1 (1106031), страница 2
Текст из файла (страница 2)
величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси — функцию. В конце каждой оси указывают символ величины, десятичный множитель и единицу величины. При этом множитель 10"", как и в таблицах, позволяет опустить нули при нанесении делений, например, позволяет писать 1, 2, 3 ... вместо 0,001; 0,002 Н и т.д., указав в конце оси 10 ' Н, или мН. 2. Выбор интервалов. Интервалы изменения переменных на каждой оси выбирают иезаеисимо друг от друга так, чтобы график занял все поле чертежа. Для этого границы интервалов берут близкими к наименьшему и наибольшему из измеренных значений. Подчеркнем, что интервал на оси совсем не обязательно начинать с нуля. Нулевую точку помещают на график лишь в том случае, если она близка к экспериментально исследованной области (рис.
1) или если необходима экстраполяция на нулевое значение. 11 3. Выбор масштабов и шкал. Масштаб должен быть простым и удобным для нанесения точек и чтения графика. Предпочтительнее масштабы, в которых за единицу масштаба принимают отрезок оси, кратный 10 или 50 мм, что позволяет легко отсчитывать доли отрезка. Такому отрезку соотносят "круглое" число (1, 2, 5) единиц измеряемой величины (см. табл.
2). Деления шкалы на каждой оси подбирают независимо, в соответствии с масштабом, причем, надписи делений наносят вдоль всей оси. Чтобы шкала легче читалась, достаточно указать на ней от 3 до 5 делений с числами. Таблица 2 У х = — ,'„х;; (7) У; 1 где Ф вЂ” число опытных точек на графике. 6. Заголовок "рафика — это названиие изучаемой зависимости, в котором поясняют символы переменных, указанные в конце осей (не принято писать в названии слово "график"). При необходимости в названии поясняют обозначения 12 У У = ХУ~' 1=1 4, Нанесение точек. Опытные данные наносят на поле графика в виде четких значков, не подписывая их численные значения — они даны в таблице. Разные значки (светлые и темные кружки, треугольники и др.) используют для обозначения данных, относящихся к различным условиям опыта.
5. Проведение экспериментальной кривой. Кривую проводят плавной непрерывной линией. Такой характер типичен для физических зависимостей, Опытную кривую проводят так, чтобы точки располагались равномерно по обе стороны кривой и как можно ближе к ней. Если вид зависимости известен из теории, то проводят эту теоретическую кривую. В случае линейной зависимости прямую проводят через среднюю точку (на рис. 2 она в рамке), координаты которой вычисляют по формулам: опытных точек и кривых. Заголовок принято располагать выше графика либо под графиком. Примеры заголовков 1. Зависимость углового ускорения а маятника от момента силы М (о — для шкива радиуса г!, ° — для г2) (работа № 3). 2. Зависимость избыточного давления в баллоне р от времени ~ истечения воздуха (в работе № 10). 3.2. Определение параметров линейной зависимости Для определения параметров опытной прямой обычно используют один из двух распространенных методов: 1) приближенный метод, использующий отсчитанные по шкале графика отрезки; 2) статистический метод наименьших квадратов (МНК).
Рассмотрим первый из этих методов. Пусть измеренные величины х и у связаны линейной зависимостью вида у —— Кх + Ь и нужно определить ее параметры К и Ь. Простейший метод состоит в следующем. Опытные точки наносят на график и проводят прямую линию, руководствуясь правилами построения у„- ! графика (п. 5). На концах проведенной ! ! линии выбирают две произвольные ~Л„ точки а и Ь, удобные для отсчета ин- (х,у) !~Ь- У) тервалов (хд- х,) и (ув — у,). Заметим, что точность расчета У хо ха величины К тем выше, чем дальше ! ! тачки а и Ь друг от друга. Для сниже! ! ния погрешности отсчета по графику и ! для простоты расчета значения К удоб- Х,.
но точку а взять на одной из осей, а Рис. 2. Определение параметров точку Ь вЂ” так, чтобы отрезок (хд — х„) вы- линейной зависимости ражался целым числом. Среднее значение углового коэффициента К Уб Уа (8) хб ха Параметр Ь линейной зависимости находят по графику как ординату точки пересечения прямой с осью у, если ось х начинается с нуля. Можно найти величину Ь и по уравнению прямой, подставляя координаты средней точки графика: Ь=у — Кх. (9) 13 3.3. Оценка случайной погрешности по графику Случайная погрешность является результатом действия ряда случайных факторов, как зависящих, так и не зависящих от экспериментатора: загрязнение подшипников установки, разное растяжение нити на различных участках и в раз- ных опытах, умение включить секундомер одновременно с началом движения и выключить его в нужный момент, умение устанавливать одинаковые начальные условия опыта (наматывая нить на шкив в один слой) и т.
п. Действие этих факто- ров проявляется в том, что экспериментальные точки на графике имеют опреде- ленный "разброс", причем, тем больший, чем больше случайная погрешность опыта. Эта погрешность практически всегда значительно больше систематиче- ской. Поэтому относительная погрешность дк углового коэффициента К, най- денного по графику, дает относительную погрешность измеряемой величины, рас- считываемой по значению К. Простейшая оценка погрешностей выполняется следующим образом.
1. По графику (см. рис. 2) определяют величины: Л вЂ” отклонение наиболее удаленной от прямой точки, (Уь — У~) — интеРвал, на котоРом сДеланы измеРениЯ (длина оси У), 2, Абсолютная случайная погрешность параметра о (в единицах измерения ве- личины у) 3. Для углового коэффициента прямой К сначала вычисляют относительную погрешность: (10) ЛА = А ~УЛ00%, дает доверительный интервал для измеряемой величины А: А = А + Л А, Р = 1 — (1/2) (12) Ок = 100%. Лу (1 1) (У~~~ У1) Эта формула удобна тем, что в ней используется отношение величин одной размерности, Поэтому их можно измерить в любых единицах (проще всего в миллиметрах по оси у).
Напомним, что в погрешности имеет значение обычно одна цифра, а потому достаточная точность измерения отрезка (у~-у~) — "круглое число", например, 100 или 120 мм. 4. Относительная погрешность измеряемой величины, рассчитываемой по значению К, часто совпадает с найденной выше 4 Тогда для этой измеряемой величины, например А, имеем 4=4, а ее абсолютная погрешность, вычисленная по формуле 4.
Статистическая об аботка и ямых изме еиий 4.1. Доверительный интервал н доверительная вероятность При проведении серии измерений результаты отдельных измерений х, расположатся вблизи неизвестного истинного значения х так, что их отклонения в сторону больших или меньших значений будут равновероятны.
При этом наилучшим приближением к истинному значению является среднее арифметическое х из М измерений: (14) Результат измерения принято указывать в виде до в е р и те л ь н о го интервала значений измеряемой величины, в пределах которого с определенной вероятностью находится истинное значение х (см. формулу 1). Для доверительного интервала обязательно указывают количественную характеристику его достоверности — доверительную вероятность Р.
Под вероятностью обычно понимают отношение количества опытов, дающих указанный в интервале результат, к общему числу проведенных опытов, либо вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится внутри доверительного интервала, вблизи полученного среднего значения. Распространенный способ записи результата измерений с помощью доверительного интервала х=х+а, (15) где о — среднее квадратическое отклонение (СКО).
Случайная составляющая величины СКО рассчитывается по формуле ,' (х; — х) ж(ж — 1) Этой случайной погрешности при большом числе измерений У соответствует доверительный интервал (16) с вероятностью Р=0,68. Из формулы (16) видно, что рост числа измерений Ж ведет к снижению погрешности результата о. Однако увеличивать число измерений для повышения точности результата имеет смысл до тех пор, пока случайная погрешность, связанная с разбросом опытных данных, велика по сравнению с систематической (приборной) составляющей СКО, которая равна ст~Л51= 1/3 Л5 .
Если преобладает приборная погрешность, то повторные измерения дадут один и тот же результат. В этом случае делают 2 — 3 измерения, чтобы убедиться в отсутствии промаха и малости случайной погрешности, и указывают только систематическую составляющую СКО. 4.2. Коэффициент Стьюдента Величина СКО удобна тем, что с ее помощью можно найти границу доверительного интервала Л с желаемой доверительной вероятностью Р. Для этого используется соотношение Л=ст гР у, ~17) где ~р ~, — коэффициент Стьюдента. Значения ~р~ приведены в табл. 3 и определяются как доверительной вероятностью Р, так и числом проведенных измерений М.
Таблица 3 Коэффициенты Стэюцен та Э~, Доверительная вероятность Р Число из- мерений 0,95 0,99 О,бО 0,70 0,80 0,90 0,50 12,7 б3,5 1э38 2,01 3,1 1,00 1,9 1,0б 1,31 0,82 4,3 0,98 1,25 0,77 1,21 2,8 1,5 0,94 2,1 0,92 1,20 0,73 2,0 2,4 3,7 0,90 1,12 0,72 1,9 0,90 1,11 1,4 0,71 3,4 1,4 0,88 1,11 1,9 0,70 1,3 1,6 0,84 1,01 2,0 О,б7 Пример. В серии из 5 измерений времени ~ секундомером с ценой деления С=0,2 с получены значения: 28,5; 28,3; 28,0; 28,9; 28,3 с. Рассчитаем доверительный интервал с доверительной вероятностью Р=0,95.
Для этого найдем среднее 5 значение г = — , 'г; = 28,40 с. 5 ~=1 5 „(х; — х)2 Его среднее квадратическое отклонение ст = — =- — = 0,15 с. 5.4 1 Систематическая составляющая величины СКО ~т~Л ~ ~ = — С = 0,07с. 3 где Л~ = С-систематическая погрешность, равная цене деления ( С=О,2 с). Затем для Р=0,95 и %=5 из табл. 3 найдем коэффициент Стьюдента гр,~ = 2,8 и рассчитаем Л, =о гР1 — -0,15с.2,8=0,4 с. Результат измерения запишем в следующем виде: г = (28,4+ 0,4) с; Р=0,95.
Другой менее употребительный вариант записи: г=28,4 с; Л,=0,4 с; Р=0,95. 16 4.3. Статистическая оценка случайной погрешности прямых измерений О причинах появления случайной погрешности и ее природе отмечалось ранее (с. 8). К этому необходимо добавить следующее. Начинающий экспериментатор обычно списывает с индикатора цифрового прибора результат измерения, указывая в нем 4 — 5 значащих цифр. Однако несмотря на применение точных приборов, например, электронного секундомера„ который в сочетании с фотоэлементами позволяет с высокой точностью фиксировать моменты начала и окончания движения, измерение времени содержит значительную случайную погрешность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
