Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Рассмотрим торы T u и T d , которые представляют собой особые слои динамической системы биллиарда в области A00 (см. предложение 4.1.3). На каждом из торов T u иT d есть выделенный цикл, образованный точками фокальной прямой, оснащенными векторамискорости, направленными горизонтально. Для начала разрежем каждый тор по окружности,образованной точками эллиптического сегмента границы – ребра склейки областей A00 – оснащенными векторами скорости.
Два разрезанных тора склеиваются вдоль граничных окружностей вследствие обобщенного биллиардного закона, образуя новый тор T . После склейкивыделенные на торах T u и T d циклы перейдут в два гомологичных цикла на торе T . Однакоточки этих циклов в Q3 одинаковы. Поэтому выделенные циклы необходимо отождествить другс другом. В результате такой склейки тор T перейдёт в особый слой атома B.Пусть область ∆ склеена из нескольких экземпляров элементарной области A0 и не эквивалентна ∆α (A0 )2 .
Рассмотрим атом B, описывающий окрестность особого слоя Λ = b длябиллиардного движения в области A0 . Рассмотрим отдельно, как склейка пары областей A0 ,87обозначенных через (A0 )u и (A0 )d , продолжается на склейку атомов. Согласно предложению4.1.3 особый слой атома B образован прямым произведением восьмерки (особого слоя плоскогоатома B), каждая из которых это оснащенной сонаправленными (вправо или влево) векторами v1 и v2 дуг софокусных гипербол, заполняющих область A0 (вектор v1 направлен “внутрь”экземпляра области A0 , а вектор v2 – “наружу”) на окружность. Оснащенный горизонтальными (других нет) векторами скорости отрезок фокальной прямой является особой окружностьюособого слоя атома B.
При склейке областей оснащение дуг каждой гиперболы меняется – вточке склейки областей больше не склеиваются точки вида (v1 )u и (v2 )u (т.е. мы разрезаемособые слои), которые склеиваются с векторами (v2 )d и (v1 )d соответственно. Это приводит ктому, что особые слои атомов B := B1 после склейки стали гомеоморфны особым слоям атомаB2 . Продолжая такую операцию на особом слое при последовательной склейке областей A0 вобласть ∆ получаем особый слой либо длинного атома Bn либо атома Dn .Пусть область ∆ эквивалентна области ∆α (2A2 ). Для описания особого слоя биллиардного движения в этой области рассмотрим особые слои биллиардного движения в области A2 .Каждый такой слой представляет собой прямое произведение “восьмерки” и окружности (см.предложение 4.1.3).
Склейка двух областей A2 в область ∆α (2A2 ) переводит каждую пару“восьмерок” в особый слой плоского атома C2 – для этого необходимо сделать два разреза вкаждом “ушке”-окружности в каждой “восьмерке” (т.е. разделить (x, v1 )u и (x, v2 )u и так далее),а затем отождествить у двух получившихся крестов концы ( (x, v1 )u ∼ (x, v2 )d и так далее).Склейка же вдоль дуг вырожденных гипербол также продолжается по непрерывности, позволяя склеить “правые” и “левые” особые слои атома C2 (аналогично тому как мы склеивалиособые слои атома B – “восьмерки”). Подробнее см.
рис. 6.1.Утверждение доказано.Предложение 6.1.4. Трехмерный прообраз Λ−1 ([b − ε, b + ε]) в изоэнергетической поверхности Q3 для динамической системы биллиарда в обобщенной области ∆, склеенной из элементарных областей разных типов и не имеющей конических точек, гомеоморфен следующимтрёхмерным многообразиям (перечисленные ниже атомы трехмерные):• атом B для областей ∆α (A2 + C2 ), ∆α (A0 + B0 );• атом A∗ для области ∆α (A1 + B1 );• атом Bn для областей ∆α (A00 + nA0 + B0 ), ∆α (nA0 + B0 ), ∆α (B0 + nA0 + B0 ) и ∆α (A00 +nA0 + A00 );• произведение тора на отрезок для областей ∆α (A02 + B200 ), ∆α (A01 + B10 ), ∆α (A00 + B0 ).Доказательство. Для доказательства этого предложения мы показываем, как меняются прообразы особых слоев изэнергетических поверхностей Q3 биллиарда в элементарных областяхпри склейке этих элементарных областей в обобщенную область. Заметим, что слой интегралаΛ для биллиарда в обобщенной области может быть склеен из разрезанных слоев интеграла Λв элементарных областях, составляющих область Ω.
На слоях интеграла Λ необходимо сделатьразрезы вдоль точек x, проекции которых лежат на ребрах склейки. Затем произвести склейкуразрезанных слоев интеграла Λ, согласно новым правилам склейки – обобщенному биллиардному закону. Склейка на неособых эллиптических торах описана в предложении 6.1.1, аналогичноможет быть описана склейка на гиперболических торах 6.1.2. Здесь покажем как происходитсклейка особых слоев интеграла Λ.88Рис. 6.1: На рисунке изображена часть особого слоя атома C2 описывающего бифуркацию изоэнергетической 3-поверхности в области ∆α (2A2 ). Жирным изображены точки, проекции которых на биллиардную область находятся либо в правых фокусах, либо в отрезках фокальнойпрямой между правыми фокусами и граничным эллипсом.
Цветом изображены точки некоторой софокусной гиперболы, достаточно близкой к отрезку фокальной прямой между правымфокусом и граничным эллипсом (одним и тем же для обеих элементарных областей A2 , составляющих эту обобщенную область). Зелёным цветом указаны точки, проектирующиеся в дугуэтой софокусной гиперболы в верхнем экземпляре A2 , а красным – точки, проектирующиеся вдугу софокусной гиперболы на нижнем экземпляре A2 . При этом видно, что все такие точкиобразуют особый слой плоского атома C2 .Пусть область ∆ эквивалентна области вида ∆α (Ω1 +Ω2 ), где Ω1 эквивалентна A2 , A1 , A0 , A02 ,A00 , а область Ω2 эквивалентна области C2 , B1 , B0 , B200 , B10 , B0 соответственно, т.е. представляет собой область, принадлежащую конечной серии элементарных областей A и приклееннуюк ней полоску из серии B или кольцо C2 .
Рассмотрим заполнение области серии A гиперболамии фокусными отрезками (см. предложение 4.1.3). Продолжим заполнение области A дугамисофокусных гипербол на всю область ∆, а именно склеив их с дугами гипербол, заполняющихвторую область. Каждой дуге гиперболы заполняющую область серии A можно поставить всоответствие дугу этой же гиперболы, но уже в области серии B или C2 . При этом оснащениедуг гипербол, лежащих в области A однозначно продолжается до оснащения дуги гиперболы вA01 ,89области B или C2 . Топологически при этом оснащенные дуги не изменятся, т.е. атомы, описывающие топологию биллиарда вблизи особого слоя серии A, и атомы, описывающие топологиюбиллиарда вблизи особого слоя областей вида ∆α (A + Ω2 ), где Ω2 принадлежит серии B или C,топологически эквивалентны.Пусть область ∆ имеет вид приклеенной к полосе nA0 одной или двух областей эквивалентных A00 или B0 .
Приклейка бесфокусной области эквивалентной A00 или B0 может быть продолжена на склейку прообразов Λ−1 ([b−ε, b+ε]) следующим образом. Для области nA0 трехмерныйпрообраз Λ−1 ([b − ε, b + ε]) представляет собой атом Bn (см. предложение 6.1.3), а для областейA00 и B0 – произведение тора на отрезок. Разрежем особый слой для бесфокусной области – тор– по окружности, образованной точками граничного эллипса – ребра склейки между даннойобластью и экземпляром области A0 , с которым она склеивается. Аналогичный разрез в особомслое для области nA0 – это разрез граничного “ушка” каждого особого слоя атома Bn вдольокружности, гомеоморфной особому слою этого атома. Заклейка каждого разрезанного “ушка”отрезком из прообраза дуги гиперболы семейства (1.2) (такой что объединение этих дуг заполняет всю бесфокусную область) сохраняет атом nA0 .
Фактически, доказательство аналогичнодоказательству для областей вида ∆α (Ω1 + Ω2 ), рассмотренных выше.Утверждение доказано.Предложение 6.1.5. Трехмерный прообраз Λ−1 ([b − ε, b + ε]) в изоэнергетической поверхности Q3 для динамической системы биллиарда в обобщенной области ∆, содержащей конические точки, гомеоморфен следующим трёхмерным многообразиям (перечисленные нижеатомы трехмерные):• атом B для областей ∆β (A01 )2x ,∆β ((A01 )2c + (A01 )2c ), ∆β ((A01 )2c + C1 ), ∆β (A02 )22x , ∆β (A0 )22y ;• атом A∗ для областей ∆β (A01 )2cxy , ∆β (A00 )2c , ∆β (A00 )2cy , ∆β ((A00 )2c + 2A00 );• атом A∗∗ для областей ∆β ((A00 )2c + (A00 )2c ), ∆β (A1 )22y ;• атом Bn для областей ∆β ((A0 )2y +2nA0 ) и ∆β ((A0 )2y +2n(A0 )+(A0 )2y ), ∆β (Bn )2y и ∆β (Bn )22y ,∆β ((A0 )2y + 2nA0 + 2B0 ), ∆β ((A0 )2y + 2nA0 + 2A00 );• атом Bn∗ для областей ∆β (Bn0 )2yx и ∆β (Bn0 )2x ,∆β ((A00 )2c +2nA0 ), ∆β ((A00 )2c +2nA0 +2B0 ) , ∆β ((A00 )2c +2nA0 +2A00 ), ∆β ((A0 )2y +2nA0 +(A00 )2c );• атом Bn∗∗ для областей ∆β (Bn00 )22x , ∆β ((A00 )2c + 2nA0 + (A00 )2c ),• произведение тора на отрезок для областей ∆β (A01 )2y и ∆β (A00 )2y .Доказательство.
Разобьём доказательство предложения на несколько шагов.Шаг первый. Области с коническими точками, включающих в себя фокусы семейства границы (1.1).Рассмотрим элементарную область A1 . Напомним, что окрестность особого слоя биллиардной системы в области A1 описывается атомом A∗ . Этот факт был доказан рассмотрениемзаполнения области A1 дугами софокусных гипербол и горизонтальным отрезком с концомв фокусе. В прообразе каждой дуги гиперболы лежат две восьмерки, условно называемымиправыми и левыми (в зависимости от того, в какую сторону направлены вектора скорости),состоящие из двух окружностей, условно называемых верхними (в прообразе – точки лежащие не ниже оси Ox) и нижними (в прообразе точки лежащие не выше оси Ox).
При склейке90восьмерок вдоль фокусного отрезка верхние окружности с направлением вправо склеивались снижними окружностями с направлением влево, в результате чего образовывалась так называемая “перекрутка”. Вдоль граничной гиперболы верхние окружности склеивались с верхними,а нижние – с нижними, что приводило к тому, что “перекрутка” отсутствовала.Разрежем особый слой биллиардной системы для области A1 вдоль оснащенной дуги граничной гиперболы.
Определим отображение gh из элементарной области A1 в обобщенную область∆β (A01 )2c , которое отождествляет две дуги граничной гиперболы области A1 , расположенныепо разные стороны от оси Ox. Отметим что, строго говоря, это отображение gh не являетсясклейкой в смысле наших определений. Отображение gh продолжается до склейки разрезанногоособого слоя биллиардной системы для области A1 следующим образом: восьмерки, проектирующиеся в сегмент гиперболы разреза – теперь уже ребра излома области ∆β (A01 )2c склеиваютсяпо другому закону, а именно “верхние” окружности направленные вправо склеиваются с “нижними” окружностями, направленными влево.
В результате появляется лишняя “перекрутка”,что приводит к тому, что атом A∗ становится атомом B.Заметим, что особый слой этого атома A∗ можно описать по другому, рассматривая сечениеобласти A1 дугами софокусных эллипсов и другим горизонтальным отрезком с концом в фокусе.При этом построение повторятся. Определим отображение ge из элементарной области A1 вобобщенную область ∆β (A01 )2x , которое отождествляет две дуги граничного эллипса области A1 ,расположенные по разные стороны от оси Ox. Повторяя рассуждение выше, получаем, чтотопология особого слоя для биллиарда в области ∆β (A01 )2x также описывается атомом B.Для описания топологии особого слоя интеграла Λ для биллиарда в области ∆β ((A01 )2c + C1 )воспользуемся расслоением особого слоя для области ∆β (A01 )2c на “восьмерки”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
