Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Атомы кристаллической решетки рассматривались как гармонические оспилляторы. совершающие тепловые колебания около положений равновесия с одной и той же частотой и. Осцилляторы брались трехл>ерными, т. е, обладали тремя степенями свободы. На каждую степень свободы приходится средняя эноргия тепловых колебаний в> а на один атом ЗГ. Внутренняя энергия одного моля онределяется выражением ! Гл. 'ч'! С>натив>пические распределения 320 с различными частотами. Число частот очень велико — порядка числа степеней свободы систюмы. 1!ри вычислении теплоемкости тело можно рассматривать как систеыу гармонических осцилляторов, но с различными частотами. Задача сводится к вы шслению этих частот, т.
е. отысканию так называомого спектра частот,. На это было указано уже сал|им Эйнц|тейном. Задача о спектре частот кристаллической решетки твердого тела рассматривалась Дебаем (!884-1966)., а затем Барном (!882 1971) и Карманом (1881 — 1963). Борн и Карман подошли к решению задачи с последовательно атомистической точки зреяия. Это очень трудно. Дебай сильно упростил задачу. При низлих температурах основной ||клад в |пеплоел|кос|оь внос>гт низкочасп|о|пные колебания., ьопю>рым соответпсгпвйюп| малые кван|вы энергии. Практически только такио низкочастотные тепловые колебания н возбуждены при низких температурах.
Колебания с более высокими частотамн. которым соответствуют большие кванты энергии, практически но возбуждены. Но низкочастотный спектр тепловых колебаний твердого тела может быть с достгегочиой точностью рассчитан методами механики силов|ной среды, отвлекаясь от атомистической структуры тела. Тогда вычисления становятся довольно простыми. Таким путем,!ебай построил простую теорию теплоеыкости твердых тел, особенно хорошо согласующуюся с опытом при низких температурах.
Согласно этой теории вблизи абсолютного нуля |пеплоемкость кристпаялической реи|еп>ки |пвердого гпе>ш пропорциональна кйбй абсолюптой т>амператйры. Этот результат называется законом кубов Дебал. Чы изложим теорию Дебая в и 'г' (с, . 354).
Теория Эйнштойна., разумеется, применима и к колебательной пил|- лоемкости двухатомных или многоатомных газов (сы. Ц 69). Соверп|енно аналогично может быть построена и теория в!и|дательной голплоемкосп|и. Вычисления здесь насколько сложное из-за более сложной структуры энергетического спектра (см. т. Ч, 1 31, и. 8 н 3 51). 5. В металлах, помимо кристаллической решетки, построенной из ионов, имеются еп|е свободвьи| электроны. В прос|ейшей модели их рассматривают как идеальный злектро|псый газ. Дело в том, что электрические силы притяжения, действующие на электроны со стороны положительно заряженных ионов, в среднем компенсируются силами отталкивания, действующими со стороны самих электронов.
В этой модели вся энергия электронного газа только кинетическая. Поэтому для него применимо уравнение кинетической теории газов (59.8), т.е. (85. ! О) Но, как мы уже указывали в 2 69, электроны практически ве вносят никакого вклада в теплоемкость. Формальное обьяснение этого было уже дано в 384 с помощью теоремы Нсрнгта. 1!ривсдсм теперь более подробное молекулярно-кинетическое (точнее, статистическое) объяснение. Электронный газ в металлах всегда вырожден, так как з с!5) Квасстссссаз, теория тенлоемноенсеа Эсснссстессна 331 температуры вырожденисс срся всех металлов составляют десятки тысяч градусов (см.
з 7!). При абсолютном нуле распределение элект1юнов по квантовым состояниям представляется прямоугольником (см. рис. 73 б). Электроны совершают весьма интенсивное квантованное движение, но совершенно не участвуют в беспорядочном гепловом движении. Энергия этого квантованного движения г1 и давление Р определяются только концентрацией электронов. Это приближенно справедливо и в том случае, когда томпература 7* отлична от нуля, так как для подавляющего большинства злоктронов распроделение носит тот же характер, что и на рис. 73 о. Следовательно, этн электроны по- прежнему не участвуют в тепловом движении н не влияют на теплоемкость.
«!1рямоугольссоея распределение электронов нарушается только внутри очень тонкого энергетического слоя вблизи границы е = р. Толщина этого слоя порядка энергии тесслового движения йТ. Только эти приграничные электроны и участвуют в гепловом дввжессии, Они-го и ~~~~~~ дополнитессьный вкссасс в эверс.ию г' и давленио Р, зависящий от температуры.
За счет этих электронов и появляется теплосмкость электронного газа. Но так как пограничных электронов очень мало,то этот вклад также мыс. Расчет показывает, что твлслоемъоснсь злекпсронаоео газа линеуйто зоввсит оса температуры, т. е. имеет вид с,, =ОТ, где у гюстоянная. Аналогично можно показать, что и теплосьскость бозе-газа в состоянии вырождения мала и стремится к нулю при Т э О. Особенность в этом случае состоит в том. что прн Т = О все частицы газа накапливаются на самом низком уровне с энергией, равной нулю. 11оэтому при Т = О не только кинетическая энергия. но и давление бозе-газа обращаются в нуль.
11 д. В. Си«ухин. Т. 2 Глава ЪгП ЯВЛКНИЯ ПКРКНОСА В ГАЗАХ В 86. Средняя длина свободного пробега 1. Средняя скорость теплового движения газовых молекул определяется формулой (73.6). У>ко при комнатной температуре она порядка скорости ружейной пули. Например, при 0'С для молекул водорода, азота и кислорода и равна соответственно 1700 м с, 455 м,'с и 425 м,'с. На ранней стадии развития кинетической теории газов столь болыпие значения гкоростей молекул некоторым физикаьч казались невозмо>кными.
Если скорости молекул действительно так велики говорили они, то запах пахучего вещества должен был бы распространяться от одного конца комнаты к другому практически мгновенно. На самом деле прн отсутствии конвекгинных потокон воздуха время распространения запаха на такие расстояния может составлять многие минуты и Лаже часы.
Распространение запаха осуществляется посредством медленного процесса диффузии. Для демонстрации медленности чпффузин газов можно взять стеклянный цилиндр высоты примерно 30 см, закрытый сверху проволочной сеткой. Вдоль осн цилиндра пропущена тонкая стеклянная палочка или трубка„к которой на равных рассгояниях прикреплено около 10 полосок фильтровальпой бумаги, смоченных в фенолфталеине. На сетку сверху кладется вата, смоченная яашатырным спиртом.
Выделяющийся аммиак лиффунЛнрует вниз. Диффузия наблюдается по покраснению полосок фильтрованной бумаги. Через 1 2 минуты начинается покраснение верхней полоски. Нижняя полоска начинает краснеть минут через 20. Аммиак легчо воздуха, поэтому его проникновение вппз происходит только в результате диффузии. Стеклянный цилиндр служит лля предотвращения возникновения потоков воздуха. Значительно медленнее происходит диффузия в жидкосэях, хотя скорости топ.нового движения здесь такие жо, что и в газах и в твердых телах. Если узкий и высокий стеклянный цилиндр наполнить дистиллированной водой, а затем на,чно с помощью специальной трубки осторожно опустить кристаллы медного купороса.то послечние растворяться,и начнется диффузия.
Чтобы ее заметить на глаз, нужны сугки нлн несколько суток. А Лля того чтобы получился однородный раствор по всей высоте цнлинчра, требуотся несколько месяцев. В твердых телах диффузия происходит еще медленнее, и требуются специальные методы, чтобы ее обнаружить. Так же медленно происходит выравнивание температур между различнымн частями норавномсрно нагретого газа посредством топлопровопности или выравнивание скоростей макроскопического движения газа посредством сил вязкости. 2.
Медленность диффузии и аналогичных ей явлений Клаузиус обьяснил с>полк>мнения>нт молекул. Молекула газа не все время движется свободно. а нремя от нремени испытывает столкновения с Сргднвг диана свободного пробега другими молекувами. Свободно она пролетает короткое расстояние от одного сголкновения до следующего. В момент столкновения скорость молекулы испытывает резкое измененио как по модулю, так и по напраш~ению. В результате траектория молекулы получается не прямой, а ломаной линией с болыпим количеством звеньев.
Молекула беспорядо гио мечется туда и сюда, и се общее продвижение вперед происходит сравнительно медленно. Для количественного описания явления Клаузиус ввел понятие сргдаей длины соободного пробега,т.е. среднего расстояния, которое пролетает молекула от одного столкновения до следующего. Для вычисления средней длины свободного пробега будем пользоваться моделью гпеердыт шарон. Между столкновониялги молекулы шары движутся по инерции прямолинейно и равномерно. В моменты сголкновений между молекулами развиваются очень болыпие силы отталкивания, изменяющие их скорости по вели ~вне и направлению. Разумеется. такая грубая модель передает далеко не все черты явлений, которые происходят при сголкновениях.
Молекулы могут распадаться и соединяться. Атомы могут ионизоваться, переходить в возбулкденные состояния и т. д. Все это оставим сейчас без внимания. Модель гвердых шарон может приблизительно правильно описать только процессы. рассеяния молекул, в которых происходяэ изменения скорости и направления движения этих частиц в результате столкновений их между собой и со гтенкагии сосуда. в котором заключен газ. Для упрощения расчета предположим, что движется только одна молекула с постоянной скоростью о, а все остальные молекулы неподнижны. Будем называть движугцуюся молекулу молекулой А. Вообразим. что с молекулой А жестко связана концентрическая с ной твердая сфера Я вдвое болыпего диаметра. Назовем эту сферу сгрерой ограоюдепил молекулги А. В момент столкновения расстояние между центрами сталкивающихся молекул равно диаметру молекулы д.
Следовательно. в этот момент центр неподвижной молл. куды, с которой столкнулась молекула А, окажется на понерхности сферы ограждения последней. Очевидно. он не может проникнуть внутрь этой сферы. Меж- О ду двумя последовательными 6 столкновениями молекулы А ее сфера ограждения описывает цилиндр, длина которого и есть свободный пробег молекулы А. Из таких цилиндров склады- О 6 вагтся поверхность. описываемая с течением времени сферой ограждения (рис. 75). Для Рис. 7б краткости будем называть гигу поверхность ломаным цилиндром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
