А.В. Михалёв - Лекции по высшей алгебре (1106006), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. …᫨ N = pn ¨ n > 0, â® ¢ ¯®«¥ L å à ªâ¥à¨á⨪¨ P ¬­®£®ç«¥­ f (x) = xN − x ­¥¨¬¥¥â ªà â­ëå ª®à­¥©.„®ª § ⥫ìá⢮. ’ ª ª ª f (x) = x(xN −1 − 1), â® 0 ­¥ ï¥âáï ªà â­ë¬ ª®à­¥¬ (â. ¥. ªà â­®á⨠1).…᫨ aN = a ¤«ï 0 6= a ∈ L, ⮇ ¬¥ç ­¨¥‹¥¬¬ ’¥®à¥¬ f (x) = xN − x = xN − aN − x + a = (x − a)N − (x − a) = (x − a)((x − a)N −1 − 1),â. ¥. ªà â­®áâì ª®à­ï a à ¢­ 1.’¥®à¥¬ .„«ï «î¡®£® ¯à®á⮣® ç¨á« p ¨ ­ âãà «ì­®£® ç¨á« n ∈ N áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¥ L,ᮤ¥à 饥 N = pn í«¥¬¥­â®¢.„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì N = pn .  áᬮâਬ ¬­®£®ç«¥­ xN − x ∈ Zp [x].

‚ ᨫã â¥®à¥¬ë ® ¯®«¥à §«®¥­¨ï áãé¥áâ¢ã¥â à áè¨à¥­¨¥ ¯®«¥¬ K = Zp ⊆ L′ â ª®¥, çâ® ¢ ª®«ìæ¥ ¬­®£®ç«¥­®¢ L′ [x]¬­®£®ç«¥­ xN − x à §« £ ¥âáï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ «¨­¥©­ëå ¬­®¨â¥«¥©:xN − x = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − aN ).’ ª ª ª ¬­®£®ç«¥­ xN − x ­¥ ¨¬¥¥â ªà â­ëå ª®à­¥©, â® ¢á¥ í«¥¬¥­âë a1 , a2 , . . . , aN à §«¨ç­ë.DZ®ª ¥¬, çâ® ¬­®¥á⢮ L = {a1 , . . .

, aN } ¢á¥å ª®à­¥© ¬­®£®ç«¥­ xN − x ï¥âáï ¯®¤¯®«¥¬ ¢¯®«¥ L′ , â. ¥. L — ¨áª®¬®¥ ¯®«¥, á®áâ®ï饥 ¨§ N = pn í«¥¬¥­â®¢.„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ a, b ∈ L, â® aN = a ¨ bN = b, ¯®í⮬ã:1) (a + b)N = aN + bN = a + b, â. ¥. a + b ∈ L;2) (−a)N = (−1)N aN = −a ¤«ï p 6= 2, â. ¥. −a ∈ L; ¥á«¨ ¥ p = 2, â® (−a)N = aN = a = −a, â. ¥.−a ∈ A;3) (ab)N = aN bN = ab, â. ¥. ab ∈ L;4) ¤«ï a 6= 0 ¨¬¥¥¬ (−a)N = (aN )−1 = a−1 , â. ¥. a−1 ∈ L.ˆâ ª, L — ¨áª®¬®¥ ¯®«¥ ¨§ N = pn í«¥¬¥­â®¢. *. „®ª § âì, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ ¯®«ï ¨§ pn í«¥¬¥­â®¢“¯à ­¥­¨¥€«£¥¡àë ­ ¤ ¯®«¥¬¨§®¬®àä­ë.DZਬ¥à «£¥¡à ¬­®£®ç«¥­®¢, «£¥¡à ¬ âà¨æ ¨ «£¥¡à ®¯¥à â®à®¢, â ª¥ £à㯯®¢®© «£¥¡àë,¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¡áâà ªâ­®¥ ¯®­ï⨥ «£¥¡àë ç१¢ëç ©­® ¯®«¥§­® ¢ «£¥¡à¥.20‹¥ªæ¨ï 13http://mmresource.nm.ru/Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. DZãáâì K — ¯®«¥. DZ®¤ «£¥¡à®© ­ ¤ ¯®«¥¬ K (K- «£¥¡à®©) ¯®­¨¬ ¥âáï á«¥¤ãîé ï áâàãªâãà :1) ª®«ìæ® R;2) «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ R ­ ¤ ¯®«¥¬ K (â.

¥. (k1 + k2 )r = k1 r + k2 r, k(r1 + r2 ) = kr1 + kr2 ,(k1 k2 )r = k1 (k2 r), 1r = r ¤«ï ¢á¥å k1 , k2 , k, 1 ∈ K, r, r1 , r2 ∈ R);3) k(rs) = (kr)s = r(ks) ¤«ï ¢á¥å k ∈ K, r, s ∈ R.€«£¥¡à R ­ ¤ ¯®«¥¬ K ­ §ë¢ ¥âáï ª®­¥ç­®¬¥à­®©, ¥á«¨ ª®­¥ç­®¬¥à­® «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮K R.‡ ¬¥ç ­¨¥.

…᫨ R — K- «£¥¡à á 1, â® K ∼= K · 1 ⊆ Z(R),„®ª § ⥫ìá⢮. 1) Š ­®­¨ç¥áª®¥ ®â®¡à ¥­¨¥ ∆ : K → K · 1 ⊆ R, ¯à¨ ª®â®à®¬ ∆(k) = k · 1¤«ï k ∈ K, ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬. ’ ª ª ª K 6= Ker ∆ ⊳ K ¨ K — ¯®«¥, â® Ker ∆ = 0, â. ¥.∆ — ¨§®¬®à䨧¬.2) ‚ ᨫã 3) ¤«ï k ∈ K ¨ r ∈ R ¨¬¥¥¬:(k1)r = k(1r) = kr = k(r1) = k(r1) = r(k1),â. ¥.

k1 ∈ Z(R) (§¤¥áì Z(R) — 業âà ª®«ìæ R).DZਬ¥àë «£¥¡àDZਬ¥à 1. Š®«ìæ® ¬­®£®ç«¥­®¢ K[x1, . . . , xn] ­ ¤ ¯®«¥¬ K ï¥âáï K- «£¥¡à®©.DZਬ¥à 2. Š®«ìæ® (n × n)-¬ âà¨æ Mn(K) ­ ¤ ¯®«¥¬ K ï¥âáï K- «£¥¡à®©.DZਬ¥à 3. …᫨ K — ¯®«¥ ¨ K V — «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, â® ª®«ìæ® «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ï¢«ï¥âáï K- «£¥¡à®© (¥á«¨ dim K V’¥®à¥¬ .Z(End K V ) = K · 1r .1) …᫨ k ∈ K,„®ª § ⥫ìá⢮.End K V = {A : K V → K V }= n,â® End K V∼= Mn (K)).â® ïá­®, çâ® k · 1r ∈ Z(End K V ), ¯®áª®«ìªã[(k · 1r )A](x) = kA(x) = A(kx) = [A(k · 1r )](x)¤«ï k ∈ K, A ∈ End K V , x ∈ K V .2) …᫨ A ∈ Z(End K V ), â® ¤«ï «î¡®£® l ∈ K V á¨á⥬ {l, A(l)} «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ . „¥©á⢨⥫쭮, ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ {l1 = l, l2 = A(l)} — «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ ï á¨á⥬ , â® áãé¥áâ¢ã¥â®¯¥à â®à B ∈ End K V â ª®©, çâ® B(l) = 0 ¨ B(A(l)) 6= 0.

’®£¤ A(B(l)) = 0, â. ¥. AB 6= BA, ç⮯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® A ∈ Z(End K V ).“⢥थ­¨¥ ¢ á«ãç ¥ dim K V = 1 ®ç¥¢¨¤­®, ¯ãáâì dim K V ≥ 2, {e1, e2 } — «î¡ ï «¨­¥©­®­¥§ ¢¨á¨¬ ï á¨á⥬ . ’®£¤ A(e1 ) = λ1 e1 , A(e2 ) = λ2 (e2 ) ¨A(e1 + e2 )=kA(e1 ) + A(e2 ) =á«¥¤®¢ ⥫쭮, λ1 = λ3 = λ2 , â. ¥. A = λ1r .λ3 (e1 + e2 )λ1 e1 + λ2 e2 ,DZਬ¥à 3.‡ ¬¥ç ­¨¥.

…᫨ a ∈ U (R) (â. ¥. a — ®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥­â, a−1 — ¥£® ®¡à â­ë©) ¨ ba = ab ¤«ï−1−1b ∈ R,â® ba=a„®ª § ⥫ìá⢮.b.a−1 b = a−1 baa−1 = a−1 aba−1 = ba−1 .21‹¥ªæ¨ï 13http://mmresource.nm.ru/‹¥¬¬ . …᫨ R — ⥫®, ç⮠業âà Z(R) = {c ∈ R|cr = rc∀r ∈ R} ï¥âáï ¯®«¥¬, ¨ ¯®í⮬ã⥫® R ï¥âáï Z(R)- «£¥¡à®©.„®ª § ⥫ìá⢮. Ÿá­®, çâ® Z(R) — ª®¬¬ãâ ⨢­®¥ ¯®¤ª®«ìæ® á 1 ¢ R. …᫨ 0 6= a ∈ Z(R), â®a ∈ U (R) ¨ ab = ba ¤«ï ¢á¥å b ∈ R. DZ®í⮬ã ba−1 = a−1 b ¤«ï ¢á¥å b ∈ R. DZ®í⮬ã ba−1 = a−1 b ¤«ï¢á¥å b ∈ R, â. ¥. a−1 ∈ Z(R).

ˆâ ª, Z(R) — ¯®«¥. . …᫨ R — ⥫® ¨ dim Z(R) R < ∞, â® dim Z (R)R ï¥âáï ª¢ ¤à ⮬. …᫨ K —¯®¤¯®«¥ ¯®«ï L, â® L ï¥âáï K- «£¥¡à®©.P4. DZਬ¥à G — ª®­¥ç­ ï £à㯯 , K — ¯®«¥, KG = { kg g|g ∈ G, kg ∈ K} —ᮢ®ªã¯­®áâì ä®à¬ «ì­ëå «¨­¥©­ëå ª®¬¡¨­ 権 í«¥¬¥­â®¢ £à㯯ë G á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¨§ ¯®«ïK (â. ¥. íâ® «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¡ §¨á®¬ ª®â®à®£® ïîâáï í«¥¬¥­âë £à㯯ë G), ¯à¨ í⮬㬭®¥­¨¥, § ¤ ­­®¥ ­ ¡ §¨á¥ (â.

¥. ¢ £à㯯¥ G) ¯à®¤®«¥­® ¯® ¤¨áâਡã⨢­®á⨠­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥‡ ¤ ç DZਬ¥à«¨­¥©­ëå ª®¬¡¨­ 権Xkg gXlg g =XX(lu lv )h.u,vŒë ¯®«ãç ¥¬ K- «£¥¡àã, ­ §ë¢ ¥¬ãî £à㯯®¢®© «£¥¡à®© £à㯯ë G ­ ¤ ¯®«¥¬ K.‡ ¬¥ç ­¨¥. Š®­áâàãªæ¨ï â ª¥ ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ ¤«ï «î¡®© £à㯯ë G, ¢ í⮬ á«ãç ¥à áᬠâਢ îâáï ä®à¬ «ì­ë¥ ª®¬¡¨­ 樨 «¨èì ª®­¥ç­ëå ­ ¡®à®¢ í«¥¬¥­â®¢ £à㯯ë G.DZ®¤ «£¥¡àë ¨ ¨¤¥ «ë K- «£¥¡à…᫨ R — K- «£¥¡à ­ ¤ ¯®«¥¬ K, â® ¯®¤ «£¥¡à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¯®¤ª®«ìæ® ¨ «¨­¥©­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ K R, ­ «®£¨ç­®, ¯®¤ ¨¤¥ «®¬ K- «£¥¡àë R ¯®­¨¬ ¥âáï ¨¤¥ « ª®«ìæ R, ïî饥áï «¨­¥©­ë¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ¢ K R.

…᫨ R ¨ S — K- «£¥¡àë, â® ®â®¡à ¥­¨¥ f : R → S­ §ë¢ ¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ K- «£¥¡à, ¥á«¨ f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b), f (ka) = kf (a)¤«ï a, b ∈ R, k ∈ K (â. ¥. f — £®¬®¬®à䨧¬ ª®«¥æ, 㢫¥ª î饥áï «¨­¥©­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬).Ÿá­®, çâ® Ker f — ¨¤¥ « K- «£¥¡àë R, Im f — ¯®¤ «£¥¡à K- «£¥¡àë S.…᫨ I — ¨¤¥ « K- «£¥¡àë R, â® ä ªâ®àª®«ìæ® R/I ï¥âáï K- «£¥¡à®©, ¯à¨ í⮬ ª ­®­¨ç¥áª¨© £®¬®¬®à䨧¬ π : R → R/I ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ K- «£¥¡à.Š®¬¡¨­ 樥© â¥®à¥¬ë ® £®¬®¬®à䨧¬¥ ¤«ï ª®«¥æ ¨ ¤«ï «¨­¥©­ëå ¯à®áâà ­á⢠ï¥âáï ⥮६ ® £®¬®¬®à䨧¬¥ ¤«ï K- «£¥¡à.’¥®à¥¬ ® £®¬®¬®à䨧¬¥ ¤«ï «£¥¡à().

DZãáâì f : R → S — áîàꥪ⨢­ë© £®¬®¬®à䨧¬K- «£¥¡à ­ ¤ ¯®«¥¬ K. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­á⢥­­ë© ¨§®¬®à䨧¬ K- «£¥¡à ψ : R/ Ker f → S,¤«ï ª®â®à®£® ψπKer f = f .«¥¬¥­âë «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ ¨ ¬ ªá¨¬ «ì­ë¥ ¨¤¥ «ë ¢ ª®«ìæ¥ C[x1 , . . . , xn ] (ã¯à ­¥­¨ï).DZãáâì C — ¯®«¥ ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥«. DZ®¤¬­®¥á⢮ V = V (f1 , . . . , fr ) ¢ ª®¬¯«¥ªá­®¬n-¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ áâப Cn , á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ®¡é¨å ­ã«¥© ª®­¥ç­®£® ç¨á« ¬­®£®ç«¥­®¢f1 , . . . , fr ∈ C[x1 , . . . , xn ], ­ §ë¢ ¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¬­®£®®¡à §¨¥¬ (â.

¥. ¥á«¨ (k1 , . . . , kn ) ∈ Cn ,â® (k1 , . . . , kn ) ∈ V ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ fi (k1 , . . . , kn ) = 0 ¤«ï ¢á¥å i = 1, . . . , r).DZਬ¥àë. 1) Š ¤ ï â®çª (k1 , k2) ∈ C2 ï¥âáï ¬­®£®®¡à §¨¥¬, ¨¬¥­­® {(k1, k2)} = V (x1 −k1 , x2 − k2 ).2) Œ­®¥á⢮à¥è¥­¨© «¨­¥©­®£® ãà ¢­¥­¨ï ax1 + bx2 + c = 0 (â. ¥. ª®¬¯«¥ªá­ ï ¯àï¬ ï ¢ C 2 )ï¥âáï ¬­®£®®¡à §¨¥¬.3) ‘¯¥æ¨ «ì­ ï «¨­¥©­ ï £à㯯 SL2 (C) ï¥âáï ¬­®£®®¡à §¨¥¬ ¢ C4 (ª ª ¬­®¥á⢮ à¥è¥­¨©¯®«¨­®¬¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï x11 x22 − x12 x21 − 1 = 0).–¥«ì á«¥¤ãî饩 â¥®à¥¬ë ƒ¨«ì¡¥àâ ® ­ã«ïå (Nullstellensatz): ãáâ ­®¢¨âì ᮮ⢥âá⢨¥ ¬¥¤ã¬ ªá¨¬ «ì­ë¬¨ ¨¤¥ « ¬¨ ª®«ìæ ¬­®£®ç«¥­®¢ C[x1 , . .

. , xn ] ¨ â®çª ¬¨ ¢ Cn , â ª¥ á¢ï§ âì «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¬­®£®®¡à §¨ï á ä ªâ®àª®«ìæ ¬¨ ª®«ìæ ¬­®£®ç«¥­®¢.22‹¥ªæ¨ï 13http://mmresource.nm.ru/’¥®à¥¬ . DZãáâì f1, . . . , fr ∈ C[x1, . . . , xn] ¨ Vá¨á⥬®© «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨©= V (f1 , . . . , fr ) —¬­®£®®¡à §¨¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥f1 (x1 , . . .

, xn ) = 0...fr (x1 , . . . , xn ) = 0.DZãáâì I = (f1 , . . . , fr ) — ¨¤¥ « ª®«ìæ C[x1 , . . . , xn ], ¯®à®¤ñ­­ë© ¬­®£®ç«¥­ ¬¨ f1, . . . , fr . ’®£¤ ¬ ªá¨¬ «ì­ë¥ ¨¤¥ «ë ä ªâ®àª®«ìæ R = C[x1 , . . . , xn ]/I ­ 室ïâáï ¢ ¡¨¥ªâ¨¢­®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ áâ®çª ¬¨ ¬­®£®®¡à §¨ï V .„®ª § ⥫ìá⢮. Œ ªá¨¬ «ì­ë¥ ¨¤¥ «ë ä ªâ®àª®«ìæ R = C[x1 , .

. . , xn ]/I ᮮ⢥âáâ¢ãîâ (¯®â¥®à¥¬¥ ® £®¬®¬®à䨧¬ å) ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ ¨¤¥ « ¬ J ¢ C[x1 , . . . , xn ], ᮤ¥à 騬 ¨¤¥ « I, çâ®à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® J ᮤ¥à¨â ®¡à §ãî騥 f1 , . . . , fr ¨¤¥ « I.„«ï ª ¤®© â®çª¨ a = (k1 , . . . , kn ) ∈ Cn à áᬮâਬ áîàꥪ⨢­ë© £®¬®¬®à䨧¬∆C[x1 , . . . , xn ] →a C,¤«ï ª®â®à®£®∆a (f (x1 , . .

. , xn )) = f (k1 m . . . , kn ). Ÿá­®, çâ® Ker ∆a = Ia = {f (x1 , . . . , xn ) ∈C[x1 , . . . , xn ]|f (a) = 0}. DZ® ⥮६¥ ® £®¬®¬®à䨧¬¥, C[x1 , . . . , xn ]/Ia ∼= C, ¨ ¯®í⮬ã Ia — ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ¨¤¥ « ¢ C[x1 , . . . , xn ].. Š ¤ë© ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ¨¤¥ « ¢ C[x1 , . . .

, xn ] ¨¬¥¥â ¢¨¤ Ia , â. ¥.“¯à ­¥­¨¥max Spec C[x1 , . . . , xn ] = Cn .„ «¥¥, fi ∈ Ia ¤«ï i = 1, . . . , r ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ fi(a) = 0, i = 1, 2, . . . , r, â. ¥. a ∈V (f1 , . . . , fr ).. DZãáâì f1 , . . . , fr , g ∈ C[x1 , . . . , xn ], V = V (f1 , . . . , fr ), I = (f1 , . .

Характеристики

Список файлов лекций