неделько-12 (1106087), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Позднее абсолютное пространство и абсолютное время показали свою несостоятельность, и «ушли» из физики. В современной классической механике постулируют так: «существуют системы отсчёта, в которых все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно». Такую систему называют инерциальной системой отсчёта.
Таким образом, суть закона инерции сводится к утверждению, что существует инерциальные системы отсчёта. Это утверждение является обобщением большого числа опытных фактов.
Математическое выражение первого закона 
.
Второй закон Ньютона постулирует: в инерциальной системе отсчёта приращение импульса материальной точки 
равна импульсу действующих на точку сил 
, т.е. 
, где 
‑ результирующая всех сил, равная в соответствии с принципом суперпозиций геометрической сумме сил, действующих на материальную точку.
Импульс силы – физическая величина, равная произведению силы на интервал времени, в течение которого сила действует. Поскольку масса материальной точки постоянна, то закон имеет эквивалентный вид:
или 
.
т.е. в инерциальной системе отсчёта произведение массы материальной точки на её ускорение равно результирующей силе, действующей на данную материальную точку.
Третий закон гласит: силы, с которыми материальные точки действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Математическое выражение закона
.
К числу аксиом можно также отнести фундаментальный закон всемирного тяготения: между двумя любыми материальными точками действует сила притяжения, величина которой пропорциональна массам точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Математическое выражение закона
.
‑ гравитационная постоянная.
Математические эквиваленты законов имеют вид
;
или 
;
;
.
Рассмотрим на конкретных примерах возможности аксиоматической системы.
1. Решение локальных проблем при конкретных условиях – это, по сути, решение учебных задач (см. т.2).
2. Объяснение феноменологических законов на базе аксиоматики Ньютона.
3. Получение новых физических величин и новых соотношений в рамках модели «материальная точка».
В качестве примера объяснения феноменологических законов рассмотрим третий закон Кеплера. Кеплер получил этот закон на основе данных, которые много лет собирал его учитель Тихо Браге, проводя астрономические наблюдения за Марсом и другими планетами.
Третий закон гласит: квадраты периодов орбитального движения планет пропорциональны кубам их средних расстояний до Солнца (строго говоря, кубом больших полуосей эллипсов).
Рассмотрим упрощённую модель, считая, что планеты вращаются по круговым орбитам. Считая Солнце неподвижным, возьмём систему отсчёта, связанную с ним. Ввиду больших расстояний между планетами и Солнцем можно взять модель «материальная точка». В этой системе для каждой планеты, вращающейся вокруг Солнца, справедлив второй закон Ньютона
,
где 
‑ масса планеты, 
‑ её ускорение, 
‑ сила притяжения. Поскольку движение вращательное, используем вращательные кинематические величины: 
‑ угловую скорость и 
‑ период вращения. Если масса Солнца 
, а расстояние между планетой и Солнцем 
(радиус вращения, то согласно закону движения
.
Учитывая, что 
, получим
или 
,
где 
‑ константа, одинаковая для всех планет, вращающихся вокруг Солнца.
Таким образом, феноменологический закон Кеплера является следствием второго закона Ньютона.
Рассмотрим получение новых физических величин и связей при использовании аксиоматики Ньютона в рамках модели «материальная точка». Согласно указаниям Ньютона (см. ранее) надо провести сначала математические исследования в рамках произвольно поставленных условиях, а затем найти условия, при которых полученные соотношения описывают физические явления.
Возьмём второй закон Ньютона и проведём с ним математическую операцию – векторно умножим левую и правую часть на радиус-вектор: 
. Подставим вместо 
его выражение через угловое ускорение 
и радиус-вектор 
, т.е. 
и заглянем в математический справочник, в котором увидим, что 
. Введём обозначение 
и получим соотношение 
, теперь обозначим 
и получим выражение 
. Таким образом, проводя математические операции со вторым законом, получили новое выражение. 
‑ скалярная величина, 
‑ векторная величина. Согласно определению векторного произведения и 
‑ лежат в одной плоскости, а 
направлен по прямой, перпендикулярной этой плоскости, и его направление задаёт правило правого винта. Также направлено угловое ускорение . По абсолютной величине 
, где 
‑ угол между векторами и .
Теперь надо «обратиться к физике» и посмотреть есть ли физические явления, которые могут быть описаны выведенным соотношением. Опыт показывает, что таким явлением является вращательное движение материальной точки. При этом физические величины, соответствующие выведенным математическим величинам, носят название: ‑ момент инерции точки, 
‑ момент силы.
Если взять второй закон Ньютона в виде 
и провести ту же математическую операцию – векторно умножить на , то получим 
. Здесь новая величина (обозначим 
) 
и новое соотношение 
.
Величина получила название момента импульса материальной точки, а соотношение – закон изменения момента импульса материальной точки.
Ещё пример: левую и правую часть второго закона умножим скалярно на скорость:
,
и проведём математические операции:
, 
,
, 
,
где 
, ‑ угол между векторами и 
. Обозначим 
, а 
, получим новое соотношение 
.
Опыт показывает, что полученное соотношение может быть использовано при описании физических явлений, при этом физические величины, соответствующие математическим выражениям, носят названия: 
‑ кинетическая энергия материальной точки, 
‑ работа силы.
Итак, математические операции с математическим эквивалентом второго закона Ньютона приводят к новым физическим величинам и новым связям (физическим законам). Однако ещё раз подчеркнём, что полученные в результате математических операций новые математические формулы, только тогда можно преобразовать в физические законы, когда они подтверждаются опытом.
Итак, мы рассмотрели примеры получения новых физических величин и законов посредством математических операций в рамках модели «материальная точка».
Теперь рассмотрим более сложные модели и получение их законов движения и физических величин на базе аксиоматики Ньютона.
1. Математический маятник – модель, определяемая как материальная точка, подвешенная на невесомом стержне. При отклонении от вертикали маятник совершает движение, которое при небольших углах отклонения от вертикали (
) описывается функцией синусоидальной или косинусоидальной. Колебания математического маятника полностью описываются аксиоматикой Ньютона (см. т. 2).
2. Система материальных точек – целостный объект, состоящий из взаимодействующих между собой материальных точек. Относительно инерциальной системы отсчёта механическое поведение каждой материальной точки, входящей в систему, описывается законами Ньютона. Однако как целостный объект должен иметь системные свойства, т.е. свойства объекта как целого. При этом свойства объекта как целого надо постулировать и проверить на опыте.
Формализованные в языке математики свойства объекта как целого совместно с уравнениями Ньютона для каждой материальной точки системы позволяют найти уравнение движения целого объекта.
Пример. Рассмотрим совокупность трёх взаимодействующих материальных точек 
(рис. 5). Для каждой материальной точки справедливы законы Ньютона
Объединим точки 
и 
в систему. Постулируем, что импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов материальных точек, входящих в систему: 
. Проведём математические операции: 
. В нашем случае
.
Соответствующий физический закон имеет вид
.
В инерциальной системе отсчёта приращение импульса системы материальных точек равно импульсу приложенных к системе внешних сил. Внешние силы – силы, приложенные к системе со стороны материальных точек, не входящих в систему. Силы, действующие на материальные точки системы со стороны других материальных точек системы, называют внутренними. В данном примере силы 
являются внешними, силы 
‑ внутренними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
