А.В. Михалёв - Лекции по высшей алгебре (1106006), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

¥.(H, g) → g −1 Hg, g ∈ G£à㯯 G ¤¥©áâ¢ã¥â ­ ¬­®¥á⢥ ¢á¥å ¯®¤£à㯯 H £à㯯ë G ᮯà省¨¥¬).‚ ᨫ㠢â®à®© â¥®à¥¬ë ‘¨«®¢ ¢á¥ ᨫ®¢áª¨¥ p-¯®¤£àã¯¯ë ®¡à §ãîâ ®¤­ã ¨§ ®à¡¨â Orb(S) ¢ MG,£¤¥ S — ®¤­ ¨§ ᨫ®¢áª¨å ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G, n(p) = | Orb(S)|. ’ ª ª ª |G| = | St(S)| · | Orb(S)|,â® ïá­®, çâ® n(p) = | Orb(S)| — ¤¥«¨â¥«ì ç¨á« n = |G|.2)  áᬮâਬ ⥯¥àì ¬­®¥á⢮ ¢á¥å ᨫ®¢áª¨å p-¯®¤£à㯯 ΣS = {S1 , . . . , Sn (p)}S ª ª ¯à ¢ë©S1 -¯®«¨£®­ (§¤¥áì S = S1 ) á ᮯà省¨¥¬:1(Si , a) → a−1 Si a,Si ∈ Σ, a ∈ S11(ïá­®, çâ® |a−1 Si a| = |Si | = pk , â. ¥.

a−1 Si a ∈ Σ). ) Ÿá­®, çâ® a−1 S1 a = S1 ¤«ï a ∈ S1 , â. ¥. S1 — ¥¤¨­á⢥­­ ï ­¥¯®¤¢¨­ ï â®çª ¢ Σ ¯à¨¤¥©á⢨¨ £à㯯ë S1 (â. ¥. ¥¤¨­á⢥­­ ï ®¤­®í«¥¬¥­â­ ï ®à¡¨â ¢ ΣS1 ).„¥©á⢨⥫쭮, ¤®¯ãá⨬ ¯à®â¨¢­®¥, â. ¥. çâ® | Orb(Si)| = 1 ¤«ï i 6= 1, â. ¥. a−1 Sia = Si ¤«ï¢á¥å a ∈ S1 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, S1 Si = Si S1 , ¨ ¯®í⮬㠯®¤¬­®¥á⢮ H = SiS1 = S1 Si ï¥âáﯮ¤£à㯯®© (¢ ᨫ㠤®ª § ­­®£® à ­¥¥ ªà¨â¥à¨ï ® ⮬, ª®£¤ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯®¤£à㯯 ï¥âáﯮ¤£à㯯®©).DZ® ⥮६¥ ‹ £à ­ ¤«ï ¯®¤£à㯯 H ¨¬¥¥¬: |G| = |H| · [G : H], â ª¨¬ ®¡à §®¬, S1 ¨ Siâ ª¥ ïîâáï ᨫ®¢áª¨¬¨ p-¯®¤£à㯯 ¬¨ ¨ ¢ £à㯯¥ H; ¯à¨¬¥­ïï ª ­¨¬ ¢ £à㯯¥ H 2-î ⥮६㑨«®¢ , ¯®«ãç ¥¬, çâ® S1 = h−1 Sih ¤«ï h ∈ H h = ab ∈ H = S1 Si, a ∈ S1 , b ∈ Si.® ⮣¤ S1 = h−1 Si h = (ab)−1 Si (ab) = b−1 (a−1 Si a)b = b−1 Si b = Si (§¤¥áì ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨à ¢¥­á⢮ a−1 Si a = Si , ¯®áª®«ìªã Si — ®à¡¨â , á®áâ®ïé ï ¨§ ®¤­®£® í«¥¬¥­â ) çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â⮬ã, çâ® i > 1, â.

¥. Si 6= S1 .¡) ‡ ¢¥à襭¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠3-© â¥®à¥¬ë ‘¨«®¢ .ˆâ ª, à áᬠâਢ ï ¤«ï ¯®«¨£®­ ΣS1 = {S1, . . . , Sn(p) } à §¡¨¥­¨¥ ­ ®à¡¨âë, ¨¬¥¥¬ ¥¤¨­á⢥­­ãî ®¤­®í«¥¬¥­â à­ãî ®à¡¨âã Orb(S1 ) = {S1}, ¯à¨ í⮬ ¯à¨ i > 1 ¤«ï ¤àã£¨å ®à¡¨â (ᮤ¥à é¨å¡®«¥¥ ®¤­®£® í«¥¬¥­â )pk = |S1 | = | St(Si )|| Orb(Si )|,8‹¥ªæ¨ï 9http://mmresource.nm.ru/â. ¥. ç¨á«® í«¥¬¥­â®¢ íâ¨å ®à¡¨â å ¤¥«¨âáï ­ p (ª ª ¤¥«¨â¥«ì ç¨á« pk ). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,n(p) = 1 + pq.‘«¥¤áâ¢¨ï ¨§ â¥®à¥¬ë ‘¨«®¢ ‘«¥¤á⢨¥ 1. ‚ ª®­¥ç­®© £à㯯¥ ᨫ®¢áª ï p-£à㯯 ¥¤¨­á⢥­­ (â. ¥. n(p) = 1) ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ íâ ᨫ®¢áª ï ¯®¤£à㯯 ï¥âáï ­®à¬ «ì­®© ¯®¤£à㯯®©.‘«¥¤á⢨¥ 2 (®¡à 饭¨¥â¥®à¥¬ë ‹ £à ­ ¤«ïª®­¥ç­ëå p-k £à㯯).

DZãáâì G — ª®kl­¥ç­ ï p-£à㯯 , |G| = p . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¤¥«¨â¥«ï p , l ≤ k, ç¨á« p áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤£à㯯 H£à㯯ë G â ª ï, çâ® |H| = pl .„®ª § ⥫ìá⢮ (¨­¤ãªæ¨¥© ¯® k). ‘«ãç © k = 0 ïᥭ. DZãáâì |G| = pk > 1. ‚ ᨫã â¥®à¥¬ë® æ¥­âॠZ(G) p-£à㯯ë G: |Z(G)| > 1. ‚ ᨫã á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ áâàãªâãà­®© â¥®à¥¬ë ¤«ï ª®­¥ç­®© ¡¥«¥¢®© £à㯯ë Z(G) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®¡à 饭¨¥ â¥®à¥¬ë ‹ £à ­ .

‚ ç áâ­®á⨠¤«ï ¤¥«¨â¥«ï pç¨á« pl = |H| ­ ©¤ñâáï 横«¨ç¥áª ï ¯®¤£à㯯 (c) ¨§ p í«¥¬¥­â®¢ ¢ £à㯯¥ Z(G). Ÿá­®, çâ®(c) ⊳ G. ’®£¤ ¤«ï ä ªâ®à£à㯯ë Ḡ = G/(c) ¨¬¥¥¬: |Ḡ| = |G|/p = pk−1 . ‚ ᨫ㠨­¤ãªâ¨¢­®£®¯à¥¤¯®«®¥­¨ï (â ª ª ª pk−1 < pk ), ¢ Ḡ ­ ©¤ñâáï ¯®¤£à㯯 H̄ â ª ï, çâ® |H̄| = pl−1 , ¯à¨ í⮬H̄ = H/(c), £¤¥ H — ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G â ª ï, çâ® (c) ⊆ H ⊂ G. ’ ª ª ªâ® ¯®¤£à㯯 H ï¥âáï ¨áª®¬®©.|H| = |H̄||(c)| = pl−1 · p = pl ,DZਬ¥à ¯à¨¬¥­¥­¨ï ⥮६ ‘¨«®¢ (横«¨ç­®áâì £àã¯¯ë ¨§ 15 í«¥¬¥­â®¢). DZãáâìG — ª®­¥ç­ ï £à㯯 , |G| = 15 = 3 · 5.

 áᬠâਢ ï ¢á¥ ¤¥«¨â¥«¨ 1, 3, 5, 15 ç¨á« 15 ¢¨¤¨¬çâ® n(3) = 1 ¨ n(5) = 1. DZ®í⮬ã áãé¥áâ¢ãîâ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ (¨ ¯®í⮬㠭®à¬ «ì­ë¥ ᨫ®¢áª¨¥3-¯®¤£à㯯 A ¨ 5-¯®¤£à㯯 B.ˆ§ A ⊳ G, B ⊳ á«¥¤ã¥â, çâ® AB — ¯®¤£à㯯 . ’ ª ª ª |A| = 3, |B| = 5, â® A ∼= Z3 , B ∼= Z5 ,|A ∩ B| = 1, â. ¥. A ∩ B = {e}. DZ®í⮬ã AB = A × B ¨ |AB| = 3 × 5 = 15, â. ¥. AB = G. ˆâ ª,G = A×B ∼= Z3 ⊕ Z5 ∼= Z15 , â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ¥¤¨­á⢥­­ ï (á â®ç­®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ )ª®­¥ç­ ï £à㯯 ¨§ 15 í«¥¬¥­â®¢ — 横«¨ç¥áª ï £à㯯 Z15 . . 1) „®ª § âì, çâ® ¥á«¨ |G| = 175 = 52 · 7, â® £à㯯 G ¡¥«¥¢ .2) Ž¯¨á âì ¢á¥ £àã¯¯ë ¨§ 12 í«¥¬¥­â®¢.3) …᫨ |G| < ∞ ¨ ¯®à冷ª |G| £à㯯ë G ­¥ ï¥âáï ¯à®áâë¬ ç¨á«®¬, â® £à㯯 G ᮤ¥à¨â­¥âਢ¨ «ì­ãî ­®à¬ «ì­ãî ¯®¤£à㯯ã (â. ¥.

G ­¥ ï¥âáï ¯à®á⮩ £à㯯®©). „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨£à㯯 A5 , |A5 | = 60 ï¥âáï, ª ª ¬ë ¢áª®à¥ 㢨¤¨¬, ï¥âáï á ¬®© ¬ «¥­ìª®© ­¥ª®¬¬ãâ ⨢­®©¯à®á⮩ £à㯯®©.. …᫨ p — ¯à®á⮥ ç¨á«®, ⮓¯à ­¥­¨¥’¥®à¥¬ ‚¨«á®­ „®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì(p − 1)! ≡ −1(mod p).G = Sp — £à㯯 ¯®¤áâ ­®¢®ª p í«¥¬¥­â®¢, |G| = p! = p(p − 1)!,’®£¤ ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 ¢ Sp ᮤ¥à¨â p í«¥¬¥­â®¢, ¨ ¯®í⮬ã ï¥âáï横«¨ç¥áª®© £à㯯®© ¯®à浪 p. «¥¬¥­âë ¯®à浪 p ¢ £à㯯¥ Sp — íâ®, ¢ â®ç­®áâ¨, 横«ë¤«¨­ë p, ¨å ç¨á«® à ¢­® p!/p = (p − 1)!.‚ ª ¤®© 横«¨ç¥áª®© £à㯯¥ ¯®à浪 p, ¯à¨ í⮬ à §«¨ç­ë¥ 横«¨ç¥áª¨¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¯®à浪 p ¨¬¥îâ âਢ¨ «ì­®¥ ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ (¯® ¥¤¨­¨æ¥ £à㯯ë).

DZ®í⮬ã ç¨á«® ᨫ®¢áª¨å p-¯®¤£à㯯 ¢£à㯯¥ Sp à ¢­®(p, (p − 1)!) = 1.n(p) = (p − 1)!/(p − 1) = (p − 2)!‚ ᨫã 3-¥¬ â¥®à¥¬ë ‘¨«®¢ n(p) = (p − 2)! = 1 + pq, q ∈ Z. “¬­® ï ­ p − 1, ¯®«ãç ¥¬:(p − 1)! = p − 1 + p(p − 1)q = −1 + p(pq − q + 1) ≡ −1(mod p).9‹¥ªæ¨ï 10http://mmresource.nm.ru/‹…Š–ˆŸ10.29®ªâï¡àï 2002 £. §à¥è¨¬ë¥ £à㯯ë. §¢ ­¨¥ í⮣® ª« áá £à㯯 ¢®á室¨â ª í¯®å¥ ƒ «ã , €¡¥«ï ¨ ¤à. ‡ ¤ ç ® à¥è¥­¨¨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨© ¢ à ¤¨ª « å ¯à¨¢¥« ª ¯®­ïâ¨î à §à¥è¨¬®© £à㯯ë. ¯®¬­¨¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®¬¬ãâ ­â G′ = [G, G] £à㯯ë G: G′ = [G, G] =< [x, y] =−1 −1x y xy|x, y ∈ G >, â. ¥.

ª®¬¬ãâ ­â — íâ® ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G, ¯®à®¤¥­­ ï ¢á¥¬¨ ª®¬¬ãâ â®à ¬¨.DZ®áª®«ìªã [x, y]−1 = [y, x], ª®¬¬ãâ ­â G′ ᮢ¯ ¤ ¥â á ᮢ®ªã¯­®áâìî ¢á¥å ª®­¥ç­ëå ¯à®¨§¢¥¤¥­¨© ª®¬¬ãâ â®à®¢.  ­¥¥ ¬ë ¯®ª § «¨, çâ® ª®¬¬ãâ ­â G′ — ­®à¬ «ì­ ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G,¯à¨ í⮬ ä ªâ®à£à㯯 G/G′ = Gab — ¡¥«¥¢ £à㯯 , ®¡« ¤ îé ï á«¥¤ãî騬¨ ã­¨¢¥àá «ì­ë¬á¢®©á⢮¬ (§¤¥áì π = πG : G → G/G′ — ª ­®­¨ç¥áª¨© £®¬®¬®à䨧¬, ¯à¨ ª®â®à®¬ π(g) = gG′ ): ¤«ï¢á类£® £®¬®¬®à䨧¬ f ¨§ £à㯯ë G ¢ ¡¥«¥¢ã £à㯯ã A áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­á⢥­­ë© £®¬®¬®à䨧¬f ′ : G/G′ → A, ¤«ï ª®â®à®£® ¤¨ £à ¬¬ ª®¬¬ãâ ⨢­ , â. ¥. f = f ′ π:′πG −→ G/G′ = Gabց ↓ ∃!f ′fA„®ª § ⥫ìá⢮. ’ ª ª ª ¤«ï x, y ∈ G ¨¬¥¥â f ([x, y]) = [f (x), f (y)] = eA (f — £®¬®¬®à䨧¬£à㯯, A — ª®¬¬ãâ ⨢­ ï £à㯯 ), â® f (G′ ) = eA , â. ¥.

G′ = Ker π ⊆ Ker f . DZ®« £ ï f ′ (gG′ ) = f (g),¢¨¤¨¬, çâ®: ) íâ® ®âà ¥­¨¥ ®¯à¥¤¥«¥­® ª®à४⭮ (gG′ = hG′ ⇒ g−1 h ∈ G′ ⇒ f (g−1)f (h) = f (g−1 h) =eA ⇒ f (g) = f (h));¡) f ′ (gG′ hG′ ) = f ′ (ghG′ ) = f (gh) = f (g)f (h) = f ′(gG′ )f ′ (hG′ ) â. ¥. f ′ — £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯;¢) ïá­®, çâ® f = f ′ π, ¯®áª®«ìªã f ′ π(g) = f ′ (gG′ ) = f (g) ¤«ï ¢á¥å g ∈ G. â® á®®¡à ¥­¨¥ —®¤­ ¨§ ä®à¬ â¥®à¥¬ë ® £®¬®¬®à䨧¬¥ (⥮६ ® ä ªâ®à¨§ 樨). DZந§¢®¤­ë© àï¤ ª®¬¬ã⠭⮢. áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 àï¤ ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G, ­ §ë¢ ¥¬ë© ¯à®¨§¢®¤­ë¬ à冷¬ ª®¬¬ãâ ­-⮢:(ª ¤ ïG(i−1) ).G ⊇ G′ ⊇ G′′ = [G′ , G′ ] ⊇ .

. . ⊇ G(i) = [G(i−1) , G(i−1) ] ⊇ . . .á«¥¤ãîé ï ¯®¤£à㯯 G(i) ï¥âáï ª®¬¬ã⠭⮬ [G(i−1) , G(i−1) ] ¯à¥¤ë¤ã饩 ¯®¤£àã¯¯ë‡ ¬¥ç ­¨¥.¥á«¨ f : G → H — £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯, â® f ([x, y]) = [f (x), f (y)], ¨ ¯®í⮬ã f (G′ ) ⊆ H ′ .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f (G′′ ) ⊆ H ′′ , ¨ ¤ «¥¥ f (G(i) ) ⊆ H (i) ;2) ¥á«¨ f : G → G, f (x) = g −1 xg ¤«ï x ∈ G, — ¢­ãâ७­¨© ¢â®¬®à䨧¬, â®, ¯à¨¬¥­ïï 1), ¢¨¤¨¬,çâ® g−1 G(i) g ⊆ Gi , â. ¥. Gi ⊳ G (¢á¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¯à®¨§¢®¤­®£® àï¤ ­®à¬ «ì­ë ¢ G).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

ƒà㯯 G ­ §ë¢ ¥âáï à §à¥è¨¬®© (ª« áá i), ¥á«¨ G(i) = {e} ¤«ï ­¥ª®â®à®£® i.‡ ¬¥ç ­¨¥. …᫨ G — ¡¥«¥¢ £à㯯 , â® G′ = {e}.1)‹¥¬¬ . …᫨ G — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 (ª« áá i) ¨ H — ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G, â® H — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 (ª« áá ­¥ ¢ëè¥, 祬 i).„®ª § ⥫ìá⢮. ’ ª ª ª G(k) ⊇ H (k) , â® {e} = G(i) ⊇ H (i) â. ¥. H (i) = {e}. ‹¥¬¬ . …᫨ f : G → H — áîàꥪ⨢­ë© £®¬®¬®à䨧¬ ¨ G — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 (ª« áá i), â® H = f (G) — â ª¥ à §à¥è¨¬ ï £à㯯 (ª« áá ­¥ ¢ëè¥, 祬 i).„®ª § ⥫ìá⢮. ’ ª ª ª f ([x, y]) = [f (x), f (y)] ¨ f — áîàꥪ⨢­ë© £®¬®¬®à䨧¬, â® f (G′ ) =H ′, ¯®í⮬ã H (i) = f (G(i) ) = {eH }.10‹¥ªæ¨ï 10http://mmresource.nm.ru/‘«¥¤á⢨¥.

…᫨ G — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 (ª« áá i) ¨ N ⊳ G, â® ä ªâ®à£à㯯 G/N —à §à¥è¨¬ ï £à㯯 (ª« áá ­¥ ¢ëè¥, 祬 i).„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâਬ ª ­®­¨ç¥áª¨© áîàꥪ⨢­ë© £®¬®¬®à䨧¬ πN : G → G/N . ’¥®à¥¬ . ƒà㯯 G à §à¥è¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ £à㯯¥ G áãé¥áâ¢ã¥â áã¡­®à¬ «ì­ ï æ¥¯ì ¯®¤£à㯯G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ . . .

⊃ Gi−1 ⊃ Gi ⊃ . . . ⊃ Gr = {e}(íâ®®§­ ç ¥â, çâ® Gi−1 ⊲ Gi ¤«ï ¢á¥å i) c ¡¥«¥¢ë¬¨ ä ªâ®à£à㯯 ¬¨ Gi−1 /Gi ¤«ï ¢á¥å i.„®ª § ⥫ìá⢮.1)„®¯ãá⨬, çâ® £à㯯 G à §à¥è¨¬ ï.  áᬮâਬ æ¥¯ì ­®à¬ «ì­ëå ¯®¤£à㯯 ª®¬¬ã⠭⮢G ⊃ G′ ⊃ G′′ ⊃ . . . ⊃ G(i) = {e},£¤¥ G(i−1) /G(i) = G(i−1) /[G(i−1) , G(i−1) ] — ¡¥«¥¢ £à㯯 ¤«ï ¢á¥å i.2) „®¯ãá⨬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â 㪠§ ­­ ï áã¡­®à¬ «ì­ ï æ¥¯ì ¯®¤£à㯯 á ¡¥«¥¢ë¬¨ ä ªâ®à ¬¨.’ ª ª ª G0 /G1 — ª®¬¬ãâ ⨢­ ï £à㯯 , â® G′ ⊆ G1 . „ «¥¥, G′′ = [G′ , G′ ] ⊆ [G1 , G1 ] ⊆ G2 ,¯®áª®«ìªã G1 /G2 — ¡¥«¥¢ £à㯯 .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, G(i) ⊆ Gi ¤«ï ¢á¥å i, ¨ ¯®í⮬ã G(r) ⊆ Gr ={e}, â. ¥. G — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 (ª« áá ­¥ ¢ëè¥, 祬 r). ‘«¥¤á⢨¥. …᫨ N — ­®à¬ «ì­ ï ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G, â® G — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ N ¨ G/N — à §à¥è¨¬ë¥ £à㯯ë.„®ª § ⥫ìá⢮. 1) …᫨ G — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 , â®, ª ª ¬ë 㥠¤®ª § «¨, N ¨ G/N —à §à¥è¨¬ë¥ £à㯯ë.2) „®¯ãá⨬, çâ® N ¨ G/N = Ḡ à §à¥è¨¬ë¥ £à㯯ë. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â áã¡­®à¬ «ì­ë¥ 楯¨ á ¡¥«¥¢ë¬¨ ä ªâ®à£à㯯 ¬¨ ¡¥«¥¢ë £à㯯ë,G/N = Ḡ = Ḡ0 ⊃ Ḡ1 ⊃ . .

Характеристики

Список файлов лекций