А.В. Михалёв - Лекции по высшей алгебре (1106006), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. ⊃ Ḡs = {ē}, Ḡi−1 /Ḡi — ¡¥«¥¢ £à㯯 .N = N0 ⊃ N1 ⊃ . . . ⊇ Nr = {e},Ni−1 /Ni —‚ ᨫ㠮¯¨á ­¨ï áâ஥­¨ï ¨ ᢮©á⢠¯®¤£à㯯 ä ªâ®à£à㯯ë, Ḡi = Gi /N , N ⊆ Gi ⊆ G, Gi−1 ⊲ Gi,Ḡi−1 /Ḡi = (Gi−1 /N )/(Gi /N ) ∼= Gi−1 /Gi — ¡¥«¥¢ £à㯯 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃. . . ⊃ Gs = N = N0 ⊃ N1 ⊃ . .

. ⊃ Nr = {e} — áã¡­®à¬ «ì­ ï æ¥¯ì ¢ £à㯯¥ G á ¡¥«¥¢ë¬¨ä ªâ®à£à㯯 ¬¨, â. ¥. G — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 . ’¥®à¥¬ .Š®­¥ç­ ï p-£à㯯 G à §à¥è¨¬ (â. ¥., ¥á«¨ |G| = pk , p — ¯à®á⮥ ç¨á«®, k ≥ 1, â®G — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 ).„®ª § ⥫ìá⢮. DZ஢¥¤ñ¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯® ¨­¤ãªæ¨¨. ‚ ᨫ㠤®ª § ­­®£® à ­¥¥, Z(G) 6= {e}(â. ¥. 業âà p-£àã¯¯ë ­¥âਢ¨ «¥­). ‚ ᨫ㠨­¤ãªâ¨¢­®£® ¯à¥¤¯®«®¥­¨ï ¤«ï £à㯯ë G/Z(G),|G/Z(G)| = pl , l < k, ¢¨¤¨¬, çâ® G/Z(G) — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 . ‚ â® ¥ ¢à¥¬ï Z(G) — ¡¥«¥¢ £à㯯 , ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮 â ª¥ à §à¥è¨¬ . DZ®í⮬ã à §à¥è¨¬ ¨ á ¬ £à㯯 G.

. Š®­¥ç­ ï £à㯯 G ï¥âáï ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ᢮¨å ᨫ®¢áª¨å ¯®¤£à㯯 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢á¥ ᨫ®¢áª¨¥ ¯®¤£àã¯¯ë ­®à¬ «ì­ë (¢ í⮬ á«ãç ¥ £à㯯 G à §à¥è¨¬ ).. DZãáâì G — ª®­¥ç­ ï £à㯯 , |G| = n = pq, p ¨ q — ¯à®áâë¥ ç¨á« , p < q. ’®£¤ G —à §à¥è¨¬ ï £à㯯 .„®ª § ⥫ìá⢮. ‚ëç¨á«¨¬ ç¨á«® n(q) q-ᨫ®¢áª¨å ¯®¤£à㯯.  áᬮâਬ ¢á¥ ¤¥«¨â¥«¨ ç¨á« n: 1, p, q, pq. ’ ª ª ª p = 0 · q + p, p 6= 1, q ¨ pq — ¤¥«ïâáï ­ q, â®, ¨á¯®«ì§ãï 3-î ⥮६㠑¨«®¢ , ¢¨¤¨¬, çâ® n(q) = 1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï q-ᨫ®¢áª ï ¯®¤£à㯯 H ¢£à㯯¥ G, |H| = q, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ®­ ­®à¬ «ì­ ¢ G.

’ ª ª ª G/H ∼= Zp ¨ H ∼= Zq — 横«¨ç¥áª¨¥, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ª®¬¬ãâ ⨢­ë, ¯®í⮬㠨 à §à¥è¨¬ë¥ £à㯯ë, â® G — â ª¥ à §à¥è¨¬ ï£à㯯 . ‡ ¤ ç ’¥®à¥¬ 11‹¥ªæ¨ï 10http://mmresource.nm.ru/‡ ¤ ç . …᫨ |G| = p2q, q < p, â® G — à §à¥è¨¬ ï£à㯯 .22„®ª § ⥫ìá⢮. „¥«¨â¥«¨ ç¨á« n: 1, p, p , q, pq, p q. Žâáî¤ ïá­®, çâ® n(p) = 1, ¨ ¯®í⮬ãáãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï p-ᨫ®¢áª ï ¯®¤£à㯯 H, |H| = p2 . DZ®í⮬㠮­ ­®à¬ «ì­ ¢ £à㯯¥ G,H ⊳ G. ‚ ᨫ㠤®ª § ­­®£® à ­¥¥, â ª ª ª |H| = p2 , â® H — ¡¥«¥¢ £à㯯 , ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮 —à §à¥è¨¬ ï. „ «¥¥, |G/H| = q — ¯à®á⮥ ç¨á«®, â.

¥. G/H — 横«¨ç¥áª ï £à㯯 , á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¡¥«¥¢ , ¨ â ª¥ à §à¥è¨¬ ï. DZ®í⮬㠨 á ¬ £à㯯 G à §à¥è¨¬ ï. ’¥®à¥¬ .ƒà㯯 âà¥ã£®«ì­ëå¬ âà¨æ G = GTn (K) ­ ¤ ¯®«¥¬ K (â. ¥. âà¥ã£®«ì­ëå ¬ âà¨æa11 0A=...0a12 . . . a1na22 . . . a2n ¢¨¤ , 0 6= aii ∈ K) ï¥âáï à §à¥è¨¬®© £à㯯®©.... ... ...0 .

. . ann„®ª § ⥫ìá⢮. 1)  áᬮâਬ ã­¨âà¥ã£®«ì­ãî ¯®¤£à㯯ã H = U Tn (K) ¬ âà¨æ ¢¨¤ B =1∗ ... ∗1 ... ∗  0. DZਠ㬭®¥­¨¨ âà¥ã£®«ì­ëå ¬ âà¨æ ¨å ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤¨ £®­ «ì­ë¥... ... ... ...00 ... 1í«¥¬¥­âë ¯¥à¥¬­® îâáï, ¯®í⮬㠢 ¬ âà¨æ¥ A−1 BA ­ (i, i)-®¬ ¬¥á⥠á⮨â a−1ii 1aii = 1, â. ¥.A−1 BA ∈ H, ¨ ¯®í⮬ã H — ­®à¬ «ì­ ï ¯®¤£à㯯 ¢ G, H ⊳ G. â® ¥ á®®¡à ¥­¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â,çâ® [G, G] ⊆ H, ¯®áª®«ìªã ¤«ï A, D ∈ GTn (K) ¢ ª®¬¬ãâ â®à¥ [A, D] ­ ¬¥á⥠(i, i) á⮨â í«¥¬¥­â−1a−1ii dii aii dii = 1, â. ¥. [A, D] ∈ H. DZ®í⮬ã ä ªâ®à£à㯯 G/H — ¡¥«¥¢ , ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮,à §à¥è¨¬ ï.2) „®ª ¥¬ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® n, çâ® H = Hn — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 .  áᬮâਬ ®â®¡à ¥­¨¥fB′∗b n−1 , B ′ , C ′ ∈ U Tn−1 (K), â® f (B) = B ′ .

’ ª ª ª ¤«ï x, y ∈ K0...0 1 ′ ′B′xC′yBCB′y + x=,0...0 10...0 10...01En−1 x n−1bâ® f — áîàꥪ⨢­ë© £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯, ¯à¨ í⮬ Ker f =x∈K. ’®£¤ 01Ker f ⊳ U Tn (K) (ª ª ï¤à® £®¬®¬®à䨧¬ f ) ¨¯à¨ ª®â®à®¬ ¥á«¨ B =¨¬¥¥¬Hn = U Tn (K) → U Tn−1 (K) = Hn−1 ,U Tn (K)/ Ker f ∼= U Tn−1 (K)(¢á¨«ã â¥®à¥¬ë ® £®¬®¬®à䨧¬¥). ® Ker f — ¡¥«¥¢ £à㯯 , ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮 — à §à¥è¨¬ ï£à㯯 . DZ® ¨­¤ãªâ¨¢­®¬ã ¯à¥¤¯®«®¥­¨î, U Tn−1(K) — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 . ’®£¤ ¨ £à㯯 H = Hn — à §à¥è¨¬ ï.3) ’ ª ª ª H = U Tn (K) — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 ¨ G/H — à §à¥è¨¬ ï £à㯯 , â® G = GTn (K) —à §à¥è¨¬ ï £à㯯 .12‹¥ªæ¨ï 11http://mmresource.nm.ru/‹…Š–ˆŸ11.5‚ëç¨á«¥­¨ï ¢ £à㯯¥ ¯®¤áâ ­®¢®ª Sn.‚ 1-®¬ ᥬ¥áâॠ¬ë à áᬮâ५¨ £à㯯㠯®¤áâ ­®¢®ª Sn á § ¯¨áìîσ(τ (i)), â. ¥.

à áᬠâਢ ï «¥¢ë© ¯®«¨£®­ Sn {1, 2, . . . , n}.‡ ¬¥â¨¬, çâ®:(i1 , i2 , . . . , ik ) = (i1 , ik )(i1 , ik−1 ) . . . (i1 , i2 )(¢­®ï¡àï 2002 £.㬭®¥­¨ï á«¥¢ (στ )(i) =ç áâ­®áâ¨, (1, 2, . . . , k) = (1, k)(1, k − 1) . . . (1, 2)); (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i) ¤«ï 1 6= i, 1 6= j. ¬ ¡ã¤ãâ ¯®«¥§­ë à §­ë¥ á¨áâ¥¬ë ®¡à §ãîé¨å £à㯯ë Sn :Sn =< (i, j), i 6= j >=< (1, 2), (1, 3), . .

. , (1, n) > .‹¥¬¬ .‘®¯à省¨¥ ¢ £à㯯¥ Sn.τ (1, 2, . . . , k)τ −1 = (τ (1), . . . , τ (k)) (τ −1 (1, 2, . . . , k)τ = (τ −1 (1), . . . , τ −1 (k)).„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨ σ(i) = j, τ (i) = s, τ (j) = t, â® (τ στ −1 )(s) = (τ στ −1 )(τ (i)) = (τ σ)(i) =τ (j) = t. . „¢¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ σ, γ ∈ Sn ᮯà省ë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­¨ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢®¥ 横«®¢®¥ à §«®¥­¨¥.„®ª § ⥫ìá⢮.1) …᫨ γ = τ στ −1 ¨ σ = σ1 . . . σr — à §«®¥­¨¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ σ ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ 横«®¢ á ­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ®à¡¨â ¬¨, ⮒¥®à¥¬ γ = (τ σ1 τ −1 )(τ σ2 τ −1 ) . .

. (τ σr τ −1 ),{τ σi τ −1 } —横«ë, ®à¡¨âë ª®â®àëå ïîâáï ®¡à § ¬¨ ®à¡¨â 横«®¢ σi , ¨ ¯®í⮬ã í⨠®à¡¨âë ¤ îâ à §¡¨¥­¨¥ ¬­®¥á⢠{1, 2, . . . , n}. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¤áâ ­®¢ª¨ γ ¨ σ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ë¥ 横«®¢ë¥à §«®¥­¨ï.2) …᫨ γ ¨ σ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢®¥ 横«®¢®¥ à §«®¥­¨¥, ⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ¬¥¤ã í«¥¬¥­â ¬¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®à¡¨â ¯à¨¢®¤¨â ­ á ª ¡¨¥ªæ¨¨ τ , â. ¥. σ ∈ Sn , ¤«ï ª®â®à®© γ = τ στ −1 .‘«¥¤á⢨¥. —¨á«® ª« áᮢ ᮯàïñ­­ëå í«¥¬¥­â®¢ £à㯯ë Sn ᮢ¯ ¤ ¥â á ç¨á«®¬ ρn à §¡¨¥­¨© ç¨á« n ¢ ¢¨¤¥n = n1 + n2 + .

. . + nr ,0 < n1 ≤ n2 ≤ . . . ≤ nr .„®ª § ⥫ìá⢮. DZ®¤áâ ­®¢ª σ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ®¤­®§­ ç­® ¢ 横«®¢®¬ à §«®¥­¨¨ n1 -横« ,n2 -横« , . . ., nr -横« , £¤¥ 0 < n1 ≤ n2 ≤ . . . ≤ nr , ¥© ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï à §¡¨¥­¨¥n = n1 + n2 + . . . + nr .DZਬ¥à.

ρ(1) = 1, ρ(2) = 2, ρ(3) = 3, ρ(4) = 5(2 = 2, 2 = 1 + 1; 3 = 3, 3 = 1 + 2, 3 = 1 + 1 + 1; 4 = 4, 4 = 1 + 3, 4 = 1 + 1 + 2, 4 = 1 + 1 + 1 + 1,4 = 2 + 2).(Sn ).1) Z(S2 ) = S2 ; Z(Sn ) = {e} ¯à¨ n ≥ 3;2) Z(A3 ) = A3 ; Z(An ) = {e} ¯à¨ n ≥ 4.„®ª § ⥫ìá⢮.1) …᫨ e 6= σ ∈ Sn ¯à¨ n ≥ 3, â® ¯ãáâì j = σ(i) 6= i ¨ k ∈/ {i, j}.

’®£¤ [(jk)σ(jk)−1 ](i) = k 6= j =−1σ(i), â. ¥. (jk)σ(jk) 6= σ, (jk)σ 6= σ(jk), ¨â ª, σ ∈/ Z(Sn ).’¥®à¥¬ ® 業âॠ£àã¯¯ë ¯®¤áâ ­®¢®ª13‹¥ªæ¨ï 11http://mmresource.nm.ru/2) DZãáâì e 6= σ ∈ An , n ≥ 4, j = σ(i) 6= i, k, l ∈/ {i, j}, k 6= l. ’®£¤ [(jkl)σ(jkl)−1 ](i) = k 6= j = σ(i),â. ¥. (jkl)σ 6= σ(jkl), (jkl) ∈ An , ¨â ª σ ∈/ Z(An ).. „«ï 横«®¢ ¤«¨­ë 2 τ1 , τ2 (â.

¥. ¤«ï âà ­á¯®§¨æ¨©) £à㯯ë Sn ¯à¨ n ≥ 3 ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥τ1 τ2 «¨¡® 3-横«, ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢ãå 3-横«®¢.„®ª § ⥫ìá⢮.‘«ãç © 1: …᫨ τ1 = τ2 , â®τ1 τ2 = τ12 = e = (ijk)(kji).‹¥¬¬ ‘«ãç © 2:2 )τ1 6= τ2 .®à¡¨âë ¯¥à¥á¥ª îâáï (¯® ®¤­®¬ã í«¥¬¥­âã i):(i, k)(i, l) = (ilk),§¤¥áì k 6= l.2¡) Žà¡¨âë âà ­á¯®§¨æ¨© τ1 ¨ τ2 ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï:(ij)(kl) = (ilj)(ilk).’¥®à¥¬ .An =< {(ijk)} >=< (123), (124), . . .

, (12n) >„®ª § ⥫ìá⢮.¯à¨ n ≥ 3.1) …᫨ σ ∈ An , n ≥ 3, â® σ = τ1 . . . τ2m , £¤¥ τi — âà ­á¯®§¨æ¨ï (横«τ2i−1 τ2i — ¨«¨ 3-横«, ¨«¨ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢ãå 3-横«®¢, ⮤«¨­ë2).’ ª ª ªAn =< {(i, j, k)} > .2)(i, j, k) =(1, 2, i)(2, j, k)(1, 2, i)−1 ;(2, j, k) =(1, 2, j)(1, 2, k)(1, 2, j)−1 ;(1, j, k) =(1, 2, k)−1 (1, 2, j)(1, 2, k).’¥®à¥¬ .1) [S2 , S2 ] = {e}; [Sn , Sn ] = An ¯à¨ n ≥ 3.2) [A3 , A3 ] = {e};[A4 , A4 ] = V4 = {e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)};[An , An ] = An ¯à¨ n ≥ 5.„®ª § ⥫ìá⢮.1) ’ ª ª ª [a, b] = a−1 b−1 ab ¤«ï a, b ∈ Sn ¢á¥£¤ ï¥âáï çñâ­®© ¯®¤áâ ­®¢ª®©, â® [Sn , Sn ] ⊆ An .’ ª ª ª An =< {(i, j, k)} > ¨(i, j, k) = (i, j)(i, k)(i, j)(i, k) = [(i, j), (i, k)],â® An ⊆ [Sn , Sn ].2) ) Ÿá­®, çâ® [A3 , A3 ] = {e} (A3 — ¡¥«¥¢ £à㯯 , |A3 | = 2).¡) ’ ª ª ª[(i, j, k), (i, j, l)] = (k, j, i)(l, j, i)(i, j, k)(i, j, l) = (i, j)(k, l),[(i, j, k), (i, l, j)] = (k, j, i)(j, l, i)(i, j, k)(i, l, j) = (i, k)(j, l),â® V4 ⊆ [A4 , A4 ].14‹¥ªæ¨ï 11http://mmresource.nm.ru/’ ª ª ª |A4 /V4 | = 12/4 = 3, â® A4 /V4 — ¡¥«¥¢ £à㯯 , ¯®í⮬ã [A4 , A4 ] ⊆ V4 .

ˆâ ª, [A4 , A4 ] =V4 .¢) DZਠn ≥ 5 ¤«ï {i, j, k} ­ ©¤ãâáï l, m ∈/ {i, j, k}, l 6= m. DZ®í⮬ã(i, j, k) = (i, j, m)(i, k, l)(m, j, i)(l, k, i) = [(m, j, i), (l, k, i)],â ª¨¬ ®¡à §®¬, An ⊆ [An , An ] ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮, An = [An , An ] ¯à¨ n ≥ 5.‡ ¬¥ç ­¨¥.1) ˆ§ ªà¨â¥à¨ï ᮯàïñ­­®áâ¨ í«¥¬¥­â®¢ ¢ S4 ïá­®, çâ® ç¥â¢¥à­ ï £à㯯 Š«¥©­ V4 ={e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} ­®à¬ «ì­ ¢ S4 , â. ¥. V4 ⊳ S4 . ˆâ ª, S3 , V4 — ¯®¤£à㯯 .2) ’ ª ª ª ­¥¥¤¨­¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë ¨§ V4 ­¥ ®áâ ¢«ïîâ í«¥¬¥­â 4 ­ ¬¥áâ¥, â® S3 ∩ V4 = {e},|S3 V4 | = |S3 ||V4 | = 6 · 4 = 24. DZ®í⮬ã S3 V4 = S4 . DZ® ¢â®à®© ⥮६¥ ® £®¬®¬®à䨧¬¥:S4 /V4 = S3 V4 /V4 ∼= S3 /S3 ∩ V4 ∼= S3 .‘îàꥪ⨢­ë© £®¬®¬®à䨧¬ S4 → S3 á ï¤à®¬ V4 ¨¬¥¥â ¯à®§à ç­ë© £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« £®¬®¬®à䨧¬ ¨§ £àã¯¯ë ¤¢¨¥­¨© ªã¡ ­ £à㯯㠤¢¨¥­¨ï ¢¯¨á ­­®£® ¢ ­¥£® â¥âà í¤à .“¯à ­¥­¨¥.

DZãáâì K — ¯®«¥, n ≥ s. ’®£¤ :1) [GLn (K), GLn (K)] = SLn (K);2) [SLn (K), SLn (K)] = SLn (K).DZà®áâë¥ £à㯯ë.ƒà㯯 G ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®á⮩, ¥á«¨ ã ­¥ñ ­¥â ­®à¬ «ì­ëå ¯®¤£à㯯 N¨ G.⊳ G,®â«¨ç­ëå ®â {e}‡ ¬¥ç ­¨¥ 1. DZà®áâë¥ ¡¥«¥¢ë £àã¯¯ë — íâ®, ¢ â®ç­®áâ¨, 横«¨ç¥áª¨¥ £àã¯¯ë ¯à®á⮣® ¯®à浪 . „¥©á⢨⥫쭮, ¢ ¡¥«¥¢®© £à㯯¥ «î¡ ï ¯®¤£à㯯 ­®à¬ «ì­ . DZ®í⮬ã, ¯à®áâ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©. ‚ £à㯯¥ Z ¬­®£® ¯®¤£à㯯, ¢ ç áâ­®áâ¨, 2Z, â. ¥. ®­ ­¥ ï¥âáï¯à®á⮩. …᫨ G = (a), O(a) = n = kl, â® (ak ) ⊂ (a), ¨ £à㯯 G ­¥ ï¥âáï ¯à®á⮩.

Характеристики

Список файлов лекций