Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Только молекулы этих двух потоков и участвуют в передаче количества движения. Молекулы остальных четырех потоков движутся параллельно плоскости М<Л<. Они к передаче количестна движения прямого отношения не имеют. На тепловое движение молекул сверху вниз и снизу вверх накладывается упорядоченное днижение вправо. причем скорость этого движения и однозначно определяется положением молекулы. точнее, ее координатой х. Будеь< предполагать, *<то изменения упорядоченной скорости и на длине свободного пробега очень малы по сравнению с тепловой скоростью и, Тогда можно выбрать такую систему отсчета, в которой упорядоченная скорость и в интересуюшей нас части газа будет также очень мала по сравнению с гавловой скоростью и.
В дальнейшем движение рассматривается именно в такой системе отсчета. Возьмем на плоскости И<Л< !<рис. 82) единичную площадку Б. Начало координат поместим в той же плоскости. Подсчитаем коли- чество днижения, ежесекундно перено- Х симов молекулами газа через площада+ х ку Я.
с!исло молекул, пересекающих площадку Б сверху вниз в единицу времени, определяется формулой (75.1), т. е. 1 <уо = — и«. 6 О Пусть <ч из этих молекул прошли перед площадкой путь х без столкновеРис. 82 ний. Число Ж определяется формулой !88.3). Из нее находим, что число молекул, претерпевших последнее столкновение в слое меж!<у х и х+ Йх, равно <!Л< = — .:<<Ое 'с!л <!х = и< се/л <!х 1 Л ОЛ При сголкионении в этом слое молекула полу гает количество движения д(х) и, двигаясь далее без столкновений, переносит его <ерез площадку Б. Количество движения, переносимое в единицу времени через плошадку Я всеми <<о молекулами, определяется интегралом Вязка>с>пь и твплвпрвводнвсть газов 337 Так как на длине свободного пробега скорость и меняется мало, то функцию я(х) можно разложить по степеням х, оборвав это раз- ложение на линейном члене, т.с. л(х) = ла + х(д8,'дх)а.
В этом приближении дл (,,>л С„=д., дй+ — — ~ л~ хд . 6Л дх ~ е Вычислив интегралы, найдем 1 1 д~- Сч = —, пиле + —, ппЛ вЂ”. 6 6 дх (89.1) 1 1 дл С = — пила — — ппЛ вЂ”. 6 6 дх (89. 1а) !1олное количество движения, ежесекундно верен«юимое через плошадку В в положительном направлении оси Х (снизу вверх), найдется вычитанием (89.1) из (89.1а). Оно равно 1 дх 1 ди С = — —, ппЛ вЂ” = — —, п>ппЛ вЂ”.
3 дх 3 дх (89.2) Этот перенос проявляется в том, что вдоль плоскости 1И >>«действует вязкое касательное напряжение дп т,„= и дх' (89.3) где 1 В = — птвЛ. 3 (89.4) Мы получили не только ньютоновский закон вязкости (89.3), но и нашли выражение для гамой вязкости и. Заметим, что это выра>кение можно записать в виде Сх —— (1>>6>) х х пп8(Л).
Отсюда видно, что при вычислении Се можно рассу>кдать так, как если бы вге молекулы, летящие к площадке Я, претерпевали последние. сп»олкновспия па. 1исглпвяюии Л втг этой площадки и далее двигались к ней без столкновений. Можно пользоваться доказанным положением для сокращения изложения прн изучении и других явлений переноса. Отметим только, что концентрация и может меняться в пространстве. Однако это обстоятельство никак не отразится на справедливости формулы (89Л). Действительно, из вывода ясно, что под и следует понимать значение концентрации на самой площадке Ь, независимо от того, рассматривается ли верхний или нижний пучки молекул, участвукпцих в переносе величины л. Было бы грубой ошибкой считать, что концентрацию и надо брать на расстоянии хЛ от площадки Я, где молекулы претерпели «последние столкновения».
Такой способ расчета должен применяться >полька к г>ереносимой величине л, не не ь концеп>пр«гйии п. По аналогии с (89.1) можно утверждать, что молекулы, летящие снизу вверх, переносят в том же направлении количество движения Яелен|мв пер«несо е везет. (Гл. Лг!! 3. Но всякий тензор напряжений должен быть гижмгтричнмвь В противном случае нарушался бы закон сохранения момента количества движения (см. т. !, 374). Позтоыу вязкио напряжения должны действовать не только в плоскостях течения газа,но и в плоскостях, перпендикулярных к ним.
Е!еобходиыо поэтому выяснить, как возникают эти напряжения, и убедиться, что они удовлетворяют условию симметрии тг = гев Ориенгируем с этой целью бесконечно малую плоп|адку «13 перпендикулярно к направлению течония газа (рис. 83). Таким образом, по-прежнему. предполагается.
что газ течет параллельно оси У, и рассматриваются группы молекул, тепловые скорости которых параллельны оси Х. Из-за М |у, наличия молекулярного течения молекулы имеют 0 «1л боковую составляющую скорости и(л). Благодаря этоыу в рассматриваемом случае и появляется поток молекул. пронизывающий площадку |16. Рассмотрим пучок молекул., приходящих сверху. На основании доказанного выше можно рассуждать так, как если бы все молекупы пучка совершили последние столкновения на расстоянии Л от площадки г|Я (измеренном вдоль оси Х).
Количество таких молекул, пронизываюп!их площадку |1Б в единицу времени, равно (1||6) пиЛ г!Я. Переносимое ими количество движения будет с!Ст = = (1||6) тппиЛ с!Ь' и направлено вниз. Поток молекул, приходящих снизу, будет меньше, а иыенно (1||6) пп( — Л) дЯ. Связанный с ними погок импульса равен |1С = (1||6) пм'пи( — Л) «1Б и направлен вверх. Разность этих двух потоков Рпс. 83 1 пи с!С = |1С вЂ” с!С~ = — —, шпп Л— 3 с!з дасг полный поток количества движения, переносимый через пло- щадку «|Б вверх в единицу времени.
Он проявляется в появлении касательного напряжения 1 де т, = —, тппЛ вЂ”, 3 дз' которое действует в плоскостях, перпендикулярных к направлению течения газа. Таким образом, мы выяснили проис- Х хо|кдгнис «поперечных» касательных напряжений и доказали, что гв„= т„„. д |1д 4. Можно было бы усовершенствовать рассуждения, не прибегая к искусственному разделению молекул нв Я шесть взаимно перпендикулярных потоков. Будем считать сначала. что скорости молекул одинаковы по модулю, Рис.
84 но распределены по направлениям нзотропно. Рассчитаем касательное напряжение г „, действующее в плоскостях, параллельных слоям текущего газа. Расчет касательных яапряженнй в перпендикулярных плогкостях г„производится аналогично. Ч|юло молекул Влахов!пи и гпвплопроводносгпь газов в слипицс объема. скорости которых направлены под углами между д и д -1- Ю к пор!гали к площадке В (рис. 84). даатся выражением (74.3), т.с.
равно (1|'2) пюп д дд. При подсчете переносимого ими количества лвпжсиия можно рассуждать так. как сели бы всс они претерпели последнее столкновение на расстоянии Л от площадки, если это расстояние измерять в направлении движения молекулы, или на расстоянии Л сов д, если его изл|срять вдоль оси Х. Рассматриваемые молекулы переносят сверху вниз кОли |естВО див|кения пи дСг .— —, э1п д Ю я(Л сов д) соа д п,и Л г(8 =- — '' 8||в|пд соэдг(д+ — соз дв(пддд. 2 2 г(л Полное количество движения, персносилюс сверху вниз, найдется интегрированием этого выражения по д в пределах от д -= 0 до д =- я/2.
Оно равно по псЛ ид С, — — до 4 ' 6 дя Аналоги пго находится количество лвиженвя С . переносимое снизу вверх. Для полного потока количества движения С=С вЂ” С 3 сЬ. получается такое жв выражение, как и в более элементарном расчете, приведенном вылов, а для  — прежнео выражение (89.4). Теперь не представляет труда учесть разброс скоростей.
Для этого надо только усреднить по всем скоростям произведения иЛ, т.е. вместо (89гй) написать 1 |1 = — ппп(г|Л). 3 (89 ") Если жс пренебречь зависимостью эффективного сечения о, а с ним и Л от скорости, то надо усреднять только с. т.с. 1 ц = —, пгпЛг. 3 5. Соверн|енно так же может быть рассмотрено яиление |пеплопроводности. Здесь вместо переноса количества движения речь идет о переносе эпсреии, В той области температур, где справедлива класси |еская теория теплоелчкосгпег), энергия молекулы пропорциональна температуре и может быль представлена в видо в = гпссТ. где г„- удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
