Это наложение называется теоремой о рааггхгмерггом уаспределеггии ~ 63) Равномерссое раепредшмнне кинтпичеекой энергии 205 де .„ 'сс 2ек и. (63е3) В статистической механике доказывается, что при тормодинамичсском равновесии средние значения всех слагаемых в левой части одинаковы. Это приводит к результату 2( д' ') 2 (63.9) являющемуся обобщением теоремы о равномерном распредегсессии кинетической энергии по степеням свободы. 9.
Если смешать два химически не реагирующих идеальных газа с одинаковыми температурами, то при этом средние кинетические энергии поступательного движения молекул каждого газа не изменятся. Иными словами, в результате смешения не изменятся температуры газов. Это утверждение для многоатомных газов совсем не тривиально. Оно является следствием теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. с'1ействительно, температура газа определяется средней кинетической энергией поступательного движения его молекул.
Если газ многоатомный, то внутренняя энергия вполне определенным образом распределяется между кинетической энергией поступательного движения, энергией вращения и внутреннего движения молекул. Неизменность температуры означает, что в результате смешения такое распределение остается неизменным кинет.ссчеекой, энергии по степессям, свободы. Его первоначальные доказательства для частных случаев были даны Максвелгсолс и Вольцманом. Общее доказательство дается в статической механике. однако оно выходит за рамки нашего курса, и мы ограничимся лишь замечанием, что в основе доказательства леоюспт предполоаюессие о прилсенимоста законов классичесссой ясеханики к атомно-молекул,ярным с:истемам, а также одно общее предположение вероятностного характера (так называемая эргодическая гипотеза), принять которое необходимо для согласования статистической физики с аксиоматичсской термодинамикой.
Средссяя кстегпичеекля стергия, прслходящаясея при спяплоьом, равновесии сш одссу еишпень соободм лсобой атомссо-люлекугсярссой системы рва~а (1С2)кТ. В этом летка убедиться, если представить, что рассматриваемая система находится в тепловом контакте с одноатомным газом той же температурьс. Чак как для газа эта энергия равна (1(2)кТ, то по теореме о равномерном распределении то же будет и для любой степени свободы рассматриваемой системы.
Когда обобщенныс координаты выбраны так„что в выражение (63.6) входят также наварные произведения обобщенных скоростей, то говорить о распределении кинетической энергии по степеням свободы не имеет смысла. В этом случае теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы обобщается. Так как е „„ является однородной функцией обобщенных скоростей второй степени. то по теореме Эйлера Молекулярно-киггегаическал пмарип пещесллаа ) Гл. гг для каждого газа. А это непосредственно вытекает из теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы.
Доказательство закона Двап тона для многоатомных газов также основано на той жс теореме. Рассмотрим два химически не рсагируклцих газа. Пусть Е2 „„„, н Е2„,„, — средние кинетические энергии поступательного движения всех молекул этих газов. Пусть до н после смешения газы занимали один и тот жс объем 1г. '!огда до смешения Р~ 1г = (2,Г3) Е2 ггост, Р2 1' = (2/3) Е2,, Если до смешения температуры газов были одинаковы, то после смешения энергии Е, п„и Е2„,, не изменятся. Поэтому давление смеси газов Р будет определяться соотношением 2= 2 Епаст, сг'2 пост+ Е2посг) 'гР1 + Р2)1 3 3 Отсюда Р = Р~ + Р2, т.
е. давление смеси идеальных газов равно сумме парцнвльных давлений этих газов. 8 64. Броуновское движение 1. Результаты, изложенные в предыду.щем параграфе, нашли блестящее экспериментальное подтверждение в янлении бройносскоео двисясецил, Это явление было открыто в 1827 г. английским ботаником Броуном 11773 — 1838) во время испытания только что вошедших тогда в употребление ахроматических объективов. Оно заключается в том, что все мельчайшие частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном дрожании.
Это движение никогда не прекращается. В кювете, закрытой со всех сторон (во избежание испарения). его можно наблюдать днями, месяцами, годами. Оно обнаруживается в жидких включениях кварца, которым насчитывак2тся тысячи лет. Движение вечно и самопроизвольно. Вроуновское движение в жидкости тем оживленнее. чем меньше вязкость жидкости. Его едва удается подметить в глицерине. а в газах оно, напротив, чрезвычайно интенсивно.
Перрону удалось наблюдать броуновское движение капелек, лежащих на «черных пятнахо мыльных пузырей (т.е. на самых тонких участках мыльной пленки). Диаметр этих капелек в 100 — 1000 раз больше толщины мыльной пленки. Ьроуновским движением перпендикулярно к пленке лгожно пренебречь, но в плоскости самой пленки оно происходит чрезвычайно интенсивно (ггочтн так же, как в газе).
В одной и той же жидкости броуновское движение происходит тем интенсивнее. чем меньше размеры броуновских частиц. Интенсивность движения увеличивается с повьппенисм температуры жидкости. Две частицы движутся в одной и той же жидкости совершенно одинаково, если одинаковы их размеры и форма: ни вещество частиц, ни его плотность не играют здесь никакой роли. Движения броуновских частиц, расположенных даже весьма близко друг к другу, совершенно независимы, так что о каких-либо теченияхг т.е. конвективном происхождении движения, не может быть Броуновское двплюен,ие 207 речи. Броуновское движение вызывается толчками, испытываемыми взвешенными частицами со стороны окружающих молекул, совершающих тепловое движенио.
Толчки иногда в точности не уравновешивают друг друга. В каждый момент времени частица движется в определенном направлении. Спустя короткое время направление равнодействующей силы ударов со стороны окружающих молекул меняется. н частица начинает двигаться в другом направлении. '1аким образом, под влиянием ударов молекул окружающей среды скорость броунов- ской частицы непрерывно н беспорядочно меняется по величине н направлению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
