Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 81
Текст из файла (страница 81)
6. Наконец, рассмотрим случай смеси двух различных газов. Пусть г~ и г означают радиусы молекул этих газов, а пэ и пэ - их концентрации. Теперь движущаяся молекула может сталкиваться не только с молекулами. себе подобнымп, но и с молекулами другого типа. В соответствии с этим с ней следует снязать две сферы ограждения Среди.я,я длггни своГ>однияо пробеги 3 36) 327 н зависимости от того, с молекулами какого типа она сталкивается. Введем чегыре величины пгг = п(2гг) = 4пг, пп = пэг = п(гг + г )-'г 2 пзт = гг(2г ) = 4пг~э. Для чисел столкновений в единицу времени молекулы первого и молекулы второго газов получаем соответственно (без учета максвеллов- ского распределения скоростей) зг = (пггтп + и пгт)пг, зв = (пггггп + пвовт)пэ, (8640) а для средних длин свободного пробега 1 1 Лг = л гггигг + ггигтг пгим + пиигя (86.11) ЗАДА'-1 И л гг * гФ 7'*' Л 1 тг»7»»ю (86.12) 2.
Для приближенного вычисления средней длины свободного пробога молекулы Клаузиус предположил, что вес молекулы газа движутся с одинаковыми скоростями, направления которых распределены в пространстве изотроппо. Получить выражение для Л в этом предположении. Решение. Найдем среднюю скорость молекул относительно одной из пих (например, правой). Относительная скорость молекулы, движущейся под углом д к скорости первой молекулы сг, определяется выражением д е — 2е эгп— (рис.
76). Число молекул, скорости которых образуют с направлением ег углы между д и д —: дд, дается формулой (75.4). Исполь- зуя ее, получаем г, = с ~ эш — ып6дд = — г. 2 3 о После этого по формуле (86.6) находим 3 1 Л = — —. 4 пгг 3. Найти выражение для среднего полного чнсла столкновений и молекул газа в единице объема в единицу времени.
Рис. 76 1. Газ состоит нз молекул с массами пм и гаэ, концентрации которых равны соответственно пг н пэ. Найти выражение для средней длнны свободного пробега молекулы каждого газа с учетом максвелловского распределения скоростей. О т в е т. ) Гл. 1>!! Явлен>ьл переногл, в гагат. Решенно. Число столкновений одной молокулы с остяльными дастся выражением (86.эг). Для и л>олекул его надо умножить на н и разделить на два. Делание на два необходимо потому, что при нашем подсчете каждая молекула учитывается дважды: один раз как ударяющая, другой -- как ударяемая.
В результате получаем и 1 > 1 > а=:=го ое = — и ар. 2 2 х>2 (86Л4) 4. Газ состоит из смеси двух газов с концентрациями и> и и>. Найти выраженно для среднего полного числа столкновений и» молекул одного газа с молекулами другого газа в единице объема в единицу времени. Ответ, — л... — в в> оу Л > 71 — »» * гьхт 'Т ..
(86.15) 8 87. Эффективное сечение 1. Плошадь сечения сферы огр»хсдепил молекулы во большому кругу пазываетсв эффекьгивп>им ге"шпием молекулы, точнее, гогою>- нетш»вским, эффективным сечением молекулы ари рассеянии ге на других моле улах. Если рассеяние происходит на таких же молекулах, г то эффективное сечение а = лд, где д диаметр молекулы. Если же молекула радиуса г, рассоивается на молекулах с радиусом гг. то эффективное сечение будет а = а>г = л!г> + гг)з. Понятие эффективного сечения широко используется при рассмотрении различных явлений, возникающих при столкновении частиц. При столкновении частица может изменить направление своего движения, т.е.
рассеяться. Она может поглотиться, диссоциировать молекулу или ионизовать атом. с которыми она сталкивается, и т, д, В соолшетсл вин с этим говорят об эффеь>тивных сече>щлх рассеяния, поглощшшлл диссоциации, иопигации и пр. Во всох таких случаях ири вычислении среднего числа столкновений, иринодящих к требуемому результату. можно для наглядности представить. что рассматриваемая частица (бу>1ем продолжать называть ее частицей Л) окружена некоторой непроницаемой лсфорой ограждения>, а частицы.
с которыми она сталкивается, являктгся точечными. Если частица А движется, а прочие частицы неподвижны. то ови называются нолевыми часа>ицами. а частица Л вЂ” пробной часпгицгй, Среднее число столкновений пробной частицы с нолевыми оиределяотся формулой 1>86.1), где н концентрация полевых частиц, а в — скорость пробной частицы относительно полевых. Па формулу 186.1) следует смотреть как на определение ионягия эффективного сечения о соответствующего процесса. В экспериментах по столкновениям ядеряых и элементарных частиц более удобна другая интерпретация формулы (86.1) и эффективного сечения.
Здесь обычно бывает неподвижна частица Л, а прочие частицы налетают и бомбардируют ее. В связи с этим эти частицы. если они движутся параллельно, называются ну >ком, а частица А— мишенью, которую они бомбардируют. Величина 1 = аи есть интенсивность нучьа, т. е. число частиц, проходящих через единичную Э4фентивное сечение площадку, перпендикулярную к пучку, в единицу времени. Применительно к рассматриваемому случаю формулу (86.1) следует переписать в виде гЬХ о = — = (87 1) Величина с1% = г означает среднее число частиц, выбывших из пучка в единицу времени в результате столкновоний с частицей-мишенью Л.
Таким образом. можно дать следующее определение эффективного сечения частицы по отношению к какому-либо процессу. Эф4еьтивньчм сечением о погиваегася отношение среднего числа частиц, выбывипск иг прчка в едшпгцу времени при столтсоветтю, приводящих к требуемому рсзрльтатд 1рассеянию пучка, поглощению, ионизация, прилипанию и пр.), к иытснепвноепш с мого пучка. Преимущество такой интерпретации эффективного сечения состоит в том, что она не связана ни с какими модельными предстанлениями. 2.
Эффективное сечение тех или иных процессов. вообще говоря, сильно зависит от относительной скорости сталкивающихся частиц. Рассмотрим, например, ионплацисо стопов ори столкновениях. Если кинетическая энергия е„, относительного движения сталкивающихся атомов меньше энергии ионигации атома. то последняя невозможна. Эффективное сечение ионизации равно в эсом слу ше нулю. Когда г равна энергии ионизации или превосходит ее, ионизация становится невозможной. г!сно поэтому, что эффективное сечение ионизации должно зависеть от относительной скорости и „сталкинающихся атомов.
Сильная зависимость эффективного сечение от о,,„имеет место для таких процессов, как поглощение нейтронов атомными ядрами, деление тяжелых атомных ядер нод действием нейтронов, химические и термоядерные реакции и пр. Расчет эффекгинных сечений подобных процессов производится с помощью законов и вычислительных методов квантовой механики. В настоящей главе речь будет идти только о процессах упругого рассеяния молекул и атомов на других молекулах и атомах. В этих случаях внутреннее состояние сталкивающихся частиц не изменяется.
Эффективное жо сечение таких процессов очень слабо зависит от относительной скорости частиц. Вот почему для их изучения можно пользоваться моделью твердых шариков., в которой поперечное сечение в совсем не зависит от относитольной скорости. 3. В действительности наблюдается некоторое умсиыпевие эффективного сечения рассеяния молекул с увеличенном относительной скорости. Объяснение этому было дано Сезерлендом П899 — 1912) в 1893 г.
Он использовал модель твердых упругих шаров, но учел силы притяжения, с которыми молекулы действуют друг на друга в промежутках между столкновениями. Силы притяжения несколько сближают молекулы, пролстаюп1ис мимо друг друга, и делают возможными некоторые столкновения. которью при отсутствии этих сил не мотли бы произойти.
Эго ведет к увеличению эффективного сечения рассеяния о. Исследуем вопрос с количественной стороны. Рассматривая огноситольвое движение, молекулу А будем считать нопозвижной, а молекулу  — двивсущейся (рис. 77). Относительную скорость молекулы В на бесконечности обозначим через кс Пусть б — прицельное рассспояпие месюдд молекулами, ) Гл. ЧП Яв«сенс»я веренево в эвввт.
ззо т. е. длина парпсндикуляра, опущенного из центра молекулы А на направление прямое, вдоль которой направлен вактор та. Если молекулы пс взаимодействуют и в ) д, то столкновение между ними невозможно. При наличии Рис. 77 жс с'ил притяжания столкновение может произойти и в этом случае, как это видно из рис. 77 6. Если Ь вЂ” максимальное значение прицельного расстояния, при котором столкновение сщс произойдат, то эффективное сечение будет в — хб'. Эффективное сечение при отсутствии сил притяжения аа— — яд .
Так как силы — цснтральныс, та по закону площадей ааб = г д, где а — скорость люлекулы В в момент максимального сближения с А. Возвегзя в квадрат, получим веа = вае . Скорость е найдется из уравнения энергии (1«с2) рг =- (1гс2) реа -г А, где А -- работа центральных сил притяжения при перемещении молекулы В из «бесконечности» в положение максимального сближения с молекулой А, а р, — приведенная масса. Введем кинетическую энергию относительного движения е „= )1г2)рааэ. Тогда и- „, = па(е -!- А); или в = ва(1 -> Ассе ). Эта формула, как ясно из сс вывода, примени»«а в тех случаях, когда имеется всаго одна пара взаимодействующих молекул А и В.
Применять сс к люлекулам газа можно только при условии, когда взаимодействия в газе могут рассматриваться как парные. В этом приближении учитываются силы притяжания, действующие на молекулу только со стороны одной молекулы, достаточно сблизившейся с рассматриваемой. Действия всех остальных молекул нс учитываются. Так можно поступать, когда гэз достаточно разряжая, а молекулярные силы притяжения убывают с увеличением расстояния между взаилюдействуннцими лголакуламн достаточно быстро. Случаи. когда в разряжонном газа сближаются и начинают взаимодействовать три и болыпс молекулы, маловероятны и по этой причине не принимаются во внимание.
В случае газа е,.„может принимать всавозможныс значения при переходе от одной пары взаимодействующих молекул к другим. Поэтому целесообразно ввести некоторое среднее эффективное се «ение молекулы, усрсднив 1/е по всем отяосительным скоростям. Выполнив это н обозначая усредненное эффективное сечение прежней буквой в, очевидно, придем к формула вида (87.2) где  — новая постоянная, называемая пвствшсиай Сеэерлендв. Она имсат размерность температуры. Формула (87.2) также нвзываатся формулой Ссэерлендв. з 87) Эффекпгггвнов сс сгнив 4. Если эффективное сечение т существенно зависит от относительной скорости сталкивающихся частиц, то формулы (86. 14) и (86ЛЬ) слестует писать в виде и = — и, (оо„„), 2 (87.3) (87.4) игз = пгпа (сг'с ), причем усреднение должно быть произведено по всему спектру оптосптельных скоростей чпгтнц гпзц в частности по макснелловскому распределению., если таковое установилось.
Формулы (87.3) и (87.4) применяются при расчете скоростей химических и тсрмоядерных реакций. В этих случаях сг очень сильно зависит от пр (Для воспламенения горючей смеси надо нагреть ее до некоторой минимальной температуры!) Формула (87.3) дает среднее число реакций в единице объема в единицу времени, когда все реагирующие чагтицы одинаковы, а формула (87.4) — когда реакции происходят между разными частицами. Если в каждой реакции выделяется энергия Е,то, очевидно, энергетическая мощнслсть «реактора», отнесенная к единице обьел|а, будет (87.3) ЗАДАЧА Показать, что в системс центра масс рассеяние шаров при упругих столкновениях сфсричсски симметрично.
Решение. Пусть л г — скорость первого, а тв -- скорость второго шаров (рис. 78). В системе цонтра масс гпгтг — ггггтл —. О. Рис. 78 При столкновения шары в этой системс обмениваются нормвльнылги компонентами импульсов, тогда как касательные компоненты их остаются нензмснньглги. Отсюда слодуст. что скорости шаров в системс центра масс нс изменяготся по величине, а только поворачиваются на один и тот жо угол д (угол рассеяния). Пусть а — угол, который образовывали в момент удара начальныс скорости шаров с лнииой центров. Тогда, как видно из рисунка, 2о-~-'д — х, т. с. сг -=. х/2 дсг2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
