Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Число >Ч существенно занисит от характера отражения молекул от стенок трубы. Если бы, например, стенки трубы были абсолютно гладкими, а молекулы отражались от них зеркально, то всо молекулы, вошедшие в трубу с одного конца, вышли бы из другого конца, т. с. было бы Ж = Д?и На самолл деле такой идеализиронанный случай никогда не осуществляется.
В реальном опыте значительная доля молекул, ударишпихся о стенку трубы, летит обратно. Определить вид зависимости >'я' от >я'л и от параметров грубы лложно из соображений размерности. Из механизма явления следует, что должна суп1естновать функциональная связь между величинами Ж, Д?л, а, 1. Из этих величин можно состанить две независимые безразллерные комбинации, а именно?л'1>,Ч> и а,>1. При течении по трубе одна из них должна быть функцией другой: Дг/Дг> = 1'(а,?1), так что Дг = Х>7(а,>1). Функция 1" (а>>1) зависит от формы поперечного сечения трубы., а также от характера отражения молекул от ее стенок.
Очевидно 1 (0) = О. так как при а = О выходящий поток % обрац1астся н нуль, каково бы ни было значение >я'ь Предполагая, что функция 7'(а?>1) разлагается в степенной ряд, произведем это разложение и оборвем его на линейном ) Гл. Ле!! Яаяенал переноса, а еаеат. 360 члене.'!огда получим а, !У = С вЂ” ' (Д1, — еаза). 196.1) Можно представить себе, что труба соединяет два сосуда. В одном поддерживается давление Р, и температура Т,, в другом — давление Ра и температура Тз.
Если коицентрапии молекул в сосудах равны гц и пе соответственно, то 1 ,~2 = — Впапз. 4 где Я вЂ” площадь поперечного сечения трубы. ич ..ч. ° - ..-.-'= „%~ТЕ ° е = от. выражение для де к виду 196.2) где А новая постоянная: А= !96.3) ъ'зай йа, Для массы газа, ежесекундно протекающего через поперечное сечение трубы, получаем Ц = Ауещп — ( — ) . Г96.4) 3. Числовые коэффициенты С и А можно оценить с помощью следующих элементарных соображений.
Рассмотрим круглую трубу и будем предполагать, что температура газа одна и та жс по всей трубе. Г1ротеканис газа чорез трубу можно рассматривать как процесс диффузии. Слгдоиагельно, д' = — ОВс!и/еГх, где О = (1Д!)Лй-- коэффициент диффузии (ось Х направлена вдоль ося трубы). Для стационарного процесса Де = сопэйч а потому еГпеедх = сопя!.
Значит, еГп,ееГх = Гпз — п1)/1, и далее 1 „,п1 — пе 3 Г!ри кнудссновском течении столкновониями между молекулами люжно полностью пренебречь. Длина свободного пробега полностью определяется столкновениями молекул со стенками трубы. По порядку Л =С!У,-", где С вЂ” постоянная, зависящая ог формы поперечного сечения трубы и от характера отражения молекул от ее стенок.
В частности, она может зависеть от того. как меняется температура стенки вдоль трубы. Пусть теперь через один конец в трубу поступает ежесекундно Де1 молекул. а через другой Ма. Ввиду независимости обоих потоков, через |юперечное сечение грубы будет проходить число молекул, равное 3 96) Молекулярное течение ультрорилреои:енноео лооп.
361 величины она равна диаметру трубы 2а. Принимая это значение, получим 2 и,— 3 ! или 8 о. 'Ч = —, — ' (Л!л — Дба). 3 1 (96 ог) Сравнение этой формулы с (96А ) наказывает, что для круглой трубы С= —,, А= —,л 3' 3 У 29 (96.6) 5. Приведем теперь более строгий молекулярно-кинотический вывод полученных формул.
Наиболее существенным моментом нашего вывода будет предположение относительно характера нзаимодействия ударяющихся молекул со стенками трубы. Предноложим, что после удара о стенку молекулы отражаются обратно так, что их скорости становятся распределенными но закону Максвелла нри температуре, равной температуре стенки. Это предположение означает, что молекулы газа воснринимаюг температуру стенки., а их скорости становятся распределенными изотронно уже в результате однократных ударов о стенку. Хотя это и не совсем правильно, но такое предположение является простейшим и в рассллатриваемом вопросе приводит в основном к правильным результатам.
Строго говоря, мы выражались не совсем точно. Отраженные молекулы движутся только от стенки, среди них нот молекул, двилкущнхся к стенке. Поэтоллу о ллаксвелловском распределении скоростей отраженных молекул можно говорить лишь условно. Смысл нашего предположения сосгоит в том. что если отраженные молекулы пополнить Приведенный элементарный влявод показывает также, что в случае неизменности теллпературы вдоль трубы ч' н О строго пропорциональны разногти давлений Рг — Рэ.
Напротив. нри изменении температуры вдоль трубы пропорциональность между теми же величинами и разностью (Рл(угТл — Рэ(л)Тэ) только приближенная. Она справедлива лишь до тех нор, пока в разложении функции ) (а/!) в степенной ряд можно ограни гиться только линейным членом. Формулы (96.2) и (96.3) при числовых значениях постоянных С и А (96.6) называются д!ормйлалт й нйдселла. 4. Формула (96.4) цоккзывает, что при прочих равных условиях расход ваза О нропорцион леи тубу радиуса трйбьь Это должно учитываться при конструировании вакуумных установок.
Допустим, что мощность высоковакуумного насоса позволяет откачивать в секунду у' литров газа, а труба, соединяюгцая насос с откачиваемым баллоном, способна пропускать за то же время г литров. Если о « \:, то применять мощный насос бессмысленно. Для правильного использования насоса размеры соединительной трубы надо выбирать так, чтобы было е 'г'. ) Гл.
Ч1! Явления псреноеа в галат. 362 таким же числом молекул., летящих с теми же., но противоположно направленными скоростями, то получится максвелловскос распределение. Допустим тспсргч что с единичной площадкой Я в одну секунду сталкивается Л'„, молекул. Найдем долю зтих молекул д1т',и, отражающихся в телесный угол п12, ось которого составляет угол д с нормалью к площадке Я (рис. 92). Так как но нашему предположению распределение отраженных молекул по углам и о'й 412 скоростям не зависит от скоростей н над правления движения падающих молекул, то можно предположитгч тго падающие Я молекулы вместе с отраженными распределены по закону Максвелла.
Пусть и— Рис. 92 число всех молекул в единице объема. Тогда число молекул в телесном угле о12, падающих в единицу вромени на площадку л под углом д к нормали, Ий будет иг Я совд —. Таково же будет и число молекул НМ.т. отразившихся в симметрично расположенный телесный угол по другую сторону нормали. Полное число падающих молекул дается формулой (75.5), т. е, Мс, = (1(4)пуь Вводя его, получим. ИМ, =- '"' сов д д2'2. %,„, (06.7) б. Вернемся к задаче о молекулярном течении газа через трубу.
'1'рубу будем считать цилиндрической, радиуса а. Так как расход Рис. 93 газа Ц один и тот >ко через все сечения трубы, то для его вычисления можно взять сечение,Я, проходящее через середину трубы 1рис. 913). Плоскость сечения Я примем за координатную плоскость УУ., ось Л э 96) Молскулпрноо течение ультрпрпорооменнооо апаа 363 направим по одной из образующих цилиндра.
Пусть 4.5' — элементарная площадка в сечении Я. Возьмем на боковой поверхности цилиндра бесконечно короткий поясок ширины дх' и на нем элементарнунэ площадку Й;э'. Из середины площадки дК площадка ЙЯ видна под телесно сов д ным углом д!2 = — —., —. Число молекул дФ, летящих от площадки Н д;э' и проходящих через д.й в одну секунду, определяется выражением 1 пап сочд = -' —, сову = —.
Л' = 2а уды х р у й' ' Я Х„(х) — ',, дх. нэ Если бы число ударов !У„было одинаково по всей длине трубы, т. е. не зависело от х, то подынтегральное выражение Л'„(х)х/й~ было бы нечетной функцией х, и ннтеграл по х обратился бы в нуль. Заметив это и предполагая, что функция Ж, (х) не слишком быстро меняется вдоль трубы, разложим ее в ряд по степеням х и оборвем разложение на квадратичном члене: ~~ст = дст(о) + ( ) Х +, ( и ) При интегрировании по х первое и последнее слагаемое не внесут никакого вклада в интеграл, и мы получим ы/э Ж=2а "! уг!Я 1 —,, дх.
Считая трубу длинной, заменим в последнем интсграло конечные пределы бесконечными. Для вычисления всего интеграла введем в плоскости сечения Э' полярные координаты г и д, поместив начало полярной где Л расстояние между площадками, д и д' углы между нормалями к ним и линией. сосдиняюн!ей центры площадок. Величина рчо относится к месту нахождения площадки 4.9' и является функцией ее координач ы х: !уот = Лот(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
