Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Это заключение неправильно. Настен янная Ь равна учетверенному обьему всех молекул газа. Между тем твердые шары, каковыми в напгей модели являются молекулы, можно разместить в меньшем объеме. Их, конечно. невозможно разместить в объеме !ггг4, в точности равном сумме объемов всех шаров. Даже при наиболее плотной упаковке останутся промежутки между шарами, 1!ри наиболее плотной упаковке (сы. рис. 175 а) общий объем всех шаров !г,г4 составляет нгг(1~ 2) = 0,74 обьема всего тела (см. 3 134). Отсюда следует, что минимальный обьем, до которого может быль сжат тазг по нашей модели равен (;!у'2гг4п)6 = 0,3376, и не Ь, как это было получено из уравнения (98.1).
Почему же уравнение (98.!) привело нас к неправильному заключеггию? Потому, что мы вывели его в предположении парных столкновений, а использовали тогда, когда это условие не выполняется. !!ри всякой более плотной упаковке каждый шар одповреыенно касается нескольких соседних шаров, а такие случаи при выводе были исключены из рассмотрения, 4. Рассмотрим теперь влияние сил милет!лгяриоео ггрггггглагсегггея. Предполагая, что сил отталкивания нет, изменим модель газа.
Молекулы будем считать точками, между которыми действуют силы притяжения. В отличие от сил отталкивания, действующих на близких расстояниях, силы молекулярного притяжения являются силами дальнодействргощиепг. Во взаимодействии участвует сразу много молекул, и схема парных столкновений становится непригодной. Окружим каждую молекулу сферой молекулярного действия, Если эта сфера целиком находится внутри газа, то силы, действующие на рассматриваемую молекулу со стороны окружаюгцих молекул, в среднем уравновешиваются (рис.
96). Но этого не будет, когда молекула находится вблизи границы газа со стенкой. Здесь сфера молекулярного действия лишь частично проходит в газе. Рис. 98 Появляется избыток молекул, тянущих рассматриваемую молекулу внутрь газа, над молекулами, тянущими ее наружу. Таким образом, вблизи стенки возникает приетеночиый слой газа, толщина которого равна радиусу сферы молекулярного действия.
(Гл. М!В Рео тьнме гаям 372 Каждая молекула этого слоя в среднем подвергается действию силы 1, направленной в сторону газа. Величина силы 1' максимальна., когда молекула находится у самой стенки, и убывает при удалении от нее. Когда молекула газа летит к стенке, а затем отражается от нее, .то меняется ее импульс. Изменение импульса подсчи"гывается совершенно так жс, как это делалось в 3 59 при вычислении давления идеального газа.
Ежесекундное изменение импульса всех молекул, падающих на единицу площади стенки и отражаюгцих ог нее, равно (1/3) ти(ге). Однако, в отличие от идеальных газов, импульс налетающих молекул изменяется не только под действием си,л давления со стороны стенки, но и под действием сил, с которыми их тянут внутрь газа молекулы пристоночного слоя. В частности, под действием этих последних сил молекула может отразиться внутри пристеночного слоя, не долетев до стенки. Вместо сил. действующих на налетающие молекулы. можно по третьему закону Ньк>тона ввести рванью им и противоположно направленные силы, действующие на стенку и на молекулы пристеночного слоя. Пусть Р -- средняя сила давления газа на стенку., а Р,— средняя сила (отнесенная к единице площади), с когорой молекулы пристеночного слоя втягиваются внутрь газа.
Тогда Р+ Рг = —, пьп(эз), 3 или (98.3) Р+ Е'; = пйТ. Из изложенного видно, что давление на стенку Р не зависит от материала стенки. Роль стенки может выполнять сам газ. Проведем мысленно произвольное сечение, разделяющее газ на две части. Давление одной части на другую будет таким же.,как если бы эта другая часть была твердой стенкой.
Оно равно Р, а не Р+ Р,или какой-либо другой комбинации этих величин. Именно это давление Р входит в уравнение гидродинамики и газодинамики. Сила Р„называется енйгвренпиж, или молекулярным, давлением. Ее можно представить в виде Р; = (М,„Я, где з' сила,, действующая на молекулу пристено шого слоя, а Ж,в --. чигчо молекул и нем, отнесенное к единице площади.
Можно также написать Р; (Х,в)()). Обе величины (Л',л) и (Д) пропорциональны плотности или обратно пропорциональны обьему газа. Предполагая опять, что газ взят в количестве одного моля, можно положить Р,= — ',, (98.4) где а постоянная, характерная для рассматриваемого газа.
Тогда (98.3) переходит в (98.5) 5. Теперь надо учесть совместное действие сил притяжения и сил отталкивания. Для неплотных газов, к которым относятся наши з 98) Уравнение Ван;дпр-Вппльсп, рассуждения, поправки на силы притяжения и отталкивания можно вводить независимо. Тогда в результате комбинации формул (98.1) и (98.5) получится (98.6) Это уравнение называется уравнением Вам-дср-Ваальса. Ван-дерВаальс получил его теоретически в 1873 г.
Теоретический вывод уравнения (98.6) применим при выполнении условий Ь« !', аг'лг « Р (98.7) (Р + ',,л ) ( — - Ь) = (98. 8) или и (Р+" и ) (! - Ьп) = рВТ. (98.9) 6. Согласно закону Вайля — Мариотта произведение Р1г для идеальных газов остается постоянным, если только температура поддорживается постоянной. Посмотрим, как ведет себя это произведение для газа Ваи-дер-Ваальса.
Экспериментально удобно исследовать зависимость Р1г от Р. оставляя температуру постоянной. Теоретически. однако. проще получить зависимость Р!' от плотности р = д/У'. Перепишем уравнение (98.6) в виде ЙТ а Р= 1/ — Ь 1/2 ' (98. ГВ) После умножения на 1'' и замены в правой части 1' на р/р получим рВ7' и и — Ьр р р Кроме гого, вывод предполагает, что молекулы газа сфернчески симметричны, поскольку он относится к ллодели твердых упругих шаров. С этим связано то обстоятельство. что в действительности цалко для неплотных газов величины а и Ь зависят от температуры. Для плотных газов уравнение Ван-дер-Вазльса, как количественное соотношение, не годится.
Однако качественно оно правильно передает поведение и таких газов. 1!оэтому для изучения качественного поведения вещества мы будем в дальнейшем применять уравнение Ван-дер-Ваальса во всей области изменения давлений и температур. Но тогда на него надо смотреть. как на приблиаюениое пплузмпиричгское рршнепис.
Газы, точно подчиняющиеся ураввеникл Ван-дерВаальса, называются газами Ван-дер-Ваальгл. Ясно, что они являнтгся идевлизациялли. Нетрудно записать уравнение Ван-дер-Вавльса для произвольного числа и молей газа. Если газ заниллает обьем !г, то малярный объем будет Ъ'/лг. Этой величиной надо заменить 1г в уравнении (98.6). В резулы'ате получится ) Гл. Ъ'!П Рььчьнме вань~ где д молярная масса газа. Для отыскания экстремума этого выражения находим его производную но р. Приравнивая ее нулю и учитывая, что р > Ьр, найдем, что экстремум имеет место ври Яч) (98.
и) (08. 12) Ниже температуры Бойля цри сжатии газа произведение Р1' проходит через минимум. Так ведет себя при комнатных тел)нературах большинство газов. Выше температуры Бойля силы отталкивания всегда перевешивают силы притяжения: с возрастанием р произведение Р1' растет монотонно. При комнатных температурах так ведут себя водород и гелий. я 99. Другой метод введения поправки на силы притяжения между молекулами. Уравнение Дитеричи 1. Влияние пристеночного молекулярного слоя на уравнение состояния можно учесть другим способом, который приводится ниже. Отвлечемся сначала от молекулярных сил притяжения, с которыми стенка может действовать на молекулы газа. Будем прсдполагатгч что стенка действует на молекулы газа только при столкновениях с ними.
Как выяснено в предыдущем параграфе, молекулы прнстеночного слоя подвергаются действию результирующей силы, направленной внутрь газа. Вследствие этого концентрация молекул в пристеночном слое должна убывать при приближении к стенке в соответствии с формулой Больцмана в=в„,е (99.1) где Б -- вотенциальная энергия молекульь Этим и объясняется уменыпение давления газа на стенку. Э~нргия ~/ является функцией расстояния я молекулы от стенки.
Она максимальна у самой стенки и быстро убывает с возрастанием т. Ес значение на бесконечности Б условимся считать Исследование второй производной показывает, что зто есть минимум. Таким образом, если нзотермически сжимать газ из состояния бесконечного разрежения, го сначала он будет сжиматься сильнее идеального газа, а после нрохоэкденин через минимум Р г' -- слабее. Это и понятно. Для разреженного газа ббльшую роль играют силы притяжения, способствующие сжатию, чем силы отталкивания, препятствующие сжатиях Напротив. для плотных газов более существенное влияние на их поведение оказывают силы оггэлкнвания. С оовышением температуры минимум Ру' смещается в сторону меньших р. Это связано с тем. что с повышением температуры увеличивается число столкновений.
а потому возрастает роль сил отталкивания. Если Ктб~ц = 1, то минимум смещаезтя в начало координат р = О. Температура, цри которой зто происходит, называется тсжцерагцурой Бойля. Она равна з 99) Поправка ио, шшгн праги,яженол, между молох;уламп 375 равным нулю. (Бссконечнылпэ считаются расстояния больше радиуса сферы молекулярного действия.) Давление па стенку определяется пристспочной концентрацией ио, а ие внутренней концентрацией и, . Считая молекулы точечными, можем написать, как для идеального газа: Р = поет = и~рте оо (99.2) где Го — значение потенциальной энергии молекулы у стенки сосуда.
Если выполнено условие Е/о « Йт, то е о' 1 -Е Еlо~'йт, а потому Р+ п. Еоо =- п, ИЕ (99.* ) Сила притяження, действующая на пристоночную молекулу, а с ней и потонциальная энергия Ц>, пропорциональны концентрации молекул газа и, - г1'/Ъ . Поэтому можно написать По — ои, где о — постоянная лля рассматриваемого газа вошичина. Предыдущая формула прообразуется к виту (Р+ ол, ) = и, ЙТ, илп (99 А) если ввести новую постоянную а = оМ".
Этот результат совпадает с (98.5). Заметим еще, ~то через постоянную а потенциальная энергия По выражается формулой По .— — —— (99.5) 2. Молекулы пристеночного слоя притягиваются не только молекулами газа, но и молекуламн стенки. Это должно привести к уплотнению пристепочного слоя и к увеличению давления газа на степку. Получается парадоксальный результат; давление газа на стенку и постоянная а, в уравнении Ван-дер-Ваальса должны зависеть от материала стенки.
Этот результат нс согласуетгя с опытом, а вывод его неверен. Разборемся в этом вопросе. Сила Р', действующая на единицу площади стенки иэ-за ударов налетающих молекул, дсиствительпо возрастает. Но это не единственная сила, действующая на стенку. Стенка притягивает гэз. По третьему закону Ньютона газ притягивает стенку с равной,но противоположно направленной силой. Обозначим модуль через Ры Чтобы получить давление газа на стоику, силу Е~ надо вычесть иэ г . Покажом, что в пределах точности расчета, принятой при выводе уравнония Ван-дор-Ваальса, результат не будот зависеть от материала стенки. Пусть ЕЕ (х] — потепциальяая энергия молекулы в поле сил притяжения стенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
