А.В. Михалёв - Лекции по высшей алгебре (1106006), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. , fr ). …᫨ g = 0 ­ V , â® g t ∈ I ¤«ï ­¥ª®â®à®£® t.‘«¥¤á⢨¥23‹¥ªæ¨ï 14http://mmresource.nm.ru/‹…Š–ˆŸ14.3¤¥ª ¡àï 2002 £.Š®­¥ç­®¬¥à­ë¥ «£¥¡àëDZãáâì R — ª®­¥ç­®¬¥à­ ï K- «£¥¡à (K«¨­¥©­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ K R. DZãáâìei ej =nX—kγijek ,¯®«¥, dim K R = n).

‚롥६ ¡ §¨á {e1 , . . . , en } ¢kγij∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n.k=1’®£¤ {γijk } — ⥭§®à áâàãªâãà­ëå ª®­áâ ­â (¤¢ ¤ë ª®¢ ਠ­â­ë©, ®¤¨­ à § ª®­âà ¢ ਠ­â­ë©)¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥â 㬭®¥­¨¥ ¢ K- «£¥¡à¥ R, ¯®áª®«ìªãnXi=1‡ ¬¥ç ­¨¥1 ≤ i, j ≤ n.1. K- «£¥¡à R‡ ¬¥ç ­¨¥ 2.¢á¥å 1 ≤ i, j, k ≤ n.K- «£¥¡à Rξi ei!nXj=1ηj ej  =Xξi ηj ei ej .i,jª®¬¬ãâ ⨢­ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ eiej= ej ei¤«ï ¢á¥å áá®æ¨ ⨢­ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ei(ej ek ) = (ei ej )ek ¤«ï‹¥¬¬ .DZãáâì R — R- «£¥¡à á 1R ­ ¤ ¯®«¥¬ K, dim K R = 1. ’®£¤ R ∼= K (ª ª K- «£¥¡àë).„®ª § ⥫ìá⢮. ’ ª ª ª dim K R = 1, â® R = K · 1R .  áᬮâਬ áîàꥪ⨢­ë© £®¬®¬®à䨧¬K- «£¥¡à∆ : K → K · 1R = R,¤«ï ª®â®à®£® ∆(k) = k · 1R ¤«ï k ∈ K. ’ ª ª ª Ker ∆ ⊳ K, Ker ∆ 6= K ¨ K — ¯®«¥, â® Ker ∆ = {0}.DZ® ⥮६¥ ® £®¬®¬®à䨧¬¥K = K/{0} ∼= R.’¥®à¥¬ ­ «®£ â¥®à¥¬ë Ší«¨ ¤«ï ª®­¥ç­ëå £à㯯 ¢ á«ãç ¥ «£¥¡à(). DZãáâì A —n-¬¥à­ ï K- «£¥¡à á 1R ­ ¤ ¯®«¥¬ K.

’®£¤ K- «£¥¡à A ¨§®¬®àä­ ­¥ª®â®à®© ¯®¤ «£¥¡à¥ A′K- «£¥¡àë ¬ âà¨æ Mn (K).„®ª § ⥫ìá⢮. „«ï í«¥¬¥­â a ∈ A ç¥à¥§ ar : K A → K A ®¡®§­ 稬 ®â®¡à ¥­¨¥, ¤«ïª®â®à®£® al (x) = ax ¤«ï x ∈ A.’ ª ª ª ¤«ï x, x1 , x2 ∈ K A, λ ∈ K ¨¬¥¥¬al (x1 + x2 ) = a(x1 + x2 ) = ax1 + ax2 = al (x1 ) + al (x2 ),al (λx) = a(λx) = λ(ax) = λal (x),â® al ∈ End(K A), â. ¥.

al — «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à.Šà®¬¥ ⮣®, ¤«ï a, b ∈ K A, λ ∈ K ¨¬¥¥¬:(a + b)l (x) = (a + b)x = ax + bx = al (x) + bl (x) = (al + bl )(x);(ab)l (x) = (ab)(x) = a(bx) = al (bl x) = (al bl )(x).’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ¥­¨¥ ∆ : A → End(K A) ¨§ K- «£¥¡àë A ¢ K- «£¥¡àã End(K A) ∼= Mn (K),¤«ï ª®â®à®£® ∆(a) = al , ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ K- «£¥¡à.24‹¥ªæ¨ï 14http://mmresource.nm.ru/…᫨ al = bl ¤«ï a, b ∈ A, â® a = a · 1R = al (1R ) = bl (1R ) = b · 1R = b, â. ¥. ∆ — ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥®â®¡à ¥­¨¥.ˆâ ª, K — ¯®¤ «£¥¡à A′ = Im ∆ ¢ End(K A) ∼= Mn (K) ¨§®¬®àä­ ­ 襩 ¨á室­®©K- «£¥¡à¥ A. ’¥®à¥¬ .

DZãáâì A — ª®­¥ç­®¬¥à­ ï K- «£¥¡à á 1R ­ ¤ ¯®«¥¬ K, dim(K A) = n < ∞. ’®£¤ :1) ¤«ï ¢á类£® í«¥¬¥­â a ∈ A áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£®ç«¥­ 0 6= f (x) ∈ K[x] ’ ª®©, çâ® f (a) = 0 ¨deg f (x) ≤ n (â ª®© ¬­®£®ç«¥­ ­ §ë¢ ¥âáï ­­ã«¨àãî騬 ¬­®£®ç«¥­®¬ ¤«ï í«¥¬¥­â a ∈ A);2) a ∈ U (A) (â. ¥. a — ®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥­â) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£®ç«¥­f (x) ∈ K[x] â ª®©, çâ® f (a) = 0, f (0) 6= 0 (â.¥. ᢮¡®¤­ë© ç«¥­ ¬­®£®ç«¥­ f (x) ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï).„®ª § ⥫ìá⢮. 1) ’ ª ª ª n + 1 > n = dim K A, â® á¨á⥬ í«¥¬¥­â®¢ {1, a, a2, .

. . , an } ¢ K A«¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ , â. ¥.­¥ ¢á¥ αi à ¢­ë ­ã«î, â. ¥.α0 1 + α1 a + . . . + αn an = 0, αi ∈ K, 0 ≤ i ≤ n0 6= f (x) = α0 + α1 x + . . . + αn xn , f (a) = 0.2) )…᫨ f (a) = 0, f (x) = α0 + α1 x + . . . + αn xn ∈ K[x] ¨ 0 6= α0 ∈ K, â® α0 + α1 a + . . . + αn = 0,¨ ¯®í⮬ã1=a −α1αn n−1a− ...−a,α0α0â.¥. ¤«ï b = − αα a − . . . − αα an−1 ¨¬¥¥¬ ab = 1 = ba, â ª¨¬ ®¡à §®¬ b = −a, â.¥.

a ∈ U (A).¡) DZãáâì a ∈ U (A), b = a−1 . ‚롥६ ¤«ï í«¥¬¥­â a ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ f (x) = α0 +α1 x+. . . + αn xn ∈ K[x], f (a) = 0, ­ ¨¬¥­ì襩 á⥯¥­¨. ’®£¤ α0 · 1 + . . . + αn an = 0 ¨ α0 6= 0 (¥á«¨ α0 = 0,â® α1 a + . . . + αn an = 0, ¯®í⮬ã 㬭® ï ­ b = a−1 , ¯®«ãç ¥¬ α1 · 1 + α2 a + . . . + αn an−1 = 0, â.¥.α1 + α2 x + .

. . + αn xn−1 — ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­, á⥯¥­ì ª®â®à®£® ¬¥­ìè¥, 祬 n = deg f (x),çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥ñ ¬¨­¨¬ «ì­®áâ¨). ‡ ¬¥ç ­¨¥. ’¥®à¥¬ ƒ ¬¨«ìâ®­ -Ší«¨ ¤«ï K- «£¥¡àë ¬ âà¨æ Mn(K) à §­®á⨠n2 ­ ¤ ¯®«¥¬K ¤ ñâ áãé¥á⢥­­® ¡®«¥¥ ᨫì­ë© १ã«ìâ â ®¡ ­­ã«¨àãî饬 ¬­®£®ç«¥­¥ á⥯¥­¨ n, ¯à¨ í⮬1n00n < n2 !’¥®à¥¬ .DZãáâì A — ª®­¥ç­®¬¥à­ ï K- «£¥¡à á 1R ­ ¤ ¯®«¥¬ K, dim K A = n < ∞. ’®£¤ :«î¡®© ­¥¤¥«¨â¥«ì ­ã«ï ¢ «£¥¡à¥ A ®¡à ⨬;¥á«¨ K- «£¥¡à A ¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï, â® A — ⥫®.„®ª § ⥫ìá⢮. 1) DZãáâì a — ­¥¤¥«¨â¥«ì ­ã«ï ¢ A.  áᬮâਬ ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­1)2)f (x) = α0 + α1 x + .

. . + αs xs í«¥¬¥­â a ¬¨­¨¬ «ì­®© á⥯¥­¨ s, f (a) = 0. …᫨ α0 = 0, â®a(α1 · 1A + . . . + αs as−1 ) = 0. ’ ª ª ª a — ­¥¤¥«¨â¥«ì ­ã«ï, â® α1 · 1A + α2 a + . . . + αs as−1 = 0, ç⮯à®â¨¢®à¥ç¨â ¬¨­¨¬ «ì­®á⨠á⥯¥­¨ s ­­ã«¨àãî饣® ¬­®£®ç«¥­ . ˆâ ª, α0 6= 0, ⮣¤ a —®¡à â¨¬ë© í«¥¬¥­â.2) ¢ë⥪ ¥â ¨§ 1). €«£¥¡àë á ¤¥«¥­¨¥¬DZ®¤ «£¥¡à®© á ¤¥«¥­¨¥¬ ¯®­¨¬ ¥âáï K- «£¥¡à R á 1R ­ ¤ ¯®«¥¬, ïî饣®áï ⥫®¬ (â.¥.ª ¤ë© ­¥­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â 0 6= a ∈ R ¨¬¥¥â ®¡à â­ë© í«¥¬¥­â b = a−1 : ab = 1R = ba).DZਬ¥àë «£¥¡à á ¤¥«¥­¨¥¬:1) ‹î¡®¥ ⥫® R ­ ¤ ᢮¨¬ 業â஬ K = Z(R) (¢ ç áâ­®áâ¨, «î¡®¥ ¯®«¥ R ­ ¤ «î¡ë¬ ᢮¨¬¯®¤¯®«¥¬ K ⊆ R).2) Q Q; Q R, R R; Q C, R C, C C; Q H, — «£¥¡àë á ¤¥«¥­¨¥¬.25‹¥ªæ¨ï 143)http://mmresource.nm.ru/€«£¥¡à K(t) à 樮­ «ì­ëå ä㭪権 ­ ¤ ¯®«¥¬ K ï¥âáï K- «£¥¡à®© á ¤¥«¥­¨¥¬.’¥®à¥¬ .

DZãáâì R — ª®­¥ç­®¬¥à­ ï «£¥¡à á ¤¥«¥­¨¥¬ ­ ¤ ¯®«¥¬ K. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£®í«¥¬¥­â a ∈ R ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ f (x) ∈ K[x], f (a) = 0, ¬¨­¨¬ «ì­®© á⥯¥­¨ ï¥âáï­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¬.„®ª § ⥫ìá⢮. „®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢­®¥, â.¥. f (x) = ϕ(x)ψ(x), 1 ≤ deg ϕ(x) < deg f (x),1 ≤ deg ψ < deg ϕ(x). ’®£¤ 0 = f (a) = ϕ(a)ψ(a). ’ ª ª ª R — ⥫®, â® ¢ R ­¥â ¤¥«¨â¥«¥©­ã«ï, ¨ ¯®í⮬㠨«¨ ϕ(a) = 0, ¨«¨ ψ(a) = 0.

DZ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ¬¨­¨¬ «ì­®áâìî á⥯¥­¨ ­­ã«¨àãî饣® ¬­®£®ç«¥­ f (x). . DZãáâì R — ª®­¥ç­®¬¥à­ ï C- «£¥¡à á ¤¥«¥­¨¥¬ (â.¥. ­ ¤ ¯®«¥¬ C ª®¬¯«¥ªá­ëåç¨á¥«). ’®£¤ R ∼= C.„®ª § ⥫ìá⢮. „«ï ª ¤®£® í«¥¬¥­â a ∈ R ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ ¬¨­¨¬ «ì­®© á⥯¥­¨­¥¯à¨¢®¤¨¬, ¨ ¯®í⮬㠨¬¥¥â ¢¨¤ x − c, £¤¥ c ∈ C. DZ®í⮬ã a − c · 1R = 0, â.¥. a = c · 1R .ˆâ ª, dim C R = 1, ¨ ¯®í⮬ã R = C · 1R ∼= C. ’¥®à¥¬ ’¥®à¥¬ ”஡¥­¨ãá (1877 £.)® áâ஥­¨¨ ª®­¥ç­®¬¥à­ëå R- «£¥¡à á ¤¥«¥­¨¥¬.’¥®à¥¬ 1 (ª®¬¬ãâ ⨢­ë© á«ãç ©).

DZãáâì R — ª®¬¬ãâ ⨢­ ï ª®­¥ç­®¬¥à­ ï R- «£¥¡à á ¤¥«¥­¨¥¬. ’®£¤ ¨«¨ R ∼= R, ¨«¨ R ∼= C (ª ª R- «£¥¡àë).„®ª § ⥫ìá⢮. ‘«ãç © 1: dim R R = 1. ’®£¤ , ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë R ∼= R (ª ª R- «£¥¡àë).‘«ãç © 2: dim R R ≥ 2. ’®£¤ ­ ©¤ñâáï í«¥¬¥­â a ∈/ R · 1R . DZãáâì f (x) ∈ R[x], f (a) = 0, — ¥£® ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ ¬¨­¨¬ «ì­®© á⥯¥­¨. ‚ ᨫã ⥮६ë, f (x) — ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬­®£®ç«¥­­ ¤ ¯®«¥¬ R, ¨ ¯®í⮬㠨«¨ deg f (x) = 1, ¨«¨ deg f (x) = 2.…᫨ f (x) = x − β, β ∈ R, â® 0 = f (a) = a − β1R , â. ¥.

a = β1R ∈ R · 1R , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àãí«¥¬¥­â a.ˆâ ª, f (x) = x2 + βx + γ, β, γ ∈ R, a2 + βa + γ · 1R = 0. Žâáî¤ (a + λ1R )2 − D · 1R = 0, £¤¥λ = β/2 ¨ D < 0 (¥á«¨ D ≥ 0, â®√√(a + (λ + D)1R )(a + (λ − D)1R ) = 0,√√a + (λ + D)1R 6= 0, a + (λ − D)1R 6= 0,çâ® ­¥¢®§¬®­® ¢ ¯®«¥ R).’ ª¨¬ ®¡à §®¬, b2 = −δ2 1R , £¤¥ b = a + λ1R , D = δ2 . DZ®« £ ï i = δb , ¯®«ãç ¥¬ i2 = −1, â. ¥.¯®¤ «£¥¡à R · 1R + Ri R- «£¥¡àë R ¨§®¬®àä­ R- «£¥¡à¥ ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥« C.’ ª ª ª R — ª®¬¬ãâ ⨢­®¥ ª®«ìæ®, ᮤ¥à 饥 ¯®«¥ C ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥« C, â® R ï¥âáïC- «£¥¡à®© á ¤¥«¥­¨¥¬, ¯à¨ í⮬, dim C R ≤ dim R R < ∞.

‚ ᨫ㠤®ª § ­­®© à ­¥¥ ⥮६ë, R ∼=C(ª ª C- «£¥¡àë). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ è ¨á室­ ï R- «£¥¡à R ¨§®¬®àä­ R- «£¥¡à¥ ª®¬¯«¥ªá­ëåç¨á¥« C. ’¥®à¥¬ ”஡¥­­¨ãá (¢ ¯®«­®¬ ®¡êñ¬¥). DZãáâì R — ª®­¥ç­®¬¥à­ ï R- «£¥¡à á ¤¥«¥­¨¥¬. ’®£¤ R — ®¤­ ¨§ á«¥¤ãîé¨å «£¥¡à: R; C; H (ª¢ â¥à­¨®­ë).„®ª § ⥫ìá⢮. Žáâ «®áì à áᬮâà¥âì ­¥ª®¬¬ãâ ⨢­ë© á«ãç ©, â.¥. ª®£¤ 業âà Z(R)K- «£¥¡àë R ï¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¯®¤¯®«¥¬ ¢ R. Ÿá­®, çâ® R · 1R ⊆ Z(R).DZãáâì a ∈/ R · 1R , ⮣¤ ¬¨­¨¬ «ì­ë© ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ f (t) ∈ R[t] í«¥¬¥­â a ¨¬¥¥âá⥯¥­ì 2, â. ¥. f (t) = t2 + βt + γ, β, γ ∈ R. DZ®í⮬ã a2 + βa + γ1 = 0, â.

¥. a2 = −βa − γ1. ’ ª¨¬®¡à §®¬, T = R · 1R + Ra — ª®­¥ç­®¬¥à­ ï R- «£¥¡à ¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï (ª ª ¯®¤ «£¥¡à ¢ R),¯®í⮬ã T — R- «£¥¡à á ¤¥«¥­¨¥¬ (⥫®), ¯à¨ í⮬ ®­ ª®¬¬ãâ ⨢­ ï. ‚ ᨫã ⥮६ë 1, T ∼=C(ª ª R- «£¥¡àë). ˆâ ª, R ⊃ C (å®âï, ¢®§¬®­®, C ­¥ «¥¨â ¢ 業âॠR- «£¥¡àë R).DZãáâì i ∈ C, i2 = −1.

 áᬮâਬ ®¯¥à â®à ϕi : C R → C R, ϕi (λx) = λxi = λϕi (x) ¤«ï x, x1 , x2 ∈R, λ ∈ C).26‹¥ªæ¨ï 14t2http://mmresource.nm.ru/’ ª ª ª ϕi (ϕi (x)) = xi2 = −x, â® t2 + 1 — ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ ®¯¥à â®à ϕi , ¯à¨ í⮬+ 1 ­¥ ¨¬¥¥â ªà â­ëå ª®à­¥©. DZ®í⮬㠨¬¥¥¬ ®à¤ ­®¢® à §«®¥­¨¥:CR£¤¥= Ri ⊕ R−i ,Ri = {x ∈ R|ϕi (x) = xi = ix},R−i = {x ∈ R|ϕi (x) = xi = −ix} —C-¯®¤¯à®áâà ­á⢠¢ C R (®â­®á¨â¥«ì­® ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© i ¨ −i). …᫨ x, y ∈ Ri , â.

¥. xi =ix, yi = iy, â® xyi = xiy = ixy, â. ¥. xy ∈ Ri . ˆâ ª, Ri — ª®­¥ç­®¬¥à­ ï C-¯®¤ «£¥¡à ¡¥§¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï, ¯®í⮬ã Ri — C- «£¥¡à á ¤¥«¥­¨¥¬, á«¥¤®¢ ⥫쭮, dim C Ri = 1, â. ¥. Ri ∼= C(ª ª C- «£¥¡àë).‘«ãç © 1: R−i = 0, ¨ ⮣¤ R ∼= C.‘«ãç © 2: R−i 6= 0.‡ 䨪á¨à㥬 0 6= x0 ∈ R−i. „«ï «î¡®£® y ∈ R−i ¨¬¥¥¬:(¯®áª®«ìªã x0 i = −ix0 , yi = −iy),ˆâ ª, dim C R−i = 1, â. ¥.yx0 i = −yix0 = iyx0−1¨ ¯®í⮬ã α = yx0 ∈ Ri = C. ’®£¤ y = αx−10 , â.

¥. R−i = Cx0 .dim R R = dim R (Ri ⊕ R−i ) = 2 + 2 = 4.„«ï «î¡®£® ­¥­ã«¥¢®£® í«¥¬¥­â 0 6= y ∈ C R−i ¬¨­¨¬ «ì­ë© ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ ­ ¤ R ¨ ¨¬¥¥â á⥯¥­ì 2 (¥á«¨ ®­ ¯¥à¢®© á⥯¥­¨, â® y ∈ R · 1 ⊆ Z(R), yi = iy, â. ¥.y ∈ Ri ∩ R−i = {0}, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® 0 6= y). ˆâ ª, ¬¨­¨¬ «ì­ë© ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ ¨¬¥¥â ¢¨¤ t2 + βt + γ ∈ R[t], β, γ ∈ R, ¨ ­¥ ¨¬¥¥â ¤¥©á⢨⥫ì­ëå ª®à­¥©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,y 2 + βy + γ · 1R = 0.…᫨ β 6= 0, â® y = β −1 (y2 −γ1) ∈ Ri , ¯®áª®«ìªã y2 i = −yiy = iy2 (§¤¥áì yi = −y, â ª ª ª y ∈ R−i),â.

¥. y2 ∈ Ri. ® ⮣¤ y ∈ Ri ∩ R−i = {0}, çâ® ­¥¢®§¬®­®. ˆâ ª β = 0, â. ¥. y2 + γ · 1R = 0.’ ª ª ª t2 + γ ∈ R[t] ­¥¯à¨¢®¤¨¬, çâ® γ > 0, ¨ ¯®í⮬ã γ = δ2 ¤«ï δ ∈ R.Ž¡®§­ 稬 j = yδ . ’®£¤ j 2 + 1R =y211+ 1 = 2 (y 2 + δ 2 ) = 2 (y 2 + γ) = 0,δ2δδâ. ¥. j 2 = −1.DZ®«®¨¬ k = ij. ’ ª ª ª j = yδ ∈ C R−i , â® k = ij ∈ R−i.‡ ¬¥ç ­¨¥. …᫨ dim CV = 1 ¨ {e} — ¡ §¨á ¨§ ®¤­®£® í«¥¬¥­â ¢ C V , â® {e, ie} — ¡ §¨á ¢ R V .„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ v ∈ V , â® v = (a + bi)e ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« a + bi ∈ C, â.

Характеристики

Список файлов лекций