Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 61
Текст из файла (страница 61)
У всех остшгьных газон (за исключением водорода) масса атомов еще больше, а следоватольно, 7л ниже, чем у гелия (концентрация и при нормальных условиях одна и та же для всех идеальных газов). Имея столь низкие температуры вырождения, ни одно вещество не может находиться в газообразном состоянии при нормальных условиях. Поэта~у все молекулярные газы достаточно далеки от вырождения, и их не только можно., но и следует рассматривать как классические сисхгсмы. 8 72. Эакон распределения скоростей Максвелла 1.
Изложим теперь рассуждения Максвелла, которые привели его в 1850! г, к открытию закова распределения молекул газа по скоростям. Пусть газ состоит из очень большого числа гг' тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного тегглового движения при определенной температуре. Предполагается, что силовые поля, действующие на газ. отсутствуют. Какока вероятность того, что х-составлякицая скорости молекульг лежит между и и и + де,, а остальные две составляющие могут быть какими угодно? Ясно, что эта вероятность должна быль пропорциональна ширине рассматриваемого скоростного интервала ди,г а коэффициент пропорциональности зависит от и, Обозначим эту вероятность через гр(п ) дгг .
Величина гр(ог,) также называется функцией распределения. Однако она характеризует распределение молекул не по полной скорости к., а только по ее проекции и на ось Х. Величина )(ч) имеет смысл обвемной (трехмерггой). или соелеесппгой, фуикг1ии распределения в пространстве скоростей, величина р(и,) -- одномерной (линейной), или гюрциалыной, фуггкции распределения в том же пространстве. Аналогично, ео(ин) агин 6Удет веРоЯтностью того, что У-составлающая скорости ъголекушл заклгочена между и„и иа -~- ди„, а сосгаюглющис и и и.
могут быть какими угодно. Вкиду полного равноправия всех направлений скоростей функция гр будет той же самой, что и в предыдущем случае, но от другого аргумента ию Наконец, гр(и,) ди, ость кероятность того, что --составляющая скорости молекулы лежит между и, н гге + дие. ггрггчелг остальные составляющие и, и и, могут быть какими угодно.
2. Назовем ради краткости попадания молекулы в скоростные интервалы (и,, и +дне), (пю но+до, ). (ие, и„+дог), о которых шла речь выше, событиями А, В, С соответственно. Определим вероятность 7"(и) ды того, что молекула попадает в элемент обьема скоростного пространства дш = дое ди„ди,, '1акое попадание есть сложное событие, являющееся произведением событий А, В, С.
Его вероятность можно определить во теореме умножения вероятностей.,с[ля этого (Гл. У1 Статпствч<мвве распределения 246 надо вероятность события А умножить на условную вероятность события В при условии, что событие А произошло, а затем розу<<ьтат умножить на условную вероятность события С при условии, что произошли события А и Л. Максвелл ввел предположение, что события А, В, С незиоис<ьмь<.
Тогда указание условий, при которых должны вычисляться вероятности событий В и С, становится не нужным и теорему умножения вероятностей можно применять в ее простейшей форме, какую она принимает для независимых событий. Это предположение, а с ним и первый вывод закона распределения скоростей, данный Максвеллом, подверглись критике со стороны некоторых математиков и физиков. Указь<вш<ось, в частности, что скорости молекул после столкновения не могут быть независимыми от их скоростей до столкновения., поскольку эти скорости связаны между собой законами сохранения энергии и импульса. Однако дальнейшие исследования Максвелла, Больцмана и других ученых показали, что предположение Максвелла правильно. хотя и нуждается в обосновании.
Мы примем его пока без обоснований. По сравнению с другими доказательствами, данными самим Максвеллом. а затем Больцманом, первое доказательство Максвелла обладает тем преимуществом, что оно не вводит никаких специальных представлений относительно структуры молекул н снл взаимодействия л<ежду ними. Поэтому оно применимо не только к газам, но и к жидкостям и к твердым телам. Требуется только выполнение условия (71.7), чтобы задачу о распределении скоростей молекул можно было трактовать классически. Итак, мы принимаем, что вероятность того, что изображающая точка молекулы одновременно окажется внутри трех интервалов (и, н„+ «нв), (вю пэ + <1пэ), (в-, с. + <«<,), должна выражаться произведением <г(пк)д(пв)у(п<) 0п <Ьв <7«х.
Но для той жс вероятности мы писали 7(ч) «<л. где «ь< = «и «< э «и Сравнивая оба выражения, находим, что функция распределения у(ч) должна иметь вид (72Л ) Я, <) = <д(«я) р(и„) р(п<). 3. Положительные и отрицательные направления координатных осей в газе совершенно эквивалентны.
Поэтому должно быть ч~(п,) = -- у( — и ). Значит, функция у может зависеть только от модуля или., что то же самое, от квадрага скорости < и Точно так же ввиду изотропии газа, функция 1 может зависеть только от квадрата полной скорости ч, но не от ее направления. Вместо квадратов скоростей удобнее взять в качестве аргументов соответствующие кинетические энеРгии: е = п<гз~, еэ — †<<<АЙ„'-(2, е, = и«<,',<2, = <ппл(2 = „ + + ел+ е,. При переходе к новым аргументах< сами функции условимся обозначать прежними буквами <г и 7", хотя это аналитически совсем другие функции. Уравнение (72.1) запишется в виде <д(еи)<р(е«) Р(е ) = Яея + еэ + е<). (72.2) з 72) Закон, Гаснределенкя скоростей.
Максвееыа 247 со(е )ео(ео) = сопв1 при условии ,, + ео —— соева ,) (огарифмируя, а затем дифференцируя первое соотношение, получим '(-*),5е, + '(' ),)ек = б 5о(е, ) оо(е, ) при условии с(е, + е)е„= О. Отсюда Ч'(е*) 5о'(е ) у( .) ео(ее) При выводе предполагалось, что изменения аргументов еа и е, связаны условием еа + е„= С = савва Од~ако значения ~ос~о~~~ой С, а с ней и аргументов е, и ео могут быть какими угодно. Поэтому условие еа + ео —— сопв1 фактически не накладывает никаких ограничений на значения, которые могут принимать аргументы е,„и ео.
Значит, в предыдущем соотношении еа и е„могут независимо принимать любые значения. Но слева стоит функция только е,, а справа только е„. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда отношения р'(е,.),Еу(е ) и ~р'(ео)/~р(ео) равны одной и той же постоянной. Обозначив эту постоянную через — о, получим ~О (е ) ф (ео) 5о(е ) Л(ео) Интегрирование дает Зф(е ) или = — ос)ее.
ЦР(Е ) |д(ее) = А1е ', ~р(ео) = А1е '", ео(ее) = А1е *, (72.3) где А1 новая постоянная., значение которой будет определено ниже. Что касается постоянной о, то она должна быть положительной, так как в противном случае л(е,.) неограниченно возрастала бы при неограниченном возрастании кинетической энергии е„что физически невозможно. б. Для функции распределения 7'(в) = ((еа + ео +,) из (72.:5) получаем 7(е) = Ае' (72.4) причем оно справедливо, каковы бы ни были (положительные) значения аргументов еа, ею ее. 4. Функциональным уравнением (72.2) и определится вид функции ;о, а с ней и функции 5.
Действительно. рассмотрим такие изменения аргументов е„егм е., которые удовлетворяют двум условиям: 1) е, = = сопв1о 2) еа + ео — — соней. При таких условиях уравнение (72.2) все еще остается верным. Из него следует, что (Гл. У1 Статистические распределения 248 , Ь,)ег, = А, ) .*р( '," ) ег, =1. П2.Ч Интегрирование в пределах от — зо до +ос не означает, что в газе есть молекулы с бесконечно большими скоростями. В действительности при достаточно больших скоростях формулы (72.3) и (72А) становятся неприменимыми. Кинетическая энергия молекулы е не может превосходить кинетической энергии всего газа К. Поэтому при е > К формула (72.4) заведомо не имеет смысла. Но она становится неприменимой уже прн много меньших значениях е, когда перестают выполняться условия, накладываемыс на элементы обьема скоростного пространства асс, необходимые для введения самого понятия функции распределения (см.
8 71, п. 3). Интегрирование в бесконечных пределах следует рассматривать только как вычислительный прием. Он возможен потому, что молекул со скоростями. удовлетворяющими условию огни, » 1, очень мало, и такие молекулы практически не 2 вносят сколько-нибудь заметного вклада в нормировочный интеграл (72.5). Значение этого интеграла практически не изменится, если истинное распределение молекул по скоростям заменить экспоненцивльными (72.3) не только в области его применимости, но и при больших скоростях, где оно ие действовало. Это и сделано в формуле (72.5).
Введем в качестве переменной интегрирования величину = х/ ого/2и.. Тогда условие (72.5) примет вид 1т 2 1 е А1~/ ~ е с е15=1. 7 от (72.6) причем А = А . Этв формула, отличающаяся исключительной простотой, и выражает максвелловский закон распределения скоростей. /[ля того чтобы придать 'Р ему окончательный вид, необходимо еще определить постоянные А и о.
Для этого проще начать не с функции 1, а с функции са. Последняя функция в зависимости от скорости и. представлена на 0 и и 1 дп 'е рис. 52. Она тождественна с гауссовой кривой ошибок. Площадь элементарной полоски, заштрихованной на рисунке, дает вероятность того, что х-составляющая скорости молекулы лежит внутри интервала (и.,и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
