Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 19
Текст из файла (страница 19)
все рёбра молекулы ориентированы как входящие, тоPn = i [− βδii ] = [− 01 ] + [− 11 ] = −1. Однако при смене ориентации многообразия матрицы склейкипоменяются и метка n примет нулевое значение. Далее в молекулах будем писать n = 0.75Рис. 4.7: Циклы на граничных торах седлового атома A∗ для области A1 .
Зелёным цветомвыделены циклы λ, а красным циклы µ. Пунктиром обозначены интегральные эллипсы и гиперболы. В центре изображена гипербола, которая будучи оснащена векторами, касательнымик интегральному эллипсу (слева) или интегральной гиперболе (справа) распадается на циклыµ̂. В последнем ряду изображены циклы µ допустимой системы координат, получающиеся изциклов µ̂: на эллиптическом торе необходимо взять одну из двух окружностей (рисунок слева)или добавить половину цикла λ – слоя расслоения Зейферта (рисунок справа).76Глава 5Лиувиллева классификация биллиардныхсистем в плоской области, ограниченнойдугами софокусных парабол.Очевидно, что при отражении параболической биллиардной области относительно оси Ox топология изоэнергетической поверхности Q3 сохраняется.
Однако, отражение относительно осиOx фактически представляет собой замену знаков параметров граничных парабол на противоположные. В дальнейшем, будем считать, что граница области Ω содержит не более одноговыпуклого сегмента параболы с отрицательным значением параметра p.Определение 5.0.1. Фиксируем параболическую биллиардную область Ω. Граница области Ωобразована дугами парабол семейства (1.2). Рассмотрим те сегменты границы, которые лежатна невырожденных параболах и являются выпуклыми по отношению к области Ω.
Обозначимчерез pmin и pmaxi значения параметра p на которых лежат выпуклые параболические сегментыграницы области Ω с отрицательными и положительными параметрами p соответственно. Тогданазовем особыми следующие значения интеграла p:• минимальное значение интеграла p = pmin ,• седловое значение интеграла p = 0,• (локально) максимальные значения интеграла p = pmax .Все остальные значения интеграла p для области ∆ назовем неособыми.Опишем траектории, лежащие на особых уровнях интеграла p.Упорядочим особые значения интеграла p: pmin < 0 < pmax1 ≤ pmax2 .При минимаксных значениях интеграла p = pmin или p = pmax2 траектории представляютсобой не кусочно-прямолинейные движения, а движения вдоль дуг параболы с параметром pminили pmax2 соответственно.
При p = pmax1 траектории разбиваются на два типа – движения вдольдуг параболы с параметром pmax1 и траектории, лежащие между параболами с параметрамиpmax1 и pmax2 . Траектории второго типа лежат на торе, как будет показано ниже. Рассмотрим траекторию, которой соответствует движение вдоль выпуклого сегмента параболы. Еслиэтот граничный сегмент компактен, то на этом уровне интеграла лежит одна траектория, гомеоморфная окружности в многообразии Q3 . Если этот сегмент представляет собой луч, то77траектория будет гомеоморфна прямой. В случае, если этот граничный сегмент совпадает спараболой, то траектории, соответствующие данному значению интеграла, представляют собойдве прямые – движения по параболе в противоположных направлениях.При седловом значении интеграла p = 0 любая траектория является ломаной, каждое звенокоторой либо лежит на горизонтальной прямой, либо проходит через фокус семейства (1.2).
Внекомпактном случае, горизонтальное звено может быть гомеоморфно лучу. В других случаяхзвенья гомеоморфны отрезкам.Определение 5.0.2. Траектории параболического биллиарда в области Ω, целиком лежащиена дугах параболы с минимаксными значениями интеграла, а также траектории, лежащие наседловом уровне интеграла p = 0 назовём особыми.5.1Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко-Цишангадля параболического биллиарда в компактной области.Предложение 5.1.1. Для всех неособых значений p поверхность уровня интеграла в изоэнергетической поверхности Q3 динамической системы параболического биллиарда в компактнойобласти Ω гомеоморфна объединению торов. Для особого значения p = pmax1 поверхность уровня интеграла гомеоморфна объединению тора и окружности.Определение 5.1.1.
Торы, соответствующие отрицательным значениям интеграла p назовемотрицательными, а положительным значениям интеграла p назовем положительными.Предложение 5.1.2. Прообраз p−1 ([−ε, +ε]) в изоэнергетической поверхности Q3 для динамической системы биллиарда в элементарной области Ω при некотором, достаточно маломзначении ε > 0, гомеоморфен следующим трёхмерным многообразиям:• атом B для области Ω2 ;• атом A∗ для области Ω1 ;• произведение тора на отрезок для областей ω1 , ω2 , Ω3 .Предложение 5.1.3. Инвариант Фоменко-Цишанга – меченая молекула W ∗ , описывающаятопологию слоения Лиувилля изоэнергетической поверхности Q3 для параболического биллиарда в компактной области Ω может быть описана следующим образом.r=0,ε=1r=0,ε=1• Если область Ω эквивалентна области Ω1 , молекула имеет вид A −−−−−→ A∗ −−−−−→ A,метка n в единственной семье равна 0.Ar=∞,ε=1• Если область Ω эквивалентна области Ω2 , молекула имеет вид A −−−−−→ B ⇒ , гдеAметки r = 0, ε = 1 на правых ребрах.r=0,ε=1• Если область Ω эквивалентна области ω1 ,ω2 или Ω3 , то молекула имеет вид A −−−−−→ A.Доказательство.
Для доказательства утверждений воспользуемся доказательством их аналогов в случае эллиптико-гиперболического биллиарда. Заменим в этих доказательствах эллипсына параболы с отрицательным значением параметра p, а гиперболы – на параболы с положительным значением p. С учетом этих поправок доказательства можно повторить практическидословно.785.2Слоение Лиувилля: вычисление аналога молекулы Фоменко для параболического биллиарда в некомпактнойобласти.Предложение 5.2.1. Естественный параметр на траекториях параболической биллиарднойсистемы в некомпактных областях определен на всей числовой прямой, т.е.
векторные потоки sgradH и sgradP полны.Доказательство. Любая неминимаксная биллиардная траектория s является некоторой ломаной. Минимаксные траектории были описаны выше – они представляют собой движения вдольдуг граничных парабол. Очевидно, что на дуге граничной параболы можно всюду определитьзначение некоторого вещественного параметра.Покажем, что любая неминимаксная некомпактная траектория s разбивается либо в сумму∞nPPs=ai конечных звеньев ai ломаной s, либо в последовательную сумму s = b1 +ai + b 2i=1i=1бесконечного интервала b1 = (−∞, t1 ), конечной суммы конечных звеньев ai и бесконечногоинтервала b2 = (t2 , ∞).Без ограничения общности предположим, что некомпактная область Θ ограничена некомпактными сегментами парабол с отрицательными значениями интеграла p и, быть может, ограниченным, сегментом параболы с положительным значением интеграла p (в этом случае онаэквивалентна области Θ3 или же Θ4 ).Пусть l – произвольная прямая.
Пересечение области Θ и прямой l может быть следующим:• отрезок,• два отрезка,• отрезок и точка,• луч.Последнее возможно тогда и только тогда, когда прямая l горизонтальна, а область Θ эквивалентна области Θ1 , ограниченной одной параболой или же θ1 – области, ограниченной однойпараболой и осью Ox.При значении интеграла p 6= 0 любая касательная к интегральной параболе не горизон∞Pтальна. Тогда любая неособая бесконечная траектория представляется в виде суммы s =aii=1конечных звеньев ai .При значении интеграла p = 0 в случае, если область Θ не эквивалентна области Θ1 или θ1каждая траектория имеет два типа – это либо траектория, представляющаяся в виде суммы s =∞Pai конечных звеньев ai , либо окружность – траектория вдоль прямой Ox (такая траекторияi=1есть в областях Θ3 и θ2 ).Пусть значение интеграла p = 0, а область Θ эквивалентна области Θ1 или θ1 .
Тогда люnPбая траектория распадается в сумму s = b1 +ai + b2 бесконечного горизонтального лучаi=1b1 = (−∞, t1 ], одного (в случае области Θ1 ) или двух (в случае области θ1 ) конечных звеньев ai79и бесконечного горизонтального луча b2 = [t2 , ∞). Если траектория s проходит вдоль горизонтальной прямой через фокус, то конечные звенья в этом случае будем считать вырожденными.Предложение 5.2.2.
Для биллиарда в некомпактной области, ограниченной дугами парабол,изоэнергетическая поверхность Q3 может быть описана следующей молекулой:••A⇒ B → C∞ для области Θ1 ; многообразие Q3 расслоено на цилиндры, два минимаксныхAособых слоя, гомеоморфных прямой R, а седловая бифуркация описывается атомом B,AC∞⇒ B 00 ⇒для области Θ2 ; многообразие Q3 расслоено на цилиндры, два минимаксAC∞ных особых слоя, гомеоморфных прямой R, а седловая бифуркация описывается атомомB 00 с некомпактной базой,Aдля области Θ3 ; многообразие Q3 расслоено на цилиндры, один минимаксC∞ный особый слой, гомеоморфный прямой R, один особый минимаксный слой, гомеоморфный окружности S 1 , а седловая бифуркация описывается атомом B 0 с некомпактнойбазой,• A → B0 ⇒• A → C∞ для областей Θ4 , θ1 и θ2 ; многообразие Q3 расслоено на цилиндры и особый слой,гомеоморфный прямой R.Доказательство. Случай области Θ1 .
Пусть область Θ1 ограничена параболой с параметромP < 0. Рассмотрим компактную область Ω1 , ограниченную параболами с параметрами P и Q,причем 0 < Q. Область Θ1 может быть получена из области Ω1 при переходе к пределу приQ → ∞. При этом со слоями интеграла p происходят следующие события.Рассмотрим семейство торов, соответствующих уровню интеграла P < p < 0. На каждом изэтих торов точки, которые при проекции этого тора на область Ω1 лежат на дуге параболы спараметром Q, образуют два параллельных цикла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
