А.В. Михалёв - Лекции по высшей алгебре (1106006), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

¥. π2 = π.2) …᫨ m ∈ M , â®m = π(m) + (m − π(m)).’ ª ª ª π(m−π(m)) = π(m)−π2 (m) = π(m)−π(m) = 0, â® m−π(m) ∈ Ker π, â. ¥. M = Im π +Ker π.…᫨ ¥ m ∈ Im π ∩ Ker π, â® π(m) = 0 ¨ m = π(x) ¤«ï ­¥ª®â®à®£® x ∈ M . DZ®í⮬ã m = π(x) =π 2 (x) = π(π(x)) = π(m) = 0, â. ¥. Im π ∩ Ker π = 0. ‹¨­¥©­ë¥ (ª®­¥ç­®¬¥à­ë¥) ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯.DZãáâì G — £à㯯 , K — ¯®«¥, K V — «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤ ¯®«¥¬ K, Aut K V — £à㯯 ®¡à ⨬ëå «¨­¥©­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠K V (§ ¬¥â¨¬, çâ® Aut K V ∼= GLn (K)¤«ï n = dim K V ). ƒ®¬®¬®à䨧¬ £à㯯 ρ : G → Aut K V ­ §ë¢ ¥âáï «¨­¥©­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬£à㯯ë G ­ ¤ ¯®«¥¬ K (â. ¥.

ρ(g) : K V → K V — ®¡à ⨬®¥ «¨­¥©­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥, ρ(g1 , g2 ) =ρ(g1 )ρ(g2 ) ¤«ï ¢á¥å g1 , g2 ∈ G). DZ।áâ ¢«¥­¨¥ ρ ­ §ë¢ ¥âáï â®ç­ë¬, ¥á«¨ Ker ρ = {1G }.DZਬ¥à 1. DZ।áâ ¢«¥­¨¥ ρ, ¤«ï ª®â®à®£® ρ(g) = 1V ¤«ï ¢á¥å g ∈ G ­ §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ì­ë¬.32‹¥ªæ¨ï 15http://mmresource.nm.ru/DZਬ¥à2. …᫨ K V = K[x1 , . . . , xn ], dim K V = ∞, G = Sn , ρ(σ)(f (x1 , . . .

, xn )) =f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) ¤«ï σ ∈ Sn , f (x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ], â® ρ — ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ (¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¥) £àã¯¯ë ¯®¤áâ ­®¢®ª Sn .Œ âà¨ç­ë© ï§ëª ¤«ï «¨­¥©­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© £à㯯.…᫨ {e1 , . . . , en } — ¡ §¨á «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠K V , â® Aut K V ∼= GLn (K), ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬£®¬®¬®à䨧¬ £à㯯 ρ : G → GLn (K) (¥á«¨ {e′1, . . . , e′n} — ¤à㣮© ¡ §¨á á ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤ C,⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 £®¬®¬®à䨧¬ ρ′ : G → GLn (K) á¢ï§ ­ á ρ á«¥¤ãî騬 ᮮ⭮襭¨¥¬ ρ′ (g) =C −1 ρ(g)C ¤«ï ¢á¥å g ∈ G).‹¨­¥©­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯 ª ª ¬®¤ã«¨ ­ ¤ £à㯯®¢®© «£¥¡à®©.P…᫨ G — (ª®­¥ç­ ï)as s},£à㯯 , K — ¯®«¥, â® à áᬮâਬ £à㯯®¢ãî K- «£¥¡àã KG, KG = {a =s∈Gab =Xas ss∈G=Xs∈GXat bt−1 st∈G!!Xs∈Gbs s!=X Xs=at bu  s,s∈Gt,u∈Gtu=sïî饩áï áá®æ¨ ⨢­®© K- «£¥¡à®©.

…᫨ e — ¥¤¨­¨æ £à㯯ë G, â® 1e — ¥¤¨­¨æ K- «£¥¡àëKG. Žâ®¡à ¥­¨ï k → ke ¤«ï k ∈ K ¨ g → 1g ¤«ï g ∈ G ®áãé¥á⢫ïîâ ¢«®¥­¨ï ¯®«ï K ¨£à㯯ë G ¢ £à㯯®¢ãî «£¥¡àã KG.‡ ¬¥ç ­¨¥ 1. ƒà㯯®¢ ï «£¥¡à KG ª®¬¬ãâ ⨢­ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª®¬¬ãâ ⨢­ £à㯯 G.‡ ¬¥ç ­¨¥ 2.I={Xas s|s∈GXas = 0} —¤¢ãáâ®à®­­¨© ¨¤¥ « £à㯯®¢®© «£¥¡àë KG (­ §ë¢ ¥¬ë© äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¬), ¯à¨ í⮬ KG/I ∼=K.PPPPPas (gs), ( as s)g =as (sg). …᫨ ∆ : KG → K, ∆( as s) =P „¥©á⢨⥫쭮, g( as s) =as , â® ∆ — £®¬®¬®à䨧¬ K- «£¥¡à, Ker ∆ = I — äã­¤ ¬¥­â «ì­ë© ¨¤¥ «, ¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ®£®¬®¬®à䨧¬¥:KG/I ∼= K.”㭪樮­ «ì­ ï ¨­â¥à¯à¥â æ¨ï í«¥¬¥­â®¢ £à㯯®¢®© «£¥¡àë.«¥¬¥­â a =bPs∈GP¬®­® à áᬠâਢ âì ª ª äã­ªæ¨î a : G → K, a(s) = as ¤«ï s ∈ G. …᫨bs s, b(s) = bs , â® à áᬮâਬ á¢ñàâªã ä㭪権 ­ £à㯯¥ Gas ss∈G(a ∗ b)(s) =Xa(t)b(t−1 s).t∈G’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¨¤¨¬, çâ® KG = K G, £¤¥ K G = {a : G → K} — á ®¯¥à æ¨ï¬¨ á«®¥­¨ï ¨ á¢ñà⪨.‡ ¬¥ç ­¨¥.

„«ï £à㯯ë G = (R, +) á¢ñà⪠®¡®¡é ¥âáï ª ª(a ∗ b)(s) =Z∞−∞33a(t)b(s − t)dt.‹¥ªæ¨ï 15http://mmresource.nm.ru/‹¨­¥©­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¨ ¬®¤ã«¨ ­ ¤ £à㯯®¢®© «£¥¡à®©.…᫨ ρ : G →PAut(K V ) —P«¨­¥©­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥, â® G V , £¤¥ gv = ρ(g)(v) — «¥¢ë© G-¯®«¨£®­, 㬭®¥­¨¥ ( ag g)v = ag (gv) § ¤ ñâ ­ V áâàãªâãàã «¥¢®£® KG-¬®¤ã«ï.DZ஢¥àª ′ ªá¨®¬¬®¤ã«ïP ′P .′′′′g∈G1)2)…᫨ a=ag g, a =ag g,â® a′ + a′′ =(a′g + a′′g )g,¨ ¯®í⮬㠤«ï v ∈ K V :XX(a′ + a′′ )v = ( (a′g + a′′g )g)v =(a′g + a′′g )ρ(g)(v) =XX=a′g ρ(g)(v) +a′′g ρ(g)(v) = a′ v + a′′ v.P…᫨ v = v1 + v2 ∈ K V , a =â®ag g,g∈Ga(v1 + v2 ) ==3)P…᫨ a =Pag g, b =PXag ρ(g)(v1 ) +â® ab =bh h,h∈G(ab)v =XXXPag ρ(g)(v1 + v2 ) =ag ρ(g)(v2 ) = av1 + av2 .ag bh gh,g,h∈Gag bh ρ(gh)(v) =g,h∈G= a(XX¨ ¯®í⮬ãag bh ρ(g)(ρ(h)(v)) =g,h∈Gbh ρh (v)) = a(bv).h∈G4) ev = ρ(e)(v) = 1V (v) = v.DZ®¤¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥.

” ªâ®à¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥.…᫨ ρ = ρV : G → Aut(K V ) — «¨­¥©­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥, â® ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ K Uª®â®à®£® ρ(g)U ⊆ U ¤«ï ¢á¥å g ∈ G, ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®¤¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ρU : G → Aut(K U ),â® à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® KG U¤«ï u ∈ U ).‚ í⮬ á«ãç ¥ ®¯à¥¤¥«¥­® ä ªâ®à¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ρU (g) = ρV (g)|U .Pg∈G αg ρ(g)(u) ∈ U⊆KG V— KG-¯®¤¬®¤ã«ì ((⊆PKV,¤«ïαg g)u =g∈GρV /U : G → Aut(K V /U ),ρV /U (g)(v + U ) = ρV (g)(v) + U.â® à ¢­®á¨«ì­® à áᬮâ७¨î KG-ä ªâ®à¬®¤ã«ï KG V /U .‹¨­¥©­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ρV : G → Aut(K V ) ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¬, ¥á«¨ ¢ ­ñ¬ ­¥â ­¥âਢ¨ «ì­ëå ¯®¤¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©, â. ¥.

KG-¬®¤ã«ì KGV ­¥¯à¨¢®¤¨¬.DZàï¬ë¥ áã¬¬ë ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©.…áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 à áᬮâ७¨î ¯àï¬ëå á㬬 KG-¬®¤ã«¥©, ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯àï¬ë¥ áã¬¬ë ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© £à㯯. DZ।áâ ¢«¥­¨ï, ­¥ à §« £ î騥áï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㤢ãå ­¥­ã«¥¢ëå ¯®¤¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥à §«®¨¬ë¬.34‹¥ªæ¨ï 15http://mmresource.nm.ru/ƒ®¬®¬®à䨧¬ë ¨ ¨§®¬®à䨧¬ë ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©.…᫨ρ1 : σ → Aut(K V1 )¨ρ2 : σ → Aut(K V2 ) —¤¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï, â® £®¬®¬®à䨧¬ ϕ : K V1 → K V2 «¨­¥©­ëå ¯à®áâà ­á⢠­ §ë¢ ¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©, ¥á«¨ϕ(ρ1 (g)(x)) = ρ2 (g)(ϕ(x)),çâ® à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® ϕ : KGV1 → KG V2 — £®¬®¬®à䨧¬ KG-¬®¤ã«¥©. ¨¥ªâ¨¢­ë© £®¬®¬®à䨧¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬, í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ã KG-¬®¤ã«¥©.„¢ ¬ âà¨ç­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ïρ1 : G → GLn (K),ρ2 : G → GLn (K)­ §®¢ñ¬ íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨, ¥á«¨ ­ ©¤ñâáï ¬ âà¨æ T ∈ GLn (K), ¤«ï ª®â®à®© ρ2 (g) = T −1ρ1 (g)T .…᫨ ϕ : K V1 → K V2 — ¨§®¬®à䨧¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ρ1 : G → Aut(K V1 ) ¨ ρ2 : G → Aut(K V2 ),â® ¢ë¡¨à ï ¡ §¨á {e1, .

. . , en } ¢ K V1 ¨ ¡ §¨á {ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )} ¢ K V2 , ¯®«ãç ¥¬ ϕ(ρ1 (g)(ej )) =ρ2 (g)(ϕ(ej )), g ∈ G, j = 1, . . . , n, â. ¥. ¢ íâ¨å ᮣ« ᮢ ­­ëå ¡ §¨á å ¬ âà¨ç­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ïᮢ¯ ¤ îâ.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§®¬®àä­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¯à¨¢®¤ïâ ª íª¢¨¢ «¥­â­ë¬ ¬ âà¨ç­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï¬. ª¢¨¢ «¥­â­ë¥ ¬ âà¨ç­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ॠ«¨§®¢ ­ë ª ª ¯¥à¥å®¤ ª ¤à㣮¬ã¡ §¨áã (â. ¥. ®¤­¨¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬, § ¯¨á ­­ë¬, ¢ à §­ëå ¡ §¨á å.¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ª®¬¯«¥ªá­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ª®­¥ç­ëå ¡¥«¥¢ëå £à㯯.’¥®à¥¬ . DZãáâì G — ª®­¥ç­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 , ρ : G → Aut(C V ) — ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥-­¨¥ ­ ¤ ¯®«¥¬ C ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥« (â. ¥. CG V — ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬®¤ã«ì).

’®£¤ dim C V = 1.„®ª § ⥫ìá⢮. ‘­ ç « ¤®ª ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¢á¯®¬®£ ⥫쭮¥ ã⢥थ­¨¥:‹¥¬¬ . …᫨ ϕi : CV → CV , i = 1, . . . , k, ª®¬¬ãâ¨àãî騥 ¬¥¤ã ᮡ®© «¨­¥©­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ª®¬¯«¥ªá­ëå «¨­¥©­ëå ¯à®áâà ­áâ¢, â. ¥. ϕi ϕj = ϕj ϕi ¤«ï «î¡ëå i, j, â® ϕ1 , . . . , ϕk ¨¬¥î⮡騩 ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à: 0 6= x ∈ C V , ϕi (x) = λi x, λi ∈ C, i = 1, . . . , k.„®ª § ⥫ìá⢮.  ç «® ¨­¤ãªæ¨¨: k = 1.

DZãáâì α ∈ C — ª®à¥­ì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®-ç«¥­ |ϕ1 − λ1V | = 0 ¨C Lα= {v ∈ V |ϕ1 (v) = αv} ⊂ C V .’®£¤ ϕi (Lα ) ⊆ Lα , ¯®áª®«ìªã ¤«ï v ∈ Lα:ϕ1 (ϕi (v)) = (ϕ1 ϕi )(v) = (ϕi ϕ1 )(v) = ϕi (αv) = α(ϕi (v)),â. ¥. ϕi (v) ∈ Lα.‚ ᨫ㠨­¤ãªâ¨¢­®£® ¯à¥¤¯®«®¥­¨ï ¤«ï {ϕ2 , . . . , ϕk }, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ­ C Lα , ­ ©¤ñâáï ®¡é¨©á®¡á⢥­­ë© ¢¥ªâ®à ¨§ C Lα, ­® ®­ ¨ ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à ¤«ï ϕ1 . „®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë.

’ ª ª ª G — ª®­¥ç­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 , â® ª®¬¬ãâ¨àãî騥 ¬¥¤ã ᮡ®© «¨­¥©­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï {ρ(g)|g ∈ G} ¨¬¥îâ ®¡é¨© ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à v ∈ C V . ®â®£¤ ®¤­®¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ CU = Cv ï¥âáï ¯®¤¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬, â ª ª ª ρ(g)(Cv) ⊆ Cv,¯®áª®«ìªã ρ(g)(v) = λg v, λg ∈ C. ’ ª ª ª ­ è¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬®, â® Cv = C V , â. ¥.dim C V = 1.‘«¥¤á⢨¥ 1 (­ 室¥­¨¥ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªá­ëå ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ª®­¥ç­®© ¡¥«¥¢®© £à㯯ë). DZãáâì G — ª®­¥ç­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 , |G| = n, G = G1 × . . . × Gk , Gi —35‹¥ªæ¨ï 15http://mmresource.nm.ru/¯à¨¬ à­ ï 横«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯®à浪 ni¢á¥ £®¬®¬®à䨧¬ë= plii , pi —¯à®á⮥ ç¨á«®, n = n1 . . .

nk .  ¤® ­ ©â¨ρ : G → GL1 (C) = C∗ = C \ {0}.Š ¤ë© â ª®© £®¬®¬®à䨧¬ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬ ¬¨ρi = ρ|Gi : Gi → C∗ .…᫨ Gi = (ai ), â® ρi(ai )n = ρi (anu ) = 1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ à §«¨ç­ëå £®¬®¬®à䨧¬®¢ ρi á⮫쪮, ᪮«ìª® à §«¨ç­ëå ª®¬¯«¥ªá­ëå ª®à­¥© ¨§ 1 á⥯¥­¨ ni, â. ¥. ni. Žâáî¤ , ç¨á«® à §«¨ç­ë媮¬¯«¥ªá­ëå ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© £à㯯ë G à ¢­® n1 . . .

nk = n. ii’¥®à¥¬ . —¨á«® ­¥¨§®¬®àä­ëå ª®¬¯«¥ªá­ëå ®¤­®¬¥à­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© «î¡®© ª®­¥ç­®© (¢®§¬®­®, ­¥ª®¬¬ãâ ⨢­®©) £à㯯ë G à ¢­® |G/[G, G]|, â. ¥. ¯®à浪ã ä ªâ®à£à㯯ë G/[G, G] £à㯯ëG ¯® ¥ñ ª®¬¬ãâ â®àã [G, G].„®ª § ⥫ìá⢮.

…᫨ ρ : G → C∗ — £®¬®¬®à䨧¬, â® £à㯯 C∗ ª®¬¬ãâ ⨢­ , ¨ ¯®í⮬ã…᫨ π : G → G/[G, G] — ª ­®­¨ç¥áª¨© £®¬®¬®à䨧¬ ­ ä ªâ®à£à㯯ã, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­á⢥­­ë© £®¬®¬®à䨧¬ ϕ : G/[G, G] → C∗ , â ª®© çâ® ρ = ϕπ. ’ ª ª ª G/[G, G] — ¡¥«¥¢ £à㯯 , â® à §«¨ç­ëå â ª¨å ϕ ¨¬¥¥¬ ஢­® |G/[G, G]|. Ker ρ ≥ [G, G].36‹¥ªæ¨ï 16http://mmresource.nm.ru/‹…Š–ˆŸ16.16¤¥ª ¡àï 2002 £.–¥­âà £à㯯®¢®© «£¥¡àë.’¥®à¥¬ .P–¥­âà Z(KG) £à㯯®¢®© «£¥¡àë KG £à㯯ë G ­ ¤ ¯®«¥¬ K á®á⮨⠨§ í«¥¬¥­â®¢â ª¨å, çâ® awgw = ag ¤«ï ¢á¥å g, w ∈ G (¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¨§ ä㭪権,g∈Gïîé¨åáï ª®­áâ ­â ¬¨ ­ ª« áᥠᮯàïñ­­ëå í«¥¬¥­â®¢£à㯯ë).P„®ª § ⥫ìá⢮.

Žâ¬¥â¨¬ á­ ç « , çâ® a =ag g ∈ KG «¥¨â ¢ 業âॠZ(KG) ⮣¤ ¨a =ag g ∈ KG−1g∈G⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ aw = wa ¤«ï ¢á¥å w ∈ G, â. ¥. a = waw−1 , â. ¥.Xag g = a = waw−1 =g∈GXag (waw−1 ).g∈G’ ª ª ª ®â®¡à ¥­¨¥ ᮯà省¨ï g → wgw−1 ¡¨¥ªæ¨ï, â® ¯®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ à ¢­®á¨«ì­® à ¢¥­áâ¢ã awgw = ag ¤«ï ¢á¥å w ∈ G. −1’¥®à¥¬ Œ 誥 (1-© ¢ ਠ­â).DZãáâì R = KG — £à㯯®¢ ï K- «£¥¡à ª®­¥ç­®© £à㯯ë G­ ¤ ¯®«¥¬ K, n = |G|, char K = 0 ¨«¨ char K = p, ­® ¯à®á⮥ ç¨á«® p ­¥ ¤¥«¨â ç¨á«® n = |G| (â.

¥.n = n · 1 — ®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥­â ¢ ¯®«¥ K). ‚ «î¡®¬ R-¬®¤ã«¥ R M ª ¤ë© ¯®¤¬®¤ã«ì R B ⊆ R M¢ë¤¥«ï¥âáï ¯àï¬ë¬ á« £ ¥¬ë¬ (â. ¥. R M = R B ⊕ R C ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ¯®¤¬®¤ã«ï R C).„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì K M = K B ⊕ K D, π : K M → K M — ¯à®¥ªæ¨ï ­ ¯¥à¢®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮Ker π = K D, π 2 = π ∈ End(K M ). DZ®áâந¬ ⥯¥àì £®¬®¬®à䨧¬ R-¬®¤ã«¥© π ∗ : R M → R Mâ ª®©, çâ® (π∗ )2 = π∗ , Im π∗ = R B ( ⮣¤ R M = R B ⊕ R C, £¤¥ R C = Ker π∗ ).DZ®«®¨¬ ¤«ï x ∈ R M :1 X −1π ∗ (x) =g π(gx) ∈ R BnK B,g∈G(ãá।­¥­¨¥ ¯® £à㯯¥ G, ¯®áª®«ìªã π — «¨­¥©­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¢®§¬®­®, π ­¥ ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ R-¬®¤ã«¥©).1) DZ®ª ¥¬, çâ® π ∗ ∈ Hom(R M , R M ).1 ) …᫨ x, y ∈ M , â®π ∗ (x + y) = n−1Xg −1 π(g(x + y)) =g∈G=n−1=n−1Xg −1 π(gx + gy) = n−1g∈GX«¨­¥©­ëå K-¯à®áâà ­áâ¢, ­®,g−1π(gx) + n−1XXg∈Gg−1π(gy) = π ∗ (x) + π ∗ (y),g∈Gg∈Gâ.

¥. π∗ — £®¬®¬®à䨧¬ ¡¥«¥¢ëå £à㯯.1¡) …᫨ r = k ∈ K, ¨ x ∈ R M , â®π ∗ (kx) = n−1Xg −1 (π(gkx)) =g∈G= n−1Xg −1 π(kgx) = n−1g∈G= k(ng −1 (π(gx) + π(gy)) =−1XXg −1 k(gx) =g∈Gg−1k(gx)) = kπ ∗ (x)g∈G37‹¥ªæ¨ï 16http://mmresource.nm.ru/(â. ¥. π ∗ : K M → K M — «¨­¥©­®¥1¢) …᫨ h ∈ G, x ∈ R M , ⮯८¡à §®¢ ­¨¥ K-¯à®áâà ­áâ¢).π ∗ (hx) = n−1Xg −1 π(g(hx)) =g∈G=n−1Xh(gh)−1 π((gh)x) =g∈G= h(nX−1(gh)−1 π((gh)x)) = hπ ∗ (x),g∈G¯®áª®«ìªã ®â®¡à ¥­¨¥g → gh — ¯®¤áâ ­®¢ª ­ £à㯯¥ G.P1£) …᫨ r = h∈G rh h ∈ KG, rh ∈ K, x ∈ R M , â®π ∗ (ªx) = π ∗ (Xrh hx) =h∈G=Xh∈G=(π ∗ (rh hx) =h∈G∗rh π (hx) =XXXrh hπ ∗ (x) =h∈G∗rh h)π (x) = rπ ∗ (x)h∈G(â.

Характеристики

Список файлов лекций