неделько-12 (1106087), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

По той же схеме находят закон изменения момента импульса системы материальных точек:

.

Здесь ‑ приращение момента импульса, ‑ момент внешних сил, ‑ интервал времени, в течение которого момент внешних сил действует.

Напомним, что поскольку рассмотренный закон является следствием законов Ньютона, он справедлив в инерциальной системе отсчёта. По той же схеме находят связь между изменением кинетической энергии и работой сил . Закон работает в инерциальной системе отсчёта. Работа является суммой работ и внешних и внутренних сил. При этом внешние и внутренние силы бывают двух видов: консервативные, ‑ работа этих сил не зависит от формы пути, и неконсервативные (диссипативные), ‑ работа этих сил зависит от формы пути. Взаимное расположение материальных точек в системе называют конфигурацией. Конфигурация системы задаётся совокупностью координат материальных точек. Система может находиться в различных конфигурациях. При переводе системы из произвольной конфиг урации в любую другую конфигурацию меняется положение материальных точек системы, а поскольку между точками действуют силы, то производится работа . Работа есть мера передачи энергии, и если она производится за счёт внутренних консервативных сил, то определяется только разностью энергий, обусловленной взаимным расположением точек в конфигурации и . Другими словами, в этом случае . Обычно это соотношение записывают в виде . Энергию , обусловленную взаимным расположением материальных точек в системе называют потенциальной. Чтобы найти потенциальную энергию конфигурации , надо условно принять потенциальную энергию конфигурации равной нулю, т.е. .

Система материальных точек имеет много конфигураций. Для нахождения потенциальной энергии выбирают одну конфигурацию, имеющую нулевую энергию, и эта одна конфигурация выбирается произвольно, а значит в количественном отношении потенциальная энергия любой конфигурации определена не однозначно. Однако этот произвол не влияет на физические выводы, поскольку в физике изучаются процессы, а процесс всегда связан с изменением конфигураций и зависит не от абсолютных значений энергии, а от разности энергии различных состояний, т.е. используется формула , а она однозначна. Сумму кинетической и потенциальной энергии системы материальных точек называют полной механической энергией.

Проведём ещё одно математическое исследование. Возьмём геометрическую точку, положение которой задаётся радиусом-вектором , где ‑ массы, а ‑ радиусы вектора материальных точек, входящих в сумму; назовём точку центр-масс. Продифференцируем левую и правую часть

; ,

где ‑ импульс -точки.

Получим соотношение: импульс системы материальных точек ( ) равен массе системы ( ), умноженной на скорость центра масс ( ): . Продифференцируем правую и левую части: . Поскольку , то , т.е. в инерциальной системе отсчёта произведение массы системы материальных точек на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на систему.

Система материальных точек – общая модель совокупности взаимодействующих между собой материальных точек. При наложении дополнительных условий она переходит в модели меньшей общности. Примерами таких моделей являются:

Абсолютно твёрдое тело – система материальных точек, расстояния между которыми считают неизменными.

Упругое твёрдое тело – твёрдое тело, деформация которого при действии сил на него подчиняется закону Гука: , где ‑ величина силы, ‑ длина недеформированного тела, ‑ длина деформируемого тела, ‑ коэффициент упругости, или жёсткости. Он определяется размерами деформируемого тела и материалом, из которого оно состоит.

Система материальных точек – модель, в которой объект состоит из отдельных частиц, движущихся в пустотных промежутках между ними под действием сил.

В физике существует и другая модель – модель сплошной среды, в которой физические свойства изменяются непрерывно. Для описания модели «сплошная среда» существует два подхода. Первый: использование для описания модели аксиоматики Ньютона. Этот способ использовали Эйлер (динамический подход) и Бернулли (энергетический подход) при разработке ими основ гидродинамики. Эйлер постулировал аксиому, согласно которой второй закон Ньютона справедлив для элемента твёрдого тела или жидкости, выделенного из среды. Используя эту аксиому, Эйлер рассмотрел частицу, имеющую форму параллелепипеда со сторонами , на которую действовали силы со стороны внешней среды, и получил дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости. Это уравнение само можно считать аксиомой, из которой были выведены следствия, в частности, известные законы гидростатики Паскаля и Архимеда.

Бернулли использовал энергетический подход – закон сохранения энергии – и получил уравнение, названное его именем. Эффективный подход для этой модели – использование математической теории поля. Математическое поле определяют как область, в каждой точке которой задана скалярная или векторная функция радиуса-вектора. Соответствующие поля называют скалярными или векторными. Математический аппарат теории поля разрабатывался ещё Лапласом и Пуассоном. Математическое понятие «поле» было введено Грином.

Полевая модель чрезвычайно сильно расширяет возможности описания. В теории математического поля есть математические объекты, свойства которых не зависят от системы координат, а зависят только от свойств поля. Это означает, что соответствующие физические величины не зависят от системы отсчёта, а определяются только свойствами поля. Математические объекты, зависящие от свойств поля, называют инвариантами. К ним относятся поток вектора, циркуляция вектора, дивергенция вектора, ротор вектора, градиент (см. Дополнения).

Волновая модель. Видимо, все наблюдали, что если бросить в озеро камень, то по воде начнут быстро разбегаться круги от места попадания камня в воду. При этом мелкие предметы (листики, букашки, щепки и т.п.), лежащие на поверхности воды, начнут вертикальное движение без горизонтального перемещения. Такое возмущение воды носит название волнового, а волны можно определить как изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в среде без переноса вещества и несущие с собой энергию.

В случае с камнем, упавшим в воду, смещение частиц (вертикальное смещение) происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны – такие волны называют поперечными.

Существуют волны, в которых направления распространения волны и смещения частиц среды одинаковы (звук). Такие волны называют продольными.

Волны имеют различные формы: одиночная волна (импульс), ограниченный ряд повторяющихся возмущений (цуг), гармоническая волна.

Гармоническая волна представляет собой бесконечную синусоиду и является фундаментальной волновой моделью. Формула волны:

.

‑ величина возмущения в точке с радиусом-вектором в момент времени ; ‑ амплитуда возмущения; ‑ круговая частота ‑ связана с периодом : , где период – время, за которое совершается один полный цикл колебаний. Часто вместо периода используется циклическая частота ; ‑ носит название волнового вектора. По абсолютной величине равен числу волн на отрезке и ориентирован в направлении распространения возмущения; ‑ длина волны ‑ расстояние между двумя соседними максимумами (минимумами) возмущений. Длина волны и период связаны: , где ‑ скорость распространения возмущения. Выражение, стоящее за в выражении волны, называют фазой: .

,

если волна распространяется вдоль одной оси, например, , то

.

Одной из характеристик волн является вид поверхностей равных фаз, т.е. поверхностей, в любой точке которых в данный момент времени фазы одинаковы. Эти поверхности называют волновыми фронтами.

Соответствующие волны классифицируют по виду поверхностей равных фаз: плоские, сферические, цилиндрические.

Как уже было отмечено, распространение волн связано с переносом энергии в среде от локального возмущения. Количественно он характеризуется вектором плотности потока энергии . Направление совпадает с направлением переноса энергии, а его абсолютная величина равна энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадь, расположенную перпендикулярно направлению потока. Обычно при расчётах используют связь потока и амплитуда волны : , где зависит от природы волны и свойств среды.

Волны различной природы участвуют в одних и тех же явлениях (интерференции, поляризации, дисперсии), причём наиболее наглядны они в оптике (см. «Оптику»).

Законы сохранения. Существуют физические закономерности, в которых численные значения некоторых физических величин не изменяются со временем в определённых классов процессов. Эти законы называют законами сохранения. Законы сохранения значительно расширяют возможности решения. Используя законы сохранения, решают проблемы даже в тех случаях, когда система очень сложная и динамические законы для неё неизвестны.

Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных систем, являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда.

Кроме всеобщих законов сохранения, имеются законы сохранения справедливые локально, т.е. при определённых условиях (например, закон сохранения массы).

Характеристики

Список файлов лекций