Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Если центр другой молекулы лежит внутри или на боковой поверхности этого цилиндра. то она столкнется с молекулой А. В прогивном слу гае столкновения не произойдет. 11* ) Гл. Ч11 Явлен>ля пяреногл, в галат. Нусть И вЂ” объем ломаного цилиндра, описываемого сферой Я в единицу времени. Среднее число г столкновений движущейся молекулы с остальными молекулами в единицу времени равно среднему числу последних в объеме т', т.е. з = Ъ'и, где в число молекул в единице объема. Мы предполагаем, что средняя длина свободного пробега Л очень велика но сравнению с диаметром оферта ограждения 2г1. Тогда можно пренебречь теми частями объема т', которые приходятся на изломы цилиндра.
т.е. нри вычислении 1т цилиндр можно считать прямым, а его высоту равной скорости молекулы в. В этол> нрибли>кении 1т = он, где в = яЫ вЂ” площадь поперечного сеченн>< цилиндра. 2 Следовательно, 3 = нцте, (86.1) Нуттн пройденный молекулой Л за единицу времени. равен н. Разделив его на среднее число столкновений з, найдем среднюю длину свободного пробега молекулы: Л = 1(тгв. (86.2) Из вывода еле>!уст, что нри получении формул (86.1) н (86.2) можно рассуждать так.
как если бы все молекулы, с которыми сталкивается молекула Л, были точечными, а радиус молекулы Л увеличен вдвое, т. е. молекула Л заменена ее сферой ограждения. Такал замена может рассматриваться как вычисленный прием для учета конечных размеров молекул, сталкивающихся с молекулой Л. Этот прием будет использован в следующем параграфе нри вве;[енин понятия эффективного сечения. Конечно, формулы (86.1) и (86.2) не точны, поскольку в основу их вывода положено предположение, что движется только одна молекула, а все остальные неподви>кны. Математически строгий расчет был дан Максвеллом с учетом максвелловского распределения молекул но скоростям.
Но в физике уточнение Максвелла мало существенно, так как его расчет выполнен но для реальных молекул, а для модели твердых упругих шаров. Максвелл получил: я = ь>2 тите = 1.41 птте, (86.3) (86.4) Выражения !т86.3) и !т86.4) отличаются от приближенных формул (86>.1) и (86.2) только числовыми коэффициентами, близкими к единице. Это несущественно во всех расчетах, которые сами н1ювод>ггся с точностью до числовых коэффициентов. Такое положение имеет место в излагаемой ниже теории явлений перел>все — А>ффузить впутпрютиего тт~ретптл и ттнгплопрвввд>>оспин Ввиду сложности точной теории игих янлений приходится довольствоваться приближенными расчетами, часто довольно грубыми.
В таких расчетах несущественно сохранять числовые множители хт2 и 1/у'2, <то обычно и делается. Упро1ненные формулы !>86.!) и (86.2) даюг не "только правильные порядки величин. но, что особенно важно„приводят к верной зависи- Средняя длина свободного првбееа мости числа столкновений и длины свободного пробега от концентрации и размерон молекул. 3. Сам Максвелл получил выражения (86.3) и (86.4) в результате довольно кропотливых и сложных вычислений. Между тем их можно получить из формул (86.1) и 186.2) путем весьма простых рассуждений почти без вычислений. Появление множителя чсй становится прн этом особенно ясным. Приведем соответствующий вывод. При рассмотрении процесса столкновения играет роль не абсолютная скорость выделенной к!опекуны Л, а ее скорость впи!вглппе.льна молекулы, с ко!парей вна глпплкпвается.
Выделим мысленно группу молекул, которые движутся относительно молекулы А с одной и той жс относнтольной скоростью э, „„. Пусть и, — число таких молекул в единица объема. Число сголкиовений ! молекулы А с молекулами выделенной группы в единицу времени можно найти по формуле (86.1), которая даст; = и; сти,, Полное число столкновений молокулы А со агами остальными молекулами найдется суммированием этого выражения по всем скоростным группам, т.с.
по всем возможным значениям индекса с: = ~п,ви;„,. Введя среднюю относительную скорость 1 с,„„= — ~ п,с, „.„„, получим 186.5) 7!ос и, следовательно, 1 и„.. нв' Задача свелась к вычислению средней относитслыюй скорости и „какой- либо молекулы относительно всех остальных молекул газа. 4. /)ля решения этой задачи дадим другую интерпретацию максвелловского закона распредслония скоростей. В прежней интерпретации закон Мак!твелла давал, распределение скоростей всех люлскул еаза, в адин и твт, саше момент, времени. Но на него можно смотроть как на закон распределения гкврвсп!ей одной и тай аюе молекулы (например.
молекулы А), которые она последовательно принял!вот в различные моменты времени. Воспользуемся с,лсдующей интерпретацией. Пусть чс, ча,..., чк — скорости, пришсмасмыо молекулой Л непосредственно после первого,второго и последующих столкновений. Если число Ж стрелсится к бесконечности. го эти скорости распределятся по закону Максвелла. Это непосредственно следует из равноправия всех молекул и хаотичности молекулярного теплового движения.
В моменты столкновений на молекулу Л действу!от беспорядочно меняющиеся силы у с, Еэ,... Опи-то и приводят к установлению максвслловского распределения скоростей молекул А в рассматриваемые момента! времени. Пот чс, чэ,..., чк мы понимаем скорости относительно системы отсчета, в которой газ как цолос покоится.
Введем теперь скорости молекулы А относительно остальных молекул, которыми она обладала в проможутках между последовательными столкновониями. Пусть ч! означает скорость молекулы Л пекле первого столкновения относительно молекулы. с ктаврвй произв!ало зтв ствзкнввенпе, ч! „„— скорость после второго столкиовсс!ня с!н)нос!с!вез!вне молекул!!, г хатор!)п 7сроизошлс зясв (Гл.
ЧН Явления переногп, е везат. второе столкновение, .и т.д. Как известно из механики, при рассмотрении относительного движения двух частиц одну из пих можно считать неподвижной. Относительное движение второй частицы (напримср. частицы А) формально описывается уравненном Ньютона, как в неподвижной системс. При этом силы Ры Ре,... остаются прежними, яо масса частицы А должна быть заменена приведенной массой.
Если молекулы одинаковы (тч = то = = т), то приведенная масса равна тюш ((т~ + ю~. ) = т/2. Таким образом, при относительном движении все происходит так, как если бы масса молекулы уменьшилась в два раза. Так как силы Рм г'э,... и моменты времени их действия остались прежними, то в эти моменты относитсльныс ускорения молекулы А будут вдвое превосходить сс жс ускорение в неподвижной системс отсчета. Отсюда непосредственно следует, что распдедевенпе отяоситгльямт, скоростей молекрлм брдегп максеелловским. д так как эффективная масса молекулы в относительном движении вдвое меиыпс т,, то все средние относительные скорости окажутся болыпе соответствующих абсолютных скоростей в х72 раз. В частности.
с,„= хг26, и формулы (86.5) и (86.6) переходят в (86.3) и (86.4). 5. Рассмотрим теперь более важный случай, когда сталкивающиеся молекулы различны. Пусть одна молекула сорта 1 с массой т~ и радиусом гт движется в среде молокул сорта 2 с массами тэ, радиусами гв и концентрацией пе. Есле бы молекулы сорта 2 были неподвижны, то остались бы справедливыми прсжнио формулы (86А) и (86.2). В ннх надо было бы только заменить на ш, и — на и, е — па еы и на п~ = я (г~ ч гэ) э Сферой ограждения молекулы 1 теперь является копцептричоская с ней сфера радиуса с( = г, и г . Учтем теперь л~аксвслловскос распределение скоростей, используя формулы (86.5) и (86.6).
На основании изложенного выше средняя относительная скорость е „и средняя скорость мо.лскулы 1 6~ обратно пропорциональны квадратным корням ~д и ь пц, т.с. х'т~ т~ -!- тв т~ше с,, = ю~ = р~ где р = р шэ аахм .!- гве С учетом соотношения тз с ~ — — ш ре этот резувьтат можно представить в более ешь~матричной форме: (86.7) Пля среднего числа столкновений в~э, прстерпеваемых молекулой сорта 1 с молекулами сорта 2 в единицу времени, получаем (86.8) а для средней длины свободного пробега молекулы сорта 1 ! 1 л1 — — . (86.9) »».Лзпдт»»*Л8»7 При ш~ = те эти выражеяия переходят в максвелловскис формулы (86.3) и (86.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
