Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Это и есть броуновское движение. 3! юбопытно отмстить, что Лукреций (в поэме «О природе вещей~~ предвидел и описал это явление, но, конечно, не имел возможности его наблюдать. 2. Формула (63.5) лежит в основе количественной теории броуновского движения. Если бы можно было измерить мгновенную скорость броуновской частицы, то по этой формуле можно было бы вычислить постоянную Больцмана х, а по ней и постоянную Авогадро Ах = Л,1й.
Попытки таких измерений предпринимались, но неизменно приводилн к противоречивым результатам. Дело в том, что практически невозможно точно измерить мгновенную скорость частицы Г. Если измерить расстояние между двумя положениями броуновской частицы и разделить его на время т, которое она затрачивает на прохождение нз одного положения в другое, то таким путем получится скорость порядка нескольких микрометров в секунду. Это дает для кинетической энергии движения броуновской частицы величину, примерно в 10в раз меньшую. чем следует. Как бы мал ни был промежуток времени т, путь броуновской частицы между рассматриваемыми положениями нс прямолинеен. а очень запутан. Он состоит из громадного множества зигзагов.
непрерывно и беспорядочно слсдуюп1нх один за другим. Проверка молекулярно-кинетического объяснения броуновского движения и вычисление нз этого явления постоянных Й и А к стали возможными лишь после того. как в 1905 г. Эйнштейн разработал математическую теорию броуновского движения, в которую мгновенная скорость броуновской частицы не входит. Вместо нее входит длина прямолинейного отрезка, соединяющего положение частицы в два различные момента времени, величина, доступная измерению на опыте.,!1юбопытно отметить, что прн разработке своей теории Эйнштейн ничего не знал о существовании броуновского движения. Оп предсказал это явление н построил его полную количественную теорию.
Польский физик Мариан Смолуховскнй (1872-1917) в !906 г. независимо от Эйнштейна также построил количественную теорию броуновского движения, хотя его окончательная формула и является приближенной она отличается от формулы Эйнгптейна числовым коэффициентом порядка единицы. Приведем здесь упрощенный вывод формулы Эйнштейна.
В 3 93 будет приведен другой вывод, близкий к выводу самого Эйнштейна. 3. Будем считать, что броуновская частица имеет форму шарика радиуса а. Рассмотрим движение се в жидкости. Если небольшой шар 208 Молекулярно-кинетичеекол теория оещееопоа )Гл. У радиуса а равномерно движется в жидкости со скоростью 1г, то как показывают опыт и теория, на него действует сила сопротивления 1е, пропорциональная скорости ~~.
Коэффициент пропорциональности в формуле (64.1) называется гюдопоюностью частицы.,11ля шарообразной частицы по- движность была теоретически вычислена Стоксом (1819 — 1003): 1 В= бхпо 164.2) 1 Их, = — —:. + Х. В Первое слагаемое в правой части есть регулярная сила трения, обусловленная движением броуновгкой частицы со скоростью х.
Второе слагаемое Х учитывает беспорлдо шо дейстоугощпе гпол" ши, которым подвергается броуновская частица со стороны окружающих молекул. В сущности. и первое слагаемое — сила трения — также обусловлено толчками молекул. Однако если частица уже движется, то в среднем толчки, действующие против движения, сильнее толчков, действующих в направлении движения. Это обстоятельство и учитывается слагаемым — х1'В. Слагаемое же Х есть сила толчкои, которая действовала бы на частицу„если бы она была неподвижна. Среднее значение такой силы равно нулю. Умножим предыдущее уравнение на х и преобразуем его, пользуясь следующими тождествами: г е1 —., т, =2х +2хх.
дг о, г — х .= 2х.т., д1 Получим г 1 " г И вЂ”,, х. + — —:г. — 2Мт = 2Х,г. дгг" В дг" Будем отсчитывать координату х от положения, которое частица занимала в хюмент времени 1 = О. Напишем предыдущее уравнение для каждой из множества, тождественных броуновских частиц. сложим и разделим на число всех частиц.
Короче говоря, усредним предыдуп1ее уравнение по всем частицам. Ввиду хаотичности молекулярного где 0 вязкость жидкости (см. т. 1, 2101). Таким образом, подвижность сферической частицы обратно пропорциональна ее радиусу. Она может быть измерена по скорости установившегося движения частицы под действием силы тяжести 1точнсе, под действием разности силы тяжести и архимедовой подъемной силы). Достаточно измерить подвижность для какой-,либо одной частицы при малых числах Рейнольдса (Ге (( 1). Если радиус ее равен ао, а подвижность Во. то подвижность другой частицы радиуса а найдется по формуле В = (ао/а)Во.
Уравнение движения броуновской частицы в направлении оси Х имеет вид 6 64) Броуновское движение 209 движения (Х:г) = О. Далее. согласно формуле (63.5), (Ма:2) = аТ. Поэтому М вЂ”., (х ) + — — (тз) — 2БТ = О. (64.3) 4. Нет необходимости решать это уравнение в общем виде. 41огнчнее пойти по более короткому пути. Докажем, что средний квадрат смещения броуновской частицы (х ) пропорционален времени 1. Для этого заметим, что все положения броуновской частицы н все моменты времени совершенно равноправны. Отсюда следует.
что смещение броуновской частицы за время 12 — 1~ между двумя моментами времени 1~ и 12 есть случойешя фу«екцил только разности 12 — 1ы нс зависящая ни от 1„. ни от 12. Слово «случайная» означает, что эта функция еще не определяется значением аргумента 12 — 1ы Прн одном н том же значении 1в — Н смещение частицы может принимать любые значения, но с различной вероятностью. Аргументом 12 — П определяются не сами смещения, а их веролшиости. Смещения кеы будем обозначать через хе, е,.
т, е, будем писать аргумент 12 — 11 в виде индекса. Ясно, что сумма смеп1ений частицы за два последовательные промежутка времени — от О до 1 и от 1 до 1+ т — равна смещению ее за время от О до 1+ т, т. е. =:ее +,хе. Возведем это соотношение в квадрат, усредним и примем во внимание, что (х,х,) = О.
Тогда получим (х, ) = (х,) + (т,,). Усредненная величина (х«) есть, очевидно, обычная регулярная функция аргулгента 1, однозначно определяющаяся значением этого аргумента. Обозначая ее через 7'(1), запишем предыдущее соотношение в виде 7(1+ т) = 7(1) + 7'(т). Из этого фУнкционального УРавнениЯ слеДУет, что 7(1), т.е, (хе), есть линейная однородная функция времени 1. Доказанное„очевидно, справедливо для броуновских частиц любой формы, а не только сферических. Итак, должно быть (еоз) = А1. Постоянная А опродсляется подстановкой этого выражения н уравнение (64.3). В результате получится (хз) = 2БТВ1.
(64.4) Это и есть формула Эйиштеййю ') . В ней .г. означает смеп1ение ча; стицы только в одном избранном направлении (принятом нами за направление оси Х), т.е, х есть проекция полного смещения г на это н ) Заметим, что формува, выведенная Смолуховским, отличается от формулы Эйнштейна (64.4) только тем, что вместо множителя 2 стоит множитель 64,'27. Молекулнрно-кинепэическал творил вещества ) Гл. Ъ' направление.
Очевидно, гв = т, + р- + - . Усредняя и принимая во внимание, что (,г ) = (у~) = (в ), получим (г ) = 3(ар). Поэтому формулу Эйнштейна можно также записать в виде (64.о) 5. Формула (64.4) была со всей возможной тщательностью подтверждена экспериментально французским физиком )Каном Перреном (1870 — 1042) в ряде работ. начатых в 1908 г. Перрен отлэечвл через равные промежутки времени (с = 30 с) последовательные положения одной какой-либо определенной броуновской частицы в поле зрения микроскопа и соединял зти положения прямолинейными отрезками. Мы воспроизводим одни из оригинальных рисунков Перрена (рис. 4(э).
На нем описанным способом зафиксированы пути трех броуновских Рис. 46 частиц. Длина 16 клеток рисунка составляет 50 мкм, диаметр броуновской частицы равен О,о3 мкм, Конечно, приведенный рисунок дает только отдельный намек на причудливые изломы действительной траектории частицы. Если бы, например, нанести положения частицы через промежутки времени, в 100 раз более мелкие, то каждый прямолинейный отрезок на рисунке заменился бы соответствующей зигзагообразной ломаной, которая была бы стол же сложна. как и весь рисунок.
Отскэда ясно, насколько безнадежно найти истинную скорость броуновской частицы по длине прямолинейного отрезка, проходимого ею за определенный, даже очень короткий, промежуток времени. На рисунке легко измерить проекции рассматриваемых перемещений броуновской частицы на какое-либо направление, например на горизонтальную ось координатной сетки.
После этого можно вычислить значение среднего квадрата смещения (,э:а) и по формуле (64.4) Вращательное. броуновское движение 211 найти постоянную Больцмана й и постояннук> Авогадро Ага. Перрен получил доя этих постоянных значения, согласующиеся в пределах ошибок измерений с другими методами. В 65. Вращательное броуновское движение Вращательное броуновское движение в теоретическом отношении проще поступательного и легче поддается опытному исследонанию. Опыт ставится следуюпгим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
