Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Н! Стапгггстпчеспгге Паспределеняя 292 ,Н! гНг!гНг!... гН (80.7) Чтобы получить вероятность !> макрососгояния (80.6), надо эти числа умножить на вероятность одного микросостояния. Это дает Лг! Кг Юг %„, гугЛл~ Н гр! Ра '"'Рт (80.8) До сих пор на обьемы ячеек !>ы 1>з....,!' мы не накладывали никаких ограничений. Наши рассуждения применилгы и в тех случаях, когда газ находится в силоном поле. Вероятности ры рг,..., р в этих случаях, вообще говоря.
различны. Допустим теперь, чго силовых полей нетг а объемы ячеек 1сы 1>щ... выбраны одинакоными. '!огда станут одинаковыми и вероятности ры рз,... и притом равными 1г> /Нс. Вместо формулы (80.8) получится Множитель пРи С постоЯненг т. е. не зависит от Лгы !Нз,.... На него можно сократить н принять за вероятность макросостояния величину С. Эта величина С и будет статистическим весом рассматриваемого макросостояния. Таким образом, отапгистическпй еес мпкросостоянип, ллооюно опредслитпь как число рае>>опасных мглиэососплояний, као>сдое из которых реалиорепг ото макрогостояпие. 8 81.
Флуктуации 1. Пусть !' любая физическая величина. испытывающая флуктуации. Флркплграцией вели*пщы >' называется отклонение с1>" = !'— — 7 мгновенного значения этой величины от ее среднего значения. 9. Определим мателгатическую вероятность макросогтояния !г80.6) с заданными числами частиц >Ны гНзг..., Л', . Возьмем какое-либо микросостояние с теми же числами частиц в объелгных ячейках.
Представим себе, что все гН частицы в этом микросостоянии закреплены на своих местах. Произведем затем всевозможные перестановки всех гН частиц. Поскольку места, в которых они могут находиться, фиксированы, прн таких перестановках общее число молекул в каждой обьемной ячейке остается неизменным. Мы получим всевозможныс комбинацян частиц с требуемыми числами Ны Мз,... в ячейках, которым предписано занимать закроплонные места.
Число таких комбинаций равно 1Н!. Однако при таком подсчете мы считали различными н такие комбинации. которые получаются друг из друга перес гановкой частиц в пределах одной и той >ке обьемной ячейки. Такие перестановки к новым макросостояниям не приводят. л!испо перестановок в пределах верной ячейки равно Лг~ 1, в пределах второй — !Нз! и т.д. Поэтому для получения числа С всех возможных макросостояиий надо >Н.' разделить на гН,!Ла!... гу, !. Итак.
з 81) Фл1тктраитттт 293 Очевидно, *<то ЛУ = О. Поэтому обычно пользуются средним квадратполт флуктуации„т.е. величиной ( Л»)~. Квадратный корень из этой вели титэы (т«(ЛД~~ называется среднеквадратиичиой флрктпрацисй. а ее отношение к среднему значению 7, т.е. )«»(.л«)а«7. — средиекеадрапшчной отпносшпельиой флрктпдацией. Усредняя выражение (~Ь«)э = (« — 7)а = «е — 2«7 — (7)э. получим ( 1«)э = «' — 2У« — (7) .
Но « — величина ттостоянная, а потому»« = «« = («)~. Следовательно, (1«) = «э - (7)'. (81.!) Усредним теперь произведение двух флукгуирующих величин: «8 = («+ 1«) Я+ ~8) = « ' — 8 2«+ «18+ 21«28 Так как «и и величины постоянные, а тл« = .Ь8 = О,. то И=Ул'+ 2«~8. (81.2) Формула (81.1) содержится здесь как частный случай, который получается при я = ». Величины «и 8 называются глпатигптчески иезаеттт.итхмтц если ~Ь«28 = О.
Для таких величин (81.3) 2. Рассмотрим теперь любую физическую систему, состоящую из Ж независимых одинаковых частей. Примером такой системы может служить идеальный газ, а составных частей — отдельные молекулы. Пусть»т — произвольная величина. характеризующая 1-ю подсистему, например, в приведенном примере " кинетическая энергия т-й молекулы. Тогда в силу предполагаемой аддитивности соответствующая величина для всей системы будет г' = ', «,. Выразим средний квадрат флуктуации величины и' через аналогичный квадрат для величины «,. Очевидно, l" = 2 «т =!УУ, где индекс т опУщен, так как пРедполагается, что все составные части системы тождественны.
Далее, ттт А так как эти части независимы, то «,«1 = УтУ = (7)з. Следовательно, ,л!»а+ х1(хт 1)(У)э Подставляя эти значония в формулу (81.1), получим ( лг.)э т, а (г,)а А («э Уе) (81.4) ) Гл. 'т'! Стпапттгстпчеснтте таспределенол 294 Огсюда на основании (81.1) /т,тр)> тту т лье 'т лт)> (8! .6>) г А" 7 ут)тт У С унеличснием т' относительная флуктуация величины Е убывает обратно пропорционально чЛ.
При больших Ат огносительные флуктуации ничтожны. Этот вывод качественно верен и для неаддитинных величин. С ним связана доснговерность тпермодшюмгтческих резрльпштттов длл больших матроскопических систпем. 3. Применим формулу (81.4) к вычислению флуктуаций числа молекул и фиксиронанном объеме У идеального газа. Пусть и болыпом закрытом сосуде обьема У и отсутствие силовых полей находится ттт молекул идеального газа. Разделим обьем У на = = У,тг> одинаковых объемчикон величиной и; = о каждый. Если п, число молекул н объемчике о;, а Ат — в большом объеме У.
то гт' = 2 по Среднее число молекул и, н объемчике о, будет и, = и = Хт>г'У, т.е. одно и то жо ио всех объемчиках. Представим его н виде Гг = Атр„где р = гт,тУ— нероятность нахождения молекулы и объемчнке о. Возьмем теперь и качесгне ~т следУюЩие значениЯ: 2> = 1, осли г-Я молокУла нахоДитсЯ внутри объемчика о, и тт, = О, если она находится и оставшемся объеме У вЂ” и.
Тогда число молекул ш и обьемчике о можно представить и виДе и, = 2„>'н пРеДполагаЯ, что сУммиРование веДетсЯ по всем гч молекулам обьема У. 5!сна, что Д = 4'а = Д' = ..., а потому )', = .— т',2 =,т,'т =... = р. Следовательно, по формуле (81.1) ~т'а = т',2 — гЛ)2 = Р— Р' = Рг ! — Р). А таК КаК В СЛуЧаЕ ИдЕаЛЬНОГО ГаЗа НЕЛПЧИНЬг 7>, )те., >'З.... Статнетнчески независимы. то по формуле (81.4) 21па = Атр(1 — р) = (! — р)тг.. (81. 6) Если У -> сс.,то р †> О, а следовательно. .'1пе = и. 181.7) Отсюда получаем для относительной флуктуации плотности газа гтр 1т т= (81.8) В соответствии со сказанным видим, что в объемах с бол;ьтпи>н среднилт числом частлиц тг опгносттпгельттые флуктуации малы и трудно доступны паблюдттнию.
Наоборот, при малых и относительные флуктуации велики. 4. Более общий метод вычислений флуктуации плотности, применимый также к жидкостям и твердым телам, основан на теореме о ров>юморком !>аспределении кинети'тесной:>нергии по сшепеилм свободы.. Рассмотрим малую часть жидкости или газа, окруженную з 81) Фл укгпйп11ш~. 295 такой же жидкой или газообразной средой. температура Т которой поддерживается постоянной (термостатом).
С целью упрощения и наглядности вычислений предположим, что малая ~асть жидкости или газа заключена в цилиндр с поршнем. Стенки цилиндра идеально проводят тепло, а поршень может ходить в нем без трения. Тогда наличие стенок цилиндра и поршня не будет препятствовать обмену энергий и выравниванию давлений между веществом в цилиндре и термогтатом.
'1'силовое движение молекул вещества вызовет броуновское днижение поршня. 1( этому движению поршня мы и применим теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. 11оршень можно рассматривать как гармонический осциллятор. совершающий беспорядо шые тепловые колебания. Среднее значение его потенциальной энергии при смещении на х из положения равновесия х = 0 равно (1/2) яхв = (1)2)йТ, где и — жссткостгь соответствующая такому смещению. Если Я площадь поршня.
а х1Г изменение обьема системы, то х1Г = Ях. Таким образом, (х1г')х = йзхзэ = Я~йТ)м. Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, ,дР будет Р = .8 —, х, где Р давление газа или жидкости. Поэтому и = дх = — В дР(дх = Яэ дР/д(~. В результате получим (й(е),= —,,— — — =-йТ1( —,) . 'кТ 'дцз (дР7д1')т ( дР)т (81.9) Знак Т указывает: что в выводе процполагвлось постоянство тем- пературы оярйхсоющей среды. (термостата). Если бы вещество внутри объема 1~ было адиабатически изолировано.
то знак Т следовало бы заменить на Я (постоянство энтропии), т.е. (.1Г )я = -йт((~— ~) (81.10) ( Лп)з = (п1''г') (хз1') = и = и, тго совпадает с прежним резулыатом (81.7). В окончательном результате различием между и и и можно пренебречь, что мы и сделали.
б. 11срейдем теперь к вычислению флрке~гуаций энергии. С цолью лу ппего уягнения метода начнем с вычисления флуктуаций кинетической энергии е молекулы одноатомного идеального газа в отсутствие Формулы (81.9) и (81.10) выражают флуктуации обьема одной и той все массы еещеглпеа, находян1ейся в термодинамическом равновесии с окружающей средой. Для идеального газа при постоянной темперагуре РГ = сопвц гак что (дЪ'(дР)т = — Р~'Р. А так как Рг' = пйТ, где п " число молекул в обьеме Ъ'. то из формулы (81.9) получаем (х1Г)э = 'у')и. 11усть теперь объем Г фиксирован, а число молекул идеального газа в нем и моняется из-за гепловых флуктуаций.
Если бы обьем Ъ' увеличился на х1'г'. то число молекул в прожнем объеме Г умоныпилось бы на .Лп = пЛ~1/('. Отсюда [ Гл. 'т'1 Статисгпические распределении силовых полей. Согласно максвслловскому закону распределения ско- ростей е = — ее 'дГ, 7 1' (8! 11) где о = 1(1сТ, дГ элементы объема пространства скоростей., а гб определяется условием нормировки У = е"~ дГ. (81.12) Дифференцируя это соотно1нение но параметру о, получим дЯ до и формула (81Л1) перейдет в 1 дУ Гд до (81.13) Отсюда де 1 дггб 1 дг.
-' 1 дггб А налоги ч но, сг= ~е с дГ= 1.' дог' (81.14) Сравнение этой формулы с нредыдугцея дает .~ег = еа — (е) дн' или после подстановки параметра сг = 1~1сТ ~~~2 еТ' (81 18) дТ Так как для идеального одноатомного газа е = Я2)йТ, то в этом случае гзе = —, (ЙТ) 2 (81. Р81) б. 11риведенный метод вычисления г2ег может быть распространен практичоски без изменений на случай величин внешнего силового поля. Надо только максвелловское распределение заменить распределением Больцмана и прокэеодигпь ингвегрироеание не только по скороглплм, но и по координатам обычного пространства. В результате снова получится формула (81Лб), в которой, однако, под е следует понимать йаюе полнрю энергию молекулы, состолщрю иэ ктсенмческой и потенциальной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
