А.В. Михалёв - Лекции по высшей алгебре (1106006), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

¥. π ∗ — £®¬®¬®à䨧¬ R-¬®¤ã«¥©).2) DZ®ª ¥¬, çâ® (π ∗ )2 = π ∗ .2 ) …᫨ x ∈ R M , â®Xπ ∗ (x) = n−1g −1 π(gx) ∈ R B,g∈G¯®áª®«ìªã Im π = B ¨ R B — R-¯®¤¬®¤ã«ì.2¡) …᫨ b ∈ R B, â® gb ∈ R BP¤«ï g ∈ G, ¨ ¯®í⮬ã π(gb) = gb.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, π∗ (b) = n−1 g∈G g−1 π(gb) = n−1 Pg∈G g−1gb = b. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, Im π∗ = R B.2¢) …᫨ x ∈ R M , â®(π ∗ )2 (x) = π ∗ (π ∗ (x)) = π ∗ (x),â.

¥. (π∗ )2 = π∗ .‡ ¬¥ç ­¨¥. …᫨ K = Zp ¨ n = |G| = pq, â® ¤«ï í«¥¬¥­â r = Pg∈G g «¥¢ë© ¨¤¥ « KGKr ­¥¢ë¤¥«ï¥âáï ¯àï¬ë¬ á« £ ¥¬ë¬ ¢ KG KG (â. ¥. ¢ í⮬ á«ãç ¥ ⥮६ Œ 誥 ­¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ®).‹¥¬¬ .„à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë Œ 誥(­ ¤ ¯®«¥¬ C ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥«).DZãáâì ρ : G → Aut C V — ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ª®­¥ç­®© £à㯯ë G ¢«¨­¥©­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V ­ ¤ ¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥«. ’®£¤ ¢ V áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥íନ⮢® ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥, çâ® ¢á¥ ρ(h), h ∈ G, ïîâáï ã­¨â à­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨.„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì {e1 , . . . , en } — ¡ §¨á «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠C V ,n-¬¥à­®¬(x, y) =nXxi ȳi ,x=i=1nXxi ei ,y=i=1nXyi ei , —i=1ª ­®­¨ç¥áª®¥ ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥.

 áᬮâਬ ­®¢®¥ ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥[x, y] =X(g(x), g(y)).g∈G38‹¥ªæ¨ï 16http://mmresource.nm.ru/’®£¤ ¤«ï ¢á类£® h ∈ G ¨¬¥¥¬:X[h(x), h(y)] =X(g(h(x)), g(h(g))) =g∈G((gh)(x), (gh)(y)) =g∈GX(z(x), z(y)) = [x, y].z∈G„®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë Œ 誥. DZãáâì C Bρ(h)(B) ⊆ B«¥¬¬¥,¤«ï ¢á¥å h∈ G).— G-¨­¢ ਠ­â­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ C V (â. ¥.’®£¤ ¢ íନ⮢®¬ ᪠«ïà­®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¨ [, ], ¯®áâ஥­­®¬ ¢CV= CU ⊕ CU ⊥,¯à¨ í⮬ U ⊥ — ρ(h)-¨­¢ ਠ­â­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¤«ï ¢á¥å h ∈ G, (â. ¥.

¯®¤¬®¤ã«ì CG B ¢ë¤¥«ïîâáï ¯àï¬ë¬ á« £ ¥¬ë¬ ¢ CG V ). ‘«¥¤áâ¢¨ï ¨§ â¥®à¥¬ë Œ 誥.’¥®à¥¬ . DZãáâì G — ª®­¥ç­ ï £à㯯 , |G| = n, K — ¯®«¥, char K = 0 ¨«¨ char K = p ¨ n ­¥ ¤¥«¨âáï ­ p (¢ ç áâ­®áâ¨, K = C), KG M — ¬®¤ã«ì ­ ¤ £à㯯®¢®© «£¥¡à®© KG, dim K M < ∞. ’®£¤ KG M ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¬®¤ã«¥© (¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢á类¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ª®­¥ç­®© £àã¯¯ë ­ ¤ C ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå, â. ¥. ¢¯®«­¥ ¯à¨¢®¤¨¬®).„®ª § ⥫ìá⢮.

) …᫨ KG M — ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬®¤ã«ì, â® ¢áñ ¤®ª § ­®.¡) …᫨ KGM — ¯à¨¢®¤¨¬ë© KG-¬®¤ã«ì, â® 0 ⊂ KG B ⊂ KG M ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ᮡá⢥­­®£®¯®¤¬®¤ã«ï KG B. ‚ ᨫã â¥®à¥¬ë Œ 誥, KGM = KG B ⊕ KG C. DZ஢®¤ï ¨­¤ãªæ¨î ¯® dim K M ,KG B ¨ KG C — ¯àï¬ë¥ áã¬¬ë ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå KG-¬®¤ã«¥©, â.

¥. KG M — ¢¯®«­¥ ¯à¨¢®¤¨¬ë©KG-¬®¤ã«ì. ’¥®à¥¬ . DZãáâì G — ª®­¥ç­ ï £à㯯 , |G| = n, K — ¯®«¥, char K = 0 ¨«¨ char K = p¨ (p, n) = 1 (¢ ç áâ­®áâ¨, K = C). ’®£¤ ª ¤ë© ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© KG-¬®¤ã«ì KG M ¨§®¬®à䥭­¥ª®â®à®¬ã «¥¢®¬ã ¨¤¥ «ã £à㯯®¢®© «£¥¡àë R = KG (¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ª ¤®¥­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ॣã«ïà­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥).„®ª § ⥫ìá⢮.

’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® 0 6= m ∈ R M ¨¬¥¥¬ R M = Rm, â® R M ∼= R R/ Ann R m.DZ®áª®«ìªã ¤«ï R B = Ann R m ¯® ⥮६¥ Œ 誥:RR¤«ï ­¥ª®â®à®£® «¥¢®£® ¨¤¥ « R C, â®RM= RB ⊕ RC∼= R R/R B ∼= R C ⊆ R R.’¥®à¥¬ . ‚ ãá«®¢¨ïå â¥®à¥¬ë Œ 誥 (¢ ç áâ­®á⨠­ ¤ C) ¯ãáâì I = {KG Ni, i ∈ I} — ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥å ¯®¯ à­® ­¥¨§®¬®àä­ëå ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå KG-¬®¤ã«¥© Ni , Ni < ∞. ’®£¤ :1) ª ¤ë© KG-¬®¤ã«ì KG M ®¤­®§­ ç­® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥KG M= ⊕ Mi ,i∈IriMi = ⊕ Mij ,j=1Mij ∼= Ni(â.

¥.¯®¤¬®¤ã«¨ Mi ¢ M ¨ ªà â­®á⨠¢å®¤¥­¨ï ri ­¥¯à¨¢®¤¨¬®£® ¬®¤ã«ï Ni ¢ Mi ®¯à¥¤¥«¥­ë®¤­®§­ ç­®);2) íâ® ¬­®¥á⢮ ª®­¥ç­®, |I| = r < ∞.r„®ª § ⥫ìá⢮. 1) DZ।áâ ¢«¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ M = ⊕ Mi = ⊕ ⊕ Mij , Mij ∼= Ni , á«¥¤ã¥â ¨§i¯®«­®© ¯à¨¢®¤¨¬®á⨠KG-¬®¤ã«ï KG M . DZãáâì πij39i∈Ii j=1: M → Mij —¯à®¥ªæ¨¨ ­ Mij , 1M=Pπij .‹¥ªæ¨ï 16http://mmresource.nm.ru/…᫨ m ∈ M ¨ πij (m) = 0 ¤«ï ¢á¥å i, j, â® m = 1M (m) = P πij (m) = 0.

DZ®í⮬㠥᫨ 0 6= KG U ⊂KG M — ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¯®¤¬®¤ã«ì, â® πij (U ) 6= 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® πij . ’ ª ª ª Mij — ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë©KG-¬®¤ã«ì, â® πij (U ) = Mij , Ker πij ∩ U = 0, ¨ ¯®í⮬ã U ∼= Ni . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï k 6= i¨¬¥¥¬ πkl (U ) = 0 (¨­ ç¥ Ni ∼=U ∼= Nk ¯à¨ i 6= k). ’®£¤ U = 1M (U ) =Xπij (U ) ⊆ Mi .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¤¬®¤ã«ì Mi ᮢ¯ ¤ ¥â á á㬬®© ¢á¥å ¯®¤¬®¤ã«¥©, ¨§®¬®àä­ëå ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¬ã¬®¤ã«î Ni (â. ¥.

¡«®ª Mi ®¯à¥¤¥«ñ­ ®¤­®§­ ç­®).’ ª ª ª ri = dim K Mi/ dim K Ni (dim K Mij = dim K Ni ), â® ªà â­®á⨠¢å®¤¥­¨ï ri â ª¥ ®¯à¥¤¥«¥­ë ®¤­®§­ ç­®.2) Š ¤ë© ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬®¤ã«ì Ni ¢å®¤¨â ª ª «¥¢ë© ¨¤¥ « ¢ ॣã«ïà­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥KG KG. DZਬ¥­ïï 1) ª KG KG, dim K KG = |G| = n < ∞, ¢¨¤¨¬, çâ® |I| = r < ∞, â. ¥.

¨¬¥¥¬ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® r ­¥¨§®¬®àä­ëå ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©KG N1 , . . . , KG Nr .’¥®à¥¬ . DZãáâì K = C. Šà â­®áâì ri ¢å®¤¥­¨ï ­¥¯à¨¢®¤¨¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï CG Ni ¢ ॣã«ïà­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ CG CG à ¢­ ¥£® à §¬¥à­®áâ¨ni = dim C Ni .r∼„®ª § ⥫ìá⢮. DZãáâì CG CG = ⊕ ⊕ Nij , Nij = Ni . ’ ª ª ª ¢á¥£¤ Hom(R R, R N ) ∼= N (ª ii j=1¤®¬ã f ∈ Hom(R R, R N ) ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï í«¥¬¥­â f (1) ∈ N ), â®ri⊕ Hom(CG Nij , CG Ni ) ∼= Hom(CG CG, CG Ni ) ∼= C Ni .j=1® ¯® «¥¬¬¥ ˜ãà DZ®í⮬ã CriHom(CG Nij , CG Ni ) ∼= Hom(CG Ni , CG Ni ) ∼= C.∼= C Ni ¨ ri = dim C Ni = ni . PP 21.

n = |G| = dim C CG =ri · ni =ni (â. ¥.‘«¥¤á⢨¥á㬬 ª¢ ¤à ⮢ à §¬¥à­®á⥩­¥¨§®¬®àä­ëå ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© à ¢­ ¯®à浪㠣à㯯ë).2) …᫨ G — ¡¥«¥¢ £à㯯 , â® ni = dim Ni = 1, ¨ ¯®í⮬ã ri = ni = 1.’¥®à¥¬ . CG ∼= i∈I⊕ End C Ni , £¤¥ End C Ni ∼= Mn (C), ni = dim C Ni .„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ C- «£¥¡à:i∈Ii∈Ii∆ : CG → ⊕ End C Ni ,i∈I£¤¥ ¤«ï a ∈ CG∆(a) = (. . . , ai , .

. .), ai : C Ni → C Niai (x) = ax ¤«ï x ∈ CG Ni .…᫨ a ∈ Ker ∆, â® ax = 0 ¤«ï ¢á¥å x ∈ Ni ¨ ¤«ï ¢á¥å i, â. ¥. aNi = 0. …᫨ CGN ∼= CG Ni , ¯ãáâìf : CG N → CG Ni — ¨§®¬®à䨧¬, â® aN = 0, ¯®áª®«ìªã f (aN ) = af (N ) = aNi = 0.’ ª ª ª CGCG = i,j⊕ Nij , Nij ∼= Ni , â® ab = 0 ¤«ï ¢á¥å b ∈ CG. DZਠb = 1 ¨¬¥¥¬ a = 0, â. ¥. ∆ —¨­ê¥ªæ¨ï.’ ª ª ªdim C Im ∆ = dim C CG = |G| ==Xdim C (Mni (C)) =i∈IXi∈I40Xn2i =i∈Idim C (End Ni ),‹¥ªæ¨ï 16http://mmresource.nm.ru/â® ∆ — áîàꥪæ¨ï.’¥®à¥¬ .

DZãáâì K = C, |G| = n < ∞. —¨á«® r ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© £à㯯ë G ­ ¤¯®«¥¬ C à ¢­® ç¨á«ã ª« áᮢ ᮯàïñ­­®áâ¨ í«¥¬¥­â®¢.„®ª § ⥫ìá⢮.’ ª ª ª Z(End C Ni) = C · 1N , â® dim C Z(End C Ni) = 1. DZ®áª®«ìªã CG ∼= ⊕ End C Ni , |I| = r, â®i∈IirZ(CG) ∼= ⊕ Z(End C Ni ).i=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮,dim C Z(CG) = r,â. ¥. ç¨á«® ª« áᮢ ᮯàïñ­­ëå í«¥¬¥­â®¢ ᮢ¯ ¤ ¥â á ç¨á«®¬ r ­¥¨§®¬®àä­ëå ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©. ‘«¥¤á⢨¥. DZãáâì G — ª®­¥ç­ ï £à㯯 , à §¬¥à­®áâì dim K Z(KG) à ¢­ ç¨á«ã ª« áᮢ ᮯàïñ­­ëå í«¥¬¥­â®¢ £à㯯ë G (å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨 ª« áᮢ ᮯàïñ­­ëå í«¥¬¥­â®¢®¡à §ãîâ ®¤¨­ ¨§ ¡ §¨á®¢ «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠K Z(KG).„®ª § ⥫ìá⢮. „«ï ª ¤®£®PP ª« áá C ᮯà省­ëå í«¥¬¥­â®¢ £à㯯ë G à áᬮâਬ í«¥¬¥­âŸá­®, çâ® ¨§ λC zCCí«¥¬¥­â®¢ CP£à㯯ë G.…᫨ a = ag g ∈ Z(KG), â® awgwzC =gi .gi ∈C−1= 0á«¥¤ã¥â, çâ®= ag ,â® a =41PCλC = 0λC zC ,¤«ï ¢á¥å ª« áᮢ ᮯàïñ­­ë壤¥ λC = ag ¤«ï g ∈ C.‹¥ªæ¨ï 17http://mmresource.nm.ru/‹…Š–ˆŸ17.19¤¥ª ¡àï 2002 £.• à ªâ¥àë ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©.∼DZãáâì ρ : G → Aut(C V ) = GLn (C) — ª®­¥ç­® ¬¥à­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ £à㯯ë G ­ ¤ ¯®«¥¬ Cª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥«.

…£® å à ªâ¥à®¬ χ = χρ : G → C ­ §ë¢ ¥âáï ®â®¡à ¥­¨¥, ¤«ï ª®â®à®£®χρ (g) = Tr(ρ(g)) ¤«ï g ∈ G, £¤¥ Tr(ρ(g)) — á«¥¤ ¬ âà¨æë ρ(g) (â. ¥. á㬬 ¥ñ ¤¨ £®­ «ì­ëåí«¥¬¥­â®¢)..  ¯®¬­¨¬, çâ® ¤«ï A, B ∈ Mn (C)1) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B);2) Tr(αA) = α Tr(A) ¤«ï α ∈ C;3) Tr(AB) = Tr(BA);4) Tr(E) = n.DZ®í⮬ã Tr(CAC −1 ) = Tr(A). Šà®¬¥ ⮣®, |A − λE| = (−1)n λn + (−1)n−1 Tr(A)λn−1 + . . . + |A|.().1) …᫨ ρ ∼= ρ′ , â® χρ = χρ′ (ª ª 㢨¤¨¬ ¯®§¥, ¢¥à­® ¨ ®¡à â­®¥).2) …᫨ y = h−1 xh, x, y, h ∈ G, â® χρ (y) = χρ (x) (â.

¥. å à ªâ¥à χρ ∈ CG ï¥âáï ª®­á⠭⮩ ­ ª« áᥠᮯàïñ­­ëå í«¥¬¥­â®¢).3) χρ (g −1 ) = χρ (g) ¤«ï g ∈ G.4) …᫨ ρ = ρ1 ⊕ ρ2 , â® χρ = χρ1 + χρ2 .5) χρ (e) = n, £¤¥ n = dim C V .6) …᫨ CG V = CG CG, C V = C CG, dim C V = |G|, ρreg : G → Aut(C CG) — ॣã«ïà­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥, ρreg (g)(h) = gh, g, h ∈ G, â® χreg (e) = |G|, χreg (g) = 0 ¤«ï g 6= e.7) …᫨ dim C V = 1, â® χρ (g) = ρ(g) ¤«ï g ∈ G.„®ª § ⥫ìá⢮. 1) …᫨ ρ ∼= ρ′ , â® ρ(g) = T −1 ρ′ (g)T , ¨ ¯®í⮬ã χρ (g) = Tr(ρ(g)) = Tr(ρ′ (g)) =χρ′ (g).2) „¥©á⢨⥫쭮,‡ ¬¥ç ­¨¥’¥®à¥¬ ᢮©á⢠å à ªâ¥à®¢χρ (y) = Tr(ρ(y)) = Tr(ρ(h)−1 ρ(x)ρ(h)) = Tr(ρ(x)) = χρ (x).…᫨ A ∈ Mn (C) ¨ Ak = E, â® λk − 1 — ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ ¡¥§ ªà â­ëå ª®à­¥©,¨ ¯®í⮬㠬¨­¨¬ «ì­ë© ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ ¬ âà¨æë A ª ª ¤¥«¨â¥«ì ¬­®£®ç«¥­ λk − 1â ª¥ ­¥ ¨¬¥¥â ªà â­ëå, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢á¥ ®à¤ ­®¢ë ª«¥âª¨ ¢®à¤ ­®¢®© ä®à¬¥ ¬ âà¨æë A3)¯¥à¢®£® ¯®à浪 , â.

¥. ¬ âà¨æ A ¯®¤®¡­ ¤¨ £®­ «ì­®© ¬ âà¨æ¥ λ1...... 0...k. .. , λi = k, |λi | = 1.. . . λn0−1  λ−1 . . .0... 01 .... , ¯à¨ í⮬ λ−1 = λ¯i = λ¯ .....’®£¤ i. ..  =  ...i|λi |2. −10 . . . λn0. . . λn’ ª ª ª |G| < ∞, â® íâ® ¯à¨¬¥­¨¬® ¨ ¤«ï ρ(g), g ∈ G. DZ®í⮬ã χρ(g) = Tr(ρ(g)) = λ1 + . . . + λnλ1 ...χρ (g −1 ) = Tr(ρ(g −1 )) = Tr(ρ(g)−1 ) == λ¯1 + .

Характеристики

Список файлов лекций