А.В. Михалёв - Лекции по высшей алгебре (1106006)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ŒŽ‘ŠŽ‚‘Šˆ‰ ƒŽ‘“„€‘’‚…›‰ “ˆ‚…‘ˆ’…’¨¬¥­¨ Œ. ‚. ‹ŽŒŽŽ‘Ž‚€Œ¥å ­¨ª®-¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ä ªã«ìâ¥â€. ‚. Œ¨å «ñ¢‹…Š–ˆˆ DZŽ ‚›‘˜…‰ €‹ƒ……IIIᥬ¥áâà‚¥àá¨ï ®â 14.01.20031‹¥ªæ¨ï 8http://mmresource.nm.ru/‹…Š–ˆŸ8.21®ªâï¡àï 2002 £.DZ®«¨£®­ë ­ ¤ £à㯯®©. §«¨ç­ë¥ £àã¯¯ë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¤ îâ ¥áâ¥á⢥­­ë¥ ¨ ¬­®£®ç¨á«¥­­ë¥ ¯à¨¬¥àë ¤¥©á⢨ï£à㯯 ­ ¬­®¥á⢠å. â® ®¡®á­®¢ë¢ ¥â à áᬮâ७¨¥ ¯à ¢®£® ¯®«¨£®­ M ­ ¤ £à㯯®© G (¨«¨¯à ¢ë© G-¯®«¨£®­, ®¡®§­ 祭¨¥ MG ): ¬­®¥á⢠M ¨ ®â®¡à ¥­¨ï M × G → M , ¯à¨ ª®â®à®¬(m, g) → mg, m ∈ M , g ∈ G, ¯à¨ í⮬1) m(gh) = (mg)h ¤«ï ¢á¥å m ∈ M , g, h ∈ G;2) me = m ¤«ï m ∈ M ¨ ­¥©âà «ì­®£® í«¥¬¥­â e ∈ G.…᫨ S(M ) — £à㯯 ¯®¤áâ ­®¢®ª ­ ¬­®¥á⢥ M , â. ¥.

£à㯯 ¢á¥å ¡¨¥ªæ¨© σ : M → M á ®¯¥à 樥© ª®¬¯®§¨æ¨¨, â® § ¤ ­¨¥ áâàãªâãàë ¯®«¨£®­ MG à ¢­®á¨«ì­® § ¤ ­¨î ­â¨£®¬®¬®à䨧¬ £à㯯ϕ : G → S(M ).Žâ¬¥â¨¬, çâ® ­ ¬­®¥á⢥ S(M ) ¬®­® à áᬮâà¥âì ¤¢ 㬭®¥­¨ï, ¯à¥¢à é îé¨å S(M ) ¢£à㯯ã. …᫨ ¬ë ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì ®â®¡à ¥­¨ï á«¥¢ ®â à£ã¬¥­â , â® ¤«ï M →g M →f M ¨¬¥¥¬(f g)(m) = f (g(m)) ¤«ï ¢á¥å m ∈ M ; ¥á«¨ á¯à ¢ ®â à£ã¬¥­â , â® ¨¬¥¥¬ m(gf ) = (mg)f ¤«ï ¢á¥åm ∈ M . ‚ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ S(M ) á 㬭®¥­¨¥¬ á«¥¢ ®¡®§­ 稬 ç¥à¥§ S l (M ), ¢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ á㬭®¥­¨¥¬ á¯à ¢ — ç¥à¥§ S r (M ), ¯à¨ í⮬ ⮤¥á⢥­­®¥ ®â®¡à ¥­¨¥ S l (M ) → S r (M ), f → f ,ï¥âáï ­â¨¨§®¬®à䨧¬®¬ £à㯯, ¯®áª®«ìªã f g ¯¥à¥å®¤¨â ¢ gf .„¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì MG — ¯à ¢ë© ¯®«¨£®­. ’®£¤ ¤«ï g ∈ G ®â®¡à ¥­¨¥ ϕ(g) : M → M ,ϕ(g)(m) = mg ¤«ï m ∈ M , ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©, ¯®áª®«ìªã ϕ(g)ϕ(g −1 ) = 1M = ϕ(g −1 )ϕ(g), â ª ª ª¤«ï m ∈ M ¨¬¥¥¬ mg−1g = me = m = mgg−1 .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®â®¡à ¥­¨¥ ϕ : G → S l (M ), â ª ª ª ϕ(g) ∈ S l (M ) ¤«ï ¢á¥å g ∈ G.…᫨ g, h ∈ G, m ∈ M , â® ϕ(gh)(m) = m(gh) = (mg)h = ϕ(h)(ϕ(g)(m)), â.

¥. ϕ(gh) = ϕ(h)ϕ(g),¨â ª, ϕ : G ∈ S l (M ) ï¥âáï ­â¨£®¬®à䨧¬®¬ £à㯯 ( ­â¨¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬). …᫨ ¨á¯®«ì§®¢ âìS r (m), â® ¨¬¥¥¬ mϕ(g) = mg, mϕ(gh) = m(gh) = (mg)h = mϕ(g)ϕ(h), â. ¥. ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h), ¨â ª,ϕ : G → S r (m) ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ £à㯯 (¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬).…᫨ § ¤ ­ ­â¨£®¬®¬®à䨧¬ ϕ : G → S l (m) (¨«¨ £®¬®¬®à䨧¬ ϕ : G → S r (m)), â® ¯®« £ ïmg = ϕ(g)(m) (ᮮ⢥âá⢥­­®, mg = mϕ(g)), ¢¨¤¨¬, çâ® m(gh) = (mg)h ¨ me = m, â. ¥. MG ¯®«¨£®­.“¯à ­¥­¨¥. DZ஢¥á⨠­ «®£¨ç­®¥ à áᬮâ७¨¥ ¤«ï «¥¢®£® ¯®«¨£®­ GM , ¢ ª®â®à®¬(gh)m = g(hm), em = m.Žà¡¨âë í«¥¬¥­â®¢ ¯®«¨£®­ .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Žà¡¨â®© í«¥¬¥­â m ¯®«¨£®­ MG ­ ¤ £à㯯®© G ­ §®¢¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯®¤¬­®¥á⢮ ¢ M : Orb(m) = {mg|g ∈ G} (= mG).‡ ¬¥ç ­¨¥ 1.y ∈ Orb(m) ⇔ Orb(y) = Orb(m).„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ y = mg, â® yh = mgh ¤«ï h ∈ G, â. ¥.

yG ⊆ mG. ’ ª ª ª m = yg−1 , â®mG ⊆ yG. ˆâ ª, yG = mG. …᫨ yG = mG, â® y = ye ∈ yG = mG.‡ ¬¥ç ­¨¥ 2. Žâ­®è¥­¨¥ y ∼ x ⇔ y = xg, g ∈ G (â. ¥. y ∼ x ⇔ Orb(y) = Orb(x)) ï¥âáï®â­®è¥­¨¥¬ íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨.„¥©á⢨⥫쭮,1) x = xe, â. ¥. x ∼ x;2) ¥á«¨ z ∼ y, y ∼ x, â. ¥.

z = yh, y = xg, h, g ∈ G, â® z = xgh, â. ¥. z ∼ x;3) ¥á«¨ y ∼ x, â. ¥. y = xg, g ∈ G, â® x = yg −1 , â. ¥. x ∼ y.’¥®à¥¬ (à §¡¨¥­¨¥ ­ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ®à¡¨âë). …᫨MG — ¯®«¨£®­ ­ ¤ £à㯯®© G,.â® MG ï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®à¡¨â: MG = ∪i Orb(mi ), £¤¥ mi — ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¨®à¡¨â (â. ¥. ¢ë¡à ­­ë¥ ¯® ®¤­®¬ã í«¥¬¥­âã ¢ ª ¤®© ®à¡¨â¥).2‹¥ªæ¨ï 8http://mmresource.nm.ru/‘«¥¤á⢨¥. …᫨ |MG | < ∞, â® |MG| = | Orb(m1)| + . .

. + | Orb(mk )|, £¤¥ m1, . . . , mk — ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¨ ®à¡¨â.„®ª § ⥫ìá⢮. ¢ë⥪ ¥â ¨§ à áᬮâ७¨ï ®â­®è¥­¨ï íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨: y ∼ x ⇔ Orb(y) =Orb(x).‡ ¬¥ç ­¨¥. …᫨ MG = Orb(m), m ∈ G (â. ¥. ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ ï ®à¡¨â ), â® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì,çâ® £à㯯 G ¤¥©áâ¢ã¥â âà ­§¨â¨¢­®.‘â ¡¨«¨§ â®à í«¥¬¥­â ¯®«¨£®­ .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. …᫨ p ∈ MG, â® áâ ¡¨«¨§ â®à®¬ í«¥¬¥­â p ­ §®¢¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯®¤¬­®¥á⢮£à㯯ë G: St(p) = {g ∈ G|pg = p}.’¥®à¥¬ .DZãáâì p ⊂ MG. ’®£¤ :áâ ¡¨«¨§ â®à St(p) í«¥¬¥­â p ∈ G ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© £à㯯ë G;ᮮ⢥âá⢨¥ ¬¥¤ã ᬥ­ë¬¨ ª« áá ¬¨ St(p)a, a ∈ G, ¨ í«¥¬¥­â ¬¨ pa ∈ pG = Orb(p)ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©;3) ¥á«¨ |G| = n < ∞, â® |G| = | Orb(p)| · | St(p)| (¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮, | Orb(p)| ¨ | St(p)| — ¤¥«¨â¥«¨|G|ç¨á« n = |G|, ¯à¨ í⮬ | Orb(p) = | St(p)|).„®ª § ⥫ìá⢮.1)2)…᫨ g, h ∈ St(p) â.

¥. pg = p ¨ ph = p, â® pgh = ph = p, ¨ ¯®í⮬ã gh ∈ St(p). …᫨ g ∈ St(p),pg = p, â® pg −1 = pgg −1 = pe = p, ¨ ¯®í⮬ã g −1 ∈ St(p). Ÿá­®, çâ® pe = p, â. ¥. e ∈ St(p), â. ¥.St(p) 6= ∅. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, St(p) — ¯®¤£à㯯 £à㯯 G.2) …᫨ a, b ∈ G, â® pa = pb ⇔ pab−1 = p ⇔ ab−1 ∈ St(p) ⇔ St(p)a = St(p)b. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ãáâ ­®¢«¥­ ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¤ã à §«¨ç­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨ ®à¡¨âë pG = Orb(p) ¨ ¬­®¥á⢮¬ à §«¨ç­ëåᬥ­ëå ª« áᮢ St(p)a ¯® ¯®¤£à㯯¥ St(p): pa ↔ St(p)a.3) ‚ ᨫã 2), ç¨á«® à §«¨ç­ëå ᬥ­ëå ª« áᮢ ¯® ¯®¤£à㯯¥ St(p) ᮢ¯ ¤ ¥â á | Orb(p)|. DZà¨|G|¬¥­ïï ⥮६㠋 £à ­ , ¯®«ãç ¥¬: |G| = | Orb(p)| · | St(p)|. ‚ ç áâ­®áâ¨, | Orb(p)| = | St(p)|.

′. …᫨ p = pa ∈ Orb(p), p ∈ MG , â®:1) St(p)a = {g ∈ G|pg = p′ };2) St(p′ ) = a−1 St(p)a ( â. ¥. St(p′ ) — ¯®¤£à㯯 , ᮯà省­ ï á ¯®¤£à㯯®© St(p)).„®ª § ⥫ìá⢮. 1) ” ªâ¨ç¥áª¨, í⮠㥠¡ë«® ¯à®¢¥à¥­® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥: pg = p′ ⇔pg = pa ⇔ pga−1 = p ⇔ ga−1 ∈ St(p) ⇔ g ∈ St(p)a.2) „¥©á⢨⥫쭮, g ∈ St(p′ ) ⇔ pag = pa ⇔ paga−1 = p ⇔ aga−1 ∈ St(p) ⇔ g ∈ a−1 St(p)a. 1)â.

¥.‹¥¬¬ DZਬ¥àDZਬ¥àë ¯®«¨£®­®¢.1. MG = {1, 2, . . . , n}Sn , £¤¥ iσ — §­ 祭¨¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ σ ∈ Sn ­ í«¥¬¥­â¥ i ¨§{1, 2, . . . , n}. ’ ª ª ª i(i, j) = j ¤«ï 横« (i, j), â® íâ® ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë Sn ­ {1, 2, . . . , n} âà ­§¨â¨¢­®. Ÿá­®, çâ®, ­ ¯à¨¬¥à, St(n) = Sn−1 . ®«¥¥ ®¡é¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ¬­®¥á⢠M ¨£àã¯¯ë ¢á¥å ¡¨¥ªæ¨© S(M ) ¨¬¥¥¬ ¯®«¨£®­ MS(M) .2. …᫨ H — ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G ¨ MG — ¯®«¨£®­, â® MH — ¯®«¨£®­ ­ ¤ £à㯯®©H.3. DZãáâì σ ∈ Sn , (σ) — 横«¨ç¥áª ï ¯®¤£à㯯 ¢ Sn , ¯®à®¤¥­­ ï ¯®¤áâ ­®¢ª®©σ. ’®£¤ : {1, 2, . . . , n}(σ) — ¯®«¨£®­ ­ ¤ £à㯯®© (σ), ¥£® à §«¨ç­ë¥ ®à¡¨âë — íâ® ¢ â®ç­®á⨭¥¯¥à¥á¥ª î騥áï 横«ë ¯®¤áâ ­®¢ª¨ (σ), ¯¥à¥áâ ­®¢®ç­ë¥ ¬¥¤ã ᮡ®©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ã⢥थ­¨¥:.

DZãáâì σ ∈ Sn . ’®£¤ :1) ¯®¤áâ ­®¢ª σ ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ 横«®¢ (á ­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ®à¡¨â ¬¨ ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®¯ à­® ¯¥à¥áâ ­®¢®ç­ëå ¬¥¤ã ᮡ®©);2) 横«®¢®¥ à §«®¥­¨¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ σ ¥¤¨­á⢥­­®.„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨ i ∈ {1, 2, . . . , n}, â® iσk = iσl ¯à¨ 0 < k < l, â. ¥. iσl−k = i ¤«ï l − k > 0.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, Orb(i) = {i, iσ, . . . , iσr−1 }, £¤¥ r > 0 — ­ ¨¬¥­ì襥 ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«® á iσr = i,DZਬ¥àDZਬ¥à’¥®à¥¬ 3‹¥ªæ¨ï 8http://mmresource.nm.ru/â.

¥. Orb(i) — 横« ¤«¨­ë r.  §«®¥­¨¥ ¯®«¨£®­ {1, 2, . . . , n}(σ) ¤ ¥â à §«®¥­¨¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¢¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ 横«®¢ (á ­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ®à¡¨â ¬¨, ¯®â®¬ã ¯¥à¥áâ ­®¢®ç­ëå ¤àã£ á ¤à㣮¬).„«ï «î¡®£® ¤à㣮£® â ª®£® à §«®¥­¨ï ®à¡¨âë ᮢ¯ ¤ îâ á ®à¡¨â ¬¨ ¯®«¨£®­ {1, 2, . . . , n}(σ), ¨¯®í⮬ã 横«®¢®¥ à §«®¥­¨¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ σ ¥¤¨­á⢥­­®. ‡ ¬¥ç ­¨¥. …᫨ σ = σ1 . . . σk — 横«®¢®¥ à §«®¥­¨¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ σ, â® σi σj = σj σi ¤«ï ¢á¥åi, j, ¨ ¯®í⮬ã σ n = σ1n .

. . σkn ¤«ï n ∈ Z. “ç¨âë¢ ï, çâ® O((i1 , . . . , ir )) = r ¤«ï 横« (i1 , . . . , ir ) (¢ç áâ­®áâ¨, (i1 , . . . , ir )r — ⮤¥á⢥­­ ï ¯®¤áâ ­®¢ª ), íâ® á®®¡à ¥­¨¥ ¨­®£¤ 㤮¡­® ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï á⥯¥­¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¨. 12345 ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ σ = 21453 = (1, 2)(3, 4, 5), â®σ 100 = (1, 2)100 (3, 4, 5)100 = (3, 4, 5).4. ’ਢ¨ «ì­®¥ ¤¥©á⢨¥DZਬ¥à£à㯯ë G ­ ¬­®¥á⢥ M :¤«ï ¢á¥å g ∈ G.M (G), mg = m( ¤à㣮¬ ï§ëª¥ ϕ : G → 1M ∈ S(M )).DZਬ¥à 5 (¯®¤¯®«¨£®­). DZ®¤¯®«¨£®­®¬ ¯®«¨£®­ MG ­ ¤ £à㯯®© G ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯ãá⮥¯®¤¬­®¥á⢮ N ¢ M â ª®¥, çâ® ng ∈ N ¤«ï ¢á¥å n ∈ N ¨ g ∈ G (â. ¥.

N G ⊆ N (â ª ª ª n = ne, â®íâ® à ¢­®á¨«ì­® à ¢¥­áâ¢ã N G = N )). Ÿá­®, çâ® «î¡®© ¯®¤¯®«¨£®­ N ¢ MG ï¥âáï ¯®«¨£®­®¬NG ­ ¤ £à㯯®© G.‚ ç áâ­®áâ¨, ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â m ∈ MG ®à¡¨â Orb(m)G = mGG ï¥âáï ¯®¤¯®«¨£®­®¬ ¢MG , ¯à¨ í⮬ ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë G ­ Orb(m) âà ­§¨â¨¢­®.DZਬ¥à 6 (ॣã«ïà­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¯à ¢ë¬¨ 㬭®¥­¨ï¬¨). DZãáâì MG = GG á 㬭®¥­¨¥¬ (x, g) → xg ¤«ï x ∈ G, g ∈ G. Ÿá­®, çâ®: x(gh) = (xg)h (¤«ï x, g, h ∈ G, áá®æ¨ ⨢­®áâì㬭®¥­¨ï ¢ £à㯯¥); xe = x ¤«ï ¥¤¨­¨æë e £à㯯ë G.…᫨ p, x ∈ G, â® St(p) = {g ∈ G|pg = p} = {e} ¨ Orb(x) = xG = G (â.

¥. íâ® ¤¥©á⢨¥âà ­§¨â¨¢­®).…᫨ g ∈ G, â® à áᬮâਬ ®â®¡à ¥­¨¥ ρg : G → G, xρg = xg. ’ ª ª ª ¨§ xg = yg ¤«ï x, y ∈ Gá«¥¤ã¥â (㬭® ï ­ g−1 á¯à ¢ ¢ £à㯯¥ G), çâ® x = y, â® ρg — ¬®­®¬®à䨧¬. ’ ª ª ª ¤«ï«î¡®£® z ∈ G ¨¬¥¥¬ z = zg−1g, â® ρg — áîàꥪæ¨ï. ˆâ ª, ρg ∈ S(G).’ ª ª ª ¤«ï x, g, h ∈ G ¨¬¥¥¬ xρgh = x(gh) = (xg)h = (xρg )ρh , â. ¥. ρgh = ρg ρh , â® ®â®¡à ¥­¨¥ρ : G → S r (G), ρ(g) = ρg , ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ £à㯯.…᫨ g, g′ ∈ G ¨ ρg = ρ(g) = ρ(g′ ) = ρg , â® g = eg = eg′ = g′ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ρ — ¨­ê¥ªâ¨¢­ë©£®¬®¬®à䨧¬®¬.ˆâ ª, ¬ë ¤®ª § «¨ á«¥¤ãî饥 ã⢥थ­¨¥.′’¥®à¥¬ (Ší«¨).¥£ã«ïà­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ £à㯯ë G ¯à ¢ë¬¨ 㬭®¥­¨ï¬¨ρG → S r (G) = S(G),g → ρg , xρg = xg,ï¥âáï ¨­ê¥ªâ¨¢­ë¬ £®¬®¬®à䨧¬®¬.‘«¥¤á⢨¥ 1.

‚áïª ï £à㯯 G ¨§®¬®àä­ ­¥ª®â®à®© ¯®¤£à㯯¥ G′ £àã¯¯ë ¯®¤áâ ­®¢®ª S(G)­ ¬­®¥á⢥ G.‘«¥¤á⢨¥ 2. …᫨ n = |G| < ∞, â®, £à㯯 G ¨§®¬®àä­ ­¥ª®â®à®© ¯®¤£à㯯¥ G′ £à㯯믮¤áâ ­®¢®ª Sn .‡ ¬¥ç ­¨¥ 1. Š á® «¥­¨î |Sn| = n!, ¯®í⮬㠯®¤£à㯯 ¢ Sn ¨§ n í«¥¬¥­â®¢ ¤®áâ â®ç­® ¬­®£®.‡ ¬¥ç ­¨¥ 2. „«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë Ší«¨ ¬®­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ £à㯯ëG «¥¢ë¬¨ 㬭®¥­¨ï¬¨ λg : G → G, λg x㬭®¥­¨¥¬ (g, x) → gx ¤«ï x, g ∈ G.= xg4¤«ïx, g ∈ G,¨ «¥¢®£® ¯®«¨£®­ GM=G Gዥªæ¨ï 8http://mmresource.nm.ru/’ ª ª ª (gh)x = g(hx) ¨ ex = x, â® GG — «¥¢ë© ¯®«¨£®­. €­ «®£¨ç­® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® λg —¡¨¥ªæ¨ï, â. ¥. λg ∈ S(G).’ ª ª ª λ — ¨­ê¥ªæ¨ï, â® ¨­ê¥ªâ¨¢­ë© £®¬®¬®à䨧¬ λ ®áãé¥á⢫ï¥â ¢«®¥­¨¥ £à㯯ë G ¢ª ç¥á⢥ ¨§®¬®àä­®© ¯®¤£à㯯ë G′ = Im λ ¢ £à㯯ã S l (G) = S(G) (¥á«¨ |G| = n < ∞, â® ¢ £à㯯㯮¤áâ ­®¢®ª Sn ).DZਬ¥à 7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций