Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Среднее число столкновений г>г дается выражением (86.8). Что касается величины ггр>. то при усреднении ныпадет та часть ее. которая связана с тепловым дан>квинси. Поэтому от теплового движения молекулы 1 л>г>жно отвлечы:я и написать (гзр>) -- т> (Ли>). Точно так же можно отвлечься от теплового движения молекулы 2. с которой сталкивается молекула 1. Таким образом. задача свелась к рассмотрению столкновения двух молекул с массами т> и гп, которые в лабораторной системе отсчета движутся со скоростями и> п>чи> -~- тгиг и иг.
Центр масс этих ъюлекул движется го скоростью 1 пг> ~ гп'> Если молекулы считать идеально упругими >нарами, то в системе центра магх> опп рассеиваются сферически симметрично (сь>. задачу к 887). Это означает, что в системе центра масс средние скорости упорядочеш>ого движения молекул после столкновения равны нулю.
Значит, в лабораторной системе обе эти скорости Г>удут равны Ъ'. Поэтому для среднего изменония скорости и> при столкновении получим гп2 (Ли>) = Ъ' — и> = — — (и — и>), >и> -~- т.г а потому тг>пг Р> = в> (и> — иэ) = йю р(и> — и ), (92.1) т> -'; тг где р, — приведенная масса. Заметим. межчу прочим, что если бы мы рассматривали столкновения молекулы 1 с молекулами первого газа. то мы пришли бы к такому выражению. в котором вместо массы тг стояла бы масса т,>, а вместо разности и> — иг — разность и> — и>, т.е. нуль. Это лишний раз доказывает, что столкновения с молекулами первого газа можно не принимать во внимание.
Учтем теперь. что п>и> -~- пгиг = О. Если бы это было не так, то нарушилось бы постоянство полной концентрации частиц и, что привело бы к макроскопичсскому движению всего газа. С учетом этого и Е> =- — д=.>г и> и> а потому пг В> = пру> ) Гл. 1лп Явлленлля переноса, в гагат. Подставляя слода значение =лл из )86.8),получим Рл —.Рл= ~ 93. Броуновское движение как процесс диффузии 1. В 3 64 теория броуновского движения строилась на основа рассмотрения движения одноиз частлщы. Но к этому явлению можно подойти с другой точки зрения. Можно рассматривать совокупность одинаковых броуновских частиц в жидкости как некоторый «газ», заполняющий пространство.
Прн наличии градиентов концентрации в таколл газе из-за броуновского движения будет происходить диффузия. Можно ныразить коэффициент диффузии Р через сродний квадрат смещения броуновской частицы, которое она претерпевает за определенное время г. Елши в полученное соотношение вллесто Р подставить ого выражение по формула Х Эйнштейна !И.З), то в результате должна получиться основная формула теории броуновского движения (64А). Целью настоящего параграфа и является рассмотрение теории броуновского движения с этой точ- Л О В ки зрения.
ИВ Пусть в однородной жидкости в отсутствие внешних силовых полей распределены тождественные броуновские частицы с концонтрацией п)к), меняющейся только в направлении оси Х. Вычислим диффулЬг, зионный поток Г таких частиц через произвольное сечение,перпепдякулярное к оси Х. Возьмем в этом сеченили бесконечно малую площадку л)В (риль 86). Выделилл группу броуповских частиц, которые за вреРис. 86 мя т смещаются на один и тот же вектор л1г,. Пусть будет велика не только полная концентрация броуповских частиц и, по и концентрация их пр и) в каждой группе.
Число частиц л-й группы л))«'„прохолялцих через площадку лло за время т, будет равно чнлшу их в косом цилиндре ЛВВ'Л' с основанием ЛВ и образующей лаго т.е. л)Ж, = ~ щ(*) а)л. Линойные размеры площадки л)лл люжно выбрать малылли по сравнению с г1г,. Тогда элемент объема с«1 можно представить в виде лп' = ллв«)к и написать е 1 в (92.2) риал )/ил + В« Формула Эйнштейна (9!.3) окончательно дает 'кТ (92,3) уполз фл + Вл В формулу (92.3) не входят нн пл, нн пл.
Отсюда следует, что коэффициент концентрационной диффузии газов не зависит от концентрацлллл ь:омпоненгпов газовой смеси. Этот вывод поддерживается опытом. 3 93) Броулюеское детлюе~ое кол процесс. диффузии где хе координата цент1ла О площадки дБ. Выбрав т, а следовательно, и Зх, достаточно малыми, разложим функцию п,(хо 5- С) по стспоням С и оборвем это разложение на линейном члене. Тогда с с дГ4, = п,,(0)дБ ~ сЦ 5- ( — ') дЯ ~ б~Ц, или после интегрирования 1 Йп, 4Ал, = дБ~и,Лх, — — — ' (е2х,)е~. 2 дх Аргумент хо мы опустили, предполагая, что концонтрация п, и ее производная дп,/е(х берутся в цонтре площадки дБ.
Избыток дХ броуновских частиц, проходящих через площадку дБ в положительном направлении оси Л, над числОм частиц, проходящих в противоположном направлении, найдется суммированием предыдущего выражения по всем группам частиц: е(А' == дБ~ п, Л~, — ~ ' ( Лх,)л. Среднее значение первой суммы равно нулю. Действительно, концентрации п„относятся к центру площадки дБ, а смещения броуповских частиц в положительном н отрицательном направлениях ~завновероятньь Для вычисления второй суммы заметим, что по определению среднего п(е)х ) = ~ п,( Лх,)".
Величины е2х„как независимые параметры, не зависят от х. Средний квадрат смещения ( зх ) также не может зависеть от х ввиду однородности жидкости и отсутствия силовых полей. Поэтому дифферепцнровапие предыдущего соотношения по х дает ( хэ) — '' =~ — '(1х,)'. дп' дп е дх дх В результате для среднего значения е(Ж получаем — (~Ьх ) дп 2 дх Чтобы найти средний диффузионный поток броуновских частиц Г, надо эту величину разделить иа дБ и т. Таким путем получаем ( Лхэ) Йп (932 Ц 2т дх Отсюда видно, что выравнивание концентраций броуновских частиц можно рассматривать как процесс.
диффуеип с коэффициентом диффузии (93.2) 'л т 2. Так как по своему смьпшу коэффициент диффузни О нс может зависеть от произвольно выбранного времени т, то уже из формулы (93.2) видно, что (е1хе) т. Эта зависимость была проверена Перроном в опытах, описанных в 364. Далее, используя формулу (91.3), получаем ( Лх ) = 29ГВт. (93.3) (Гл. Лги Яеленялн перенееа е гавот.
350 Это — основная формула теории броуновского движения. Она отличается от формулы (64.4) только обозначениялли. Правда, в формуле (64А) речь шла о смещениях одной и тай аюс частицы в последовательные и равные друг другу промежутки времени. Формула же (93.3) предполагает, что происходят одное!жменные смещения мноаяхстеа броцпоесяялх частиц. Однако ввиду тождественности броуновских частиц и однородности жидкости лн.жду этими смещениями по существу нет разницы.
Если ввести средний квадрат полного смещения броуновской частицы. то получится 22 = ( 1тл) бт (93.4) ла лв р= —,=, = — лп. бт бт б Этот результат отличается от ранее ныведенпой формулы (90.3) числовым - -: ' 1Г2 ~ 94. Термическая диффузия в газах 1. Если концы прямолинейной трубы, заполненной однородной смесью двух различных газов.
имеют разные температуры. то вдоль губы возникают диффузионные потоки этих газов, направленные в противоположные стороны. Направления потоков определяютгя следуюгдим правилом. Если массы молекул плл и тпэ не слишком близки. го более массивные молекулы стрелиятся перейти в более холодные области, а менее массивные -- н более нагрегые. Если же т,л и та почти одинаковы. но молекулы имеют разные размеры, то н холодные области устремляются более крупные молекулы, а в теплые менее крупные,. Описанное явление называется термцческай диффузпей или, коро ~е, тсрмодпффрэпей.
С феноменологической точки зрения возникновение потока частиц под влиянием градиента температуры соверцленно естественно. Термодиффузия при наличии температурного градиеята возникает вследствие столкновений между разнородными молекулами. Однако более конкретное наглядное толконанне этого янления весьма затруднительно. Это., по-видимому, имеет глубокие основания.
Направление термодиффузионного потока существенно зависит от характорв, нзаимодойгтния между молекулаляи. Например, если молекулы считать силоными центрами, отталкиванпцимися друг от друга по закону Š— !/т, 3. Формулы (93.3) и (93.4), конечно, справедливы и для диффузии молекул газа или жидкости. Однако точное вычисление коэффициента диффузии по этим формулам здесь практически невозможно. Для этого надо было бы точно знать средний квадрат смещения молекулы за время т. Практически возможны лишь приближенные оценки. Оценим, например, с помощью формулы (93.4) коэффициент самодиффузии молекул газа. Уирогдая расчет, будем считать, что время между двумя последовательнымн столкновениями молекулы одно н то же.
Возьмем его в качестве т. Кроме того, будем считать, что и смещеяие люлекулы люжду двумя последовательнымн столкновениями одно и то же и равно Л вЂ” Пт. Подставляя в формулу (93.4) (тле~) =- Лл, получим ! 94) Тармачсскаа, диффузия а вазах то, как показывает строгая теория, термодиффузионные потоки меняют знак при переходе через и = 5. 1!рн а = 5> термодиффузия исчезает. Интересно отметить, что закон Р' 1(гэ был принят Максвеллом, так как в этом случае вычисления сильно упрощаются и становятся выполнимыми. 11оэтому-то термодиффузия и осталась им незамеченной.
Это явление теоретически было предсказано независимо друг от друга Энскогом и Чепменом в 1917 г. На опыте терлюдиффузия в газах наблюдалась Чепменом и Дутсоном в том жс году. Строгие теории термодиффузии Энскога и Чепмена очень сложны и громоздки. Излагать их мы не имеем возможности. !1опытки же элементарной трактовки явления термодиффузии малоутвердительны, и нет смысла на них останавливаться. Термическая диффузия в жидкостях была обнаружона экспериментально в середине прошлого века. 2. В результате тсрмодиффузии происходит частичное распределение газовой смеси и связанное с ним возникновение градиентов концентрации каждого из компонентов. Это вызывает концентрационную диффузию, сгремящуюся устранить указанное разделение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
