11 (1106041)
Текст из файла
Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà 3Îáîðîòíûé ìàÿòíèê3.1Èçìåðåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ ïîìîùüþôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêàËàáîðàòîðíàÿ óñòàíîâêà, èñïîëüçóåìàÿ â äàííîé ðàáîòå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôèçè÷åñêèéìàÿòíèê, çàêðåïëåííûé íà øòàòèâå.Ðèñ. 3.1: Ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê êà÷åñòâå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà èñïîëüçóåòñÿ îäíîðîäíûé ñòàëüíîé ñòåðæåíü äëèíû L, íåñîäåðæàùèé äîïîëíèòåëüíûõ ãðóçîâ. Íà ñòåðæíå ìàññîé m çàêðåïëåíà îïîðíàÿ ïðèçìà, îñòðîåðåáðî êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îñüþ êà÷àíèÿ ìàÿòíèêà. Ïðèçìó ìîæíî ïåðåìåùàòü âäîëü ñòåðæíÿ,ìåíÿÿ òàêèì îáðàçîì ðàññòîÿíèå a îò òî÷êè îïîðû ìàÿòíèêà (îñè âðàùåíèÿ) O äî öåíòðà ìàññÑ (ðèñ. 3.1).
Ôèçè÷åñêèì ìàÿòíèêîì íàçûâàåòñÿ ëþáîå òâåðäîå òåëî, êîòîðîå ïîä äåéñòâèåìñèëû òÿæåñòè ìîæåò ñîâåðøàòü ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè. Íàèáîëååïðîñòî îïèñûâàåòñÿ ïëîñêîå äâèæåíèå ìàÿòíèêà âîêðóã ôèêñèðîâàííîé îñè.  òîì cëó÷àå,åñëè ìàÿòíèê ñîâåðøàåò íåñêîëüêî äåñÿòêîâ êîëåáàíèé áåç çàìåòíîãî çàòóõàíèÿ, ìîìåíòîì ñèëûòðåíèÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà çàïèñûâàåòñÿâ âèäå:Md2 φ=,(3.1)2dtJãäå J - ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ, φ - óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îòïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, d2 φ/dt2 - óãëîâîå óñêîðåíèå; t - âðåìÿ, M - ìîìåíò âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõíà ìàÿòíèê.
Åñëè ïðåíåáðå÷ü ìàññîé îïîðíîé ïðèçìû, ïî òåîðåìå Ãþéãåíñà-Øòåéíåðà ìîìåíòèíåðöèè ìàÿòíèêà â ýòîì ñëó÷àå ðàâåí ñóììå ìîìåíòà èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé÷åðåç öåíòð ìàññ (ïàðàëëåëüíî îñè âðàùåíèÿ) è ma2 :31mL2+ ma2 .12Ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè, äåéñòâóþùåé íà ìàÿòíèê:J=(3.2)M = −mga sin φ .(3.3)Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ M è J â (3.1), ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà â âèäå:φ̈ +gasin φ = 0 .a2 + L2 /12(3.4)Ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ sin φ ≈ φ (φ - â ðàäèàíàõ), òàê ÷òî (3.4) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó:φ̈ + ω 2 φ = 0 ,(3.5)ãäåω2 =ga.+ L2 /12a2(3.6)Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿφ(t) = A sin(ωt + α) .(3.7)Àìïëèòóäà êîëåáàíèé A è ôàçà α çàâèñÿò îò òîãî, êàê âîçáóæäàþòñÿ êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà,ò.å. íà÷àëüíûõ óñëîâèé çàäà÷è.
Íàïðèìåð, åñëè ìû îòêëîíèì ìàÿòíèê îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿíà óãîë φ0 , à çàòåì îòïóñòèì åãî, òî â íà÷àëüíûé ìîìåíòφ(0) = φ0 ,φ̇(0) = 0 .(3.8)Òîãäàφ(t) = φ0 cos ωt .(3.9)×àñòîòà êîëåáàíèé, ñîãëàñíî (3.6), çàâèñèò òîëüêî îò äëèíû ìàÿòíèêà L è ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êèïîäâåñà äî öåíòðà ìàññ a. Ïåðèîä êîëåáàíèé T = 2π/ω ðàâåí:sT = 2πa2 + L2 /12.ag(3.10)Êàê èçâåñòíî, ïåðèîä êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:sT = 2πl,g(3.11)ãäå l - äëèíà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ïîýòîìó âåëè÷èíóLnp = a + L2 /(12a)(3.12)íàçûâàþò ïðèâåäåííîé äëèíîé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Òî÷êó O', îòñòîÿùóþ îò òî÷êè îïîðûO íà ðàññòîÿíèå Lnp , íàçûâàþò öåíòðîì êà÷àíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òîòî÷êà îïîðû è öåíòð êà÷àíèÿ îáðàòèìû, ò.å. ïðè êà÷àíèè ìàÿòíèêà âîêðóã òî÷êè Î' ïåðèîäêîëåáàíèÿ äîëæåí áûòü òàêèì æå, êàê è ïðè êà÷àíèè âîêðóã òî÷êè Î.32Óòâåðæäåíèå, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà íå çàâèñèò íè îò ôàçû, íè îòàìïëèòóäû êîëåáàíèé, ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ êîëåáàíèé, ïîä÷èíÿþùèõñÿ óðàâíåíèþ (3.5).Îäíàêî äàæå ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì óãëå φ0 = 20o ïîïðàâêà ê T , çàâèñÿùàÿ îò íà÷àëüíîéàìïëèòóäû îòêëîíåíèÿ, ñîñòàâëÿåò ìåíåå 1%. Åñëè æå èññëåäîâàòü ðåøåíèå (3.14), â ñëåäóþùåìïîðÿäêå ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó φ ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ïåðèîäà, â êîòîðîì íàáëþäàåòñÿñëàáàÿ çàâèñèìîñòü îò àìïëèòóäû êîëåáàíèé:sT = 2πφ2a2 + L2 /12(1 + 0 ) .ag16(3.13)Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (3.4) ìû íå ó÷èòûâàëè âîçìîæíîãî çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé ìàÿòíèêàâñëåäñòâèå äåéñòâèÿ ñèë òðåíèÿ.Ïðîàíàëèçèðóåì ñíà÷àëà âëèÿíèå ñèëû òðåíèÿ äëÿìàëûõ àìïëèòóä êîëåáàíèé â (3.15) â ïðèáëèæåíèè "âÿçêîãî" òðåíèÿ, êîãäà èìååòñÿïðîïîðöèîíàëüíîñòü ìîìåíòà ñèë òðåíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ìàÿòíèêà.
Ýòî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþâ (3.5) äîïîëíèòåëüíîãî ñëàãàåìîãî γ φ̇:φ̈ + ω 2 φ + 2γ φ̇ = 0 ,(3.14)ãäå γ = const - êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ (â ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå îí îáû÷íî íàçûâàåòñÿêîýôôèöèåíòîì âÿçêîãî òðåíèÿ).  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå (3.14) áóäåò èìåòü âèä:φ(t) = φ0 e−γt cos(pω 2 − γ 2 t + const) .(3.15)Êàê âèäíî èç (3.15), êîëåáàíèÿ â ýòîì ñëó÷àå îêàçûâàþòñÿ íåïåðèîäè÷åñêèìè è ïðîèñõîäÿòñ ýêñïîíåíöèàëüíûì çàòóõàíèåì àìïëèòóäû, ïðè÷åì ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿêîýôôèöèåíòîì γ .  ðàìêàõ òàêîé ìîäåëè ïðîèñõîäèò óâåëè÷åíèå ïåðèîäà êîëåáàíèé ïîñðàâíåíèþ ñ (3.10), îäíàêî îí, òåì íå ìåíåå, îñòàåòñÿ íåçàâèñèìûì îò íà÷àëüíîé àìïëèòóäûîòêëîíåíèÿ:2πT =pω2 − γ 2.(3.16) ñëó÷àå "ñóõîãî" òðåíèÿ ñèëà òðåíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå (f ) íå çàâèñèò îò óãëà φ èíàïðàâëåíà ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ.
Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäåφ̈ + ω 2 φ = ±f ,(3.17)ãäå çíàê 0 +0 äëÿ îäíîãî íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ, à çíàê 0 −0 - äëÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî. Ëåãêîïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèåì (3.17) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (3.8), ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ, "ñêëååííàÿ" èçêóñêîâ êîñèíóñîèä ñ ïåðèîäîì (3.10), íî ñäâèíóòûõ ïî îñè àìïëèòóä íà ±f /ω 2 . Çàòóõàíèåàìïëèòóäû êîëåáàíèé â ýòîì ñëó÷àå ëèíåéíî, íà âåëè÷èíó f /ω 2 çà îäèí ïîëóïåðèîä.
 îòëè÷èåîò ïðåäûäóùåãî ñëó÷àÿ, ïðè "ñóõîì" òðåíèè êîëåáàíèÿ ïîëíîñòüþ çàòóõíóò çà êîíå÷íîå âðåìÿ. ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ, êàê ïðàâèëî, çàòóõàíèå êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñâÿçàíî ñíàëè÷èåì îáîèõ âèäîâ òðåíèÿ.333.2 Îïðåäåëåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðè ïîìîùèìàÿòíèêà ñ ãðóçàìè (Ìåòîä Áåññåëÿ)Ïðèìåíåíèå îáîðîòíîãî ìàÿòíèêà äëÿ èçìåðåíèÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ îñíîâàíî íàñâîéñòâå ñîïðÿæåííîñòè öåíòðà êà÷àíèÿ è òî÷êè ïîäâåñà. Ýòî ñâîéñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âîâñÿêîì ôèçè÷åñêîì ìàÿòíèêå ìîæíî íàéòè òàêèå äâå òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå ïî ðàçíûå ñòîðîíûîò öåíòðà ìàññ, ÷òî ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ïîäâåøèâàíèè ìàÿòíèêà çà îäíó è äðóãóþ èç íèõïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè îïðåäåëÿåòñîáîé ò.í.
ïðèâåäåííóþ äëèíó ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (3.12).Åñëè àìïëèòóäà êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ìàëà (ñì. (3.5)), ïåðèîä åãî êîëåáàíèéîïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:sT = 2πJ.mga(3.18)Îáîðîòíûå ìàÿòíèêè, ïðèìåíÿåìûå â ìåòîäå Áåññåëÿ, â çàâèñèìîñòè îò ïðåäúÿâëåííûõ êíèì òðåáîâàíèé èìåþò ñàìóþ ðàçíîîáðàçíóþ ôîðìó.
Îíè îáû÷íî ñîñòîÿò èç ìåòàëëè÷åñêîãîñòåðæíÿ, ïî êîòîðîìó ìîãóò ïåðåäâèãàòüñÿ è çàêðåïëÿòüñÿ â òîì èëè èíîì ïîëîæåíèè òÿæåëûåè ëåãêèå ãðóçû è îïîðíûå ïðèçìû. Ðàçëè÷íûå êîìáèíàöèè ãðóçîâ è èõ ïîëîæåíèé íà ñòåðæíåîòíîñèòåëüíî îïîðíûõ ïðèçì äàþò ðàçëè÷íûå òèïû îáîðîòíûõ ìàÿòíèêîâ.Ðèñ. 3.2: Îáîðîòíûé ìàÿòíèê äàííîé ëàáîðàòîðíîé ðàáîòå ïðèìåíÿåòñÿ îáîðîòíûé ìàÿòíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
3.2, âêîòîðîì èñïîëüçóþòñÿ äâà ãðóçà â ôîðìå ÷å÷åâèö. Íà ìåòàëëè÷åñêîì ñòåðæíå îïîðíûå ïðèçìûB1 è B2 æåñòêî çàêðåïëÿþòñÿ è íå ïåðåìåùàþòñÿ. Æåñòêî çàêðåïëåí è ãðóç Å, íàõîäÿùèéñÿìåæäó íèìè. Bòîðîé ãðóç D íàõîäèòñÿ íà êîíöå ñòåðæíÿ (íå ìåæäó ïðèçìàìè) è ìîæåòïåðåìåùàòüñÿ ïî ñòåðæíþ è çàêðåïëÿåòñÿ â íóæíîì ïîëîæåíèè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðèçìàìèl12 = a1 + a2 ïîñòîÿííî.
Äîïóñòèì, ÷òî íàì óäàëîñü íàéòè òàêîå ïîëîæåíèå ãðóçà D, ïðè êîòîðîìïåðèîäû êîëåáàíèé ìàÿòíèêà T1 è T2 îêîëî ïðèçì B1 è B2 ñîâïàëè, ò.e(3.19)T ≈ T1 ≈ T2 ,sT1 = 2πsJ1,mga1T2 = 2πJ2.mga2(3.20)Óñëîâèåì òî÷íîãî ðàâåíñòâà, î÷åâèäíî, áóäåò ÿâëÿòüñÿ ðàâåíñòâî ïðèâåäåííûõ äëèí, ò.å.ðàâåíñòâî âåëè÷èí J1 /ma1 è J2 /ma2 . Ïî òåîðåìå Ãþéãåíñà-Øòåéíåðà:34J1 = J0 + ma21 , J2 = J0 + ma22 ,(3.21)ãäå J0 - ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð ìàññïàðàëëåëüíî îñè êà÷àíèÿ.Èñêëþ÷àÿ èç (3.20)(3.21) J0 è m , ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ g :g=4π 2l12(a1 + a2 ) = 4π 2 2 .T2T(3.22)Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (3.22) ñëåäóåò èç (3.20)(3.21) ëèøü ïðè óñëîâèè, ÷òî a1 6= a2 .
Ïðèâûâîäå ôîðìóëû (3.22) ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî T1 ≈ T2 . Íà ñàìîì äåëå ïîëíîãî ðàâåíñòâàïåðèîäîâ äîáèòüñÿ íåâîçìîæíî. Òîãäà:sT1 = 2πsJ0 + ma21,mga1T2 = 2πJ0 + ma22.mga2(3.23)Èç ýòèõ ðàâåíñòâ èìååì:T12 ga1 − T22 ga2 = 4π 2 (a21 − a22 ) ,(3.24)l12a21 − a22= 4π 2 2 ,a1 T12 − a2 T22T0(3.25)îòêóäàg = 4π 2ãäåT02 =a1a1 T12 − a2 T22= T22 +(T1 + T2 )(T1 − T2 ) .a1 − a2a1 − a2(3.26)Ôîðìóëà (3.25) ñîîòâåòñòâóåò èçìåðåíèþ g ïî ìåòîäó Áåññåëÿ.Îöåíèì ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ g íà îñíîâàíèè (3.25).
Ïðåæäå, ÷åì ýòî ñäåëàòü, îöåíèì,êàê çàâèñèò ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà îò ðàññòîÿíèÿ a ìåæäó öåíòðîì ìàññ è îñüþ êà÷àíèÿ.Èç (3.20)(3.21):sT = 2πJ0 + ma2.mgaÐèñ. 3.3: Çàâèñèìîñòü ïåðèîäà êîëåáàíèé îò ïîëîæåíèÿ ÷å÷åâèöû íà ñòåðæíå35(3.27)Íà ðèñ. 3.3 èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü ïåðèîäà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäóöåíòðîì ìàññ è îñüþ êà÷àíèÿ. Ïðè ýòîì a = a1 ïðè îïîðå íà ïðèçìó B1 , è a = a2 ïðè îïîðåíà ïðèçìó B2 . Åñëè a → 0, òî T → ∞ êàê a−0.5 ; åñëè a → ∞, òî T → ∞, êàê a0.5 . Ïåðèîäìèíèìàëåí ïðè a2min = Jo/m.
Ïðè T > Tmin îäíî è òî æå çíà÷åíèå T äîñòèãàåòñÿ ïðè äâóõðàçíûõ çíà÷åíèÿõ a, îäíî èç êîòîðûõ áîëüøå, à äðóãîå ìåíüøå amin .Ýòè ðàçíûå çíà÷åíèÿ è áûëè èñïîëüçîâàíû â (3.20)(3.22). Êàê ÿñíî èç ãðàôèêà, ïðèèçìåíåíèè T âåëè÷èíû a1 è a2 ñáëèæàþòñÿ èëè óäàëÿþòñÿ äðóã îò äðóãà. Ïîãðåøíîñòüîïðåäåëåíèÿ T0 çàâèñèò îò ìîäóëÿ ðàçíîñòè |a1 −a2 |. Äåéñòâèòåëüíî, äèôôåðåíöèðóÿ âûðàæåíèåäëÿ T0 , íàïðèìåð, ïî T1 , è ïîëàãàÿ T2 íåèçìåííûì, íàéäåì ïîãðåøíîñòü T0 :δT0 =a1 T1δT1a1 − a2 T0(3.28)(çäåñü ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ðàññòîÿíèÿ a1 è a2 íàì òî÷íî èçâåñòíû).
Êîãäà a1 è a2 áëèçêè äðóãê äðóãó, çíàìåíàòåëü ôîðìóëû áëèçîê ê íóëþ, íî íè a1 , íè T1 ïðè ýòîì ê íóëþ íå ñòðåìÿòñÿ.Òîò æå âûâîä ñïðàâåäëèâ äëÿ ïåðåñ÷åòà ïîãðåøíîñòè δT2 â ïîãðåøíîñòü δT0 ïðè íåèçìåííîìT1 . Ïîýòîìó ðàñïîëîæåíèå îïîðíûõ ïðèçì îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ, çàäàâàåìîãî ïîëîæåíèåìãðóçîâ, ñëåäóåò âûáèðàòü òàê, ÷òîáû a1 è a2 ðàçëè÷àëèñü, ïî êðàéíåé ìåðå, â 1.5 ðàçà.Ìåòîä Áåññåëÿ íå ïðåäïîëàãàåò ñòðîãîãî ðàâåíñòâà ïåðèîäîâ, ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå íåòñìûñëà òðàòèòü âðåìÿ íà óòî÷íåíèå ýòîãî ðàâåíñòâà ïîñëå òîãî, êàê ïåðèîäû îêàçàëèñü ðàâíûäðóã äðóãó ñ ïîãðåøíîñòüþ íåñêîëüêèõ ïðîöåíòîâ.Çàìåòèì, íàêîíåö, ÷òî îòíîøåíèå a1 /a2 íå äîëæíî áûòü è ñëèøêîì áîëüøèì.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
