Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Эти “восьмерки”необходимо удлинить аналогично тому, как это было сделано для областей в предложении 6.1.4.Рассмотрим особый слой интеграла Λ = b для биллиарда в области ∆β (A01 )2x – это особыйслой атома B. Опишем его следующим образом. Точки верхнего экземпляра области A01 , нележащие на границе свободной границе области и на ребрах излома могут быть оснащены четырьмя векторами скорости: вектором v1 , направленным к правому фокусу, v2 , направленнымот левого фокуса, v3 , направленным к левому фокусу и v4 направленным от правого фокуса.Точки же нижнего экземпляра области A01 оснастим аналогичными векторами wi .
Фиксируем точку (x, v) на особом слое, лежащую на фокальной прямой между фокусом и границейобласти. Рассмотрим дугу гиперболы семейства (1.1), проходящую через точку x и оснастимеё векторами скорости так, что оснащенная точками дуга гиперболы будет лежать на особомслое. А именно, оснастим дугу гиперболами векторами, сонаправленными с вектором v: есливектор v = (1; 0) то оснастим дугу гиперболы векторами v1 , v2 , w1 , w2 , а если v = (−1; 0) тооснастим дугу гиперболы векторами v3 , v4 , w3 , w4 .
Тогда дуга гиперболы, оснащенная векторами вправо, будет представлять собой “восьмерку”, окружности которой образованы векторамиv1 , w2 и v2 , w1 . Гипербола же, оснащенная векторами влево, будет “восьмеркой”, окружностикоторой образованы векторами v3 , w4 и v4 , w3 . При стремлении точки x к фокусу окружностьправой “восьмерки” v1 , w2 переходит в отрезок особого слоя и фокус, оснащенный векторами“наружу” верхнего экземпляра области A01 , а окружность левой “восьмерки” v3 , w4 переходитв отрезок особого слоя, оснащенного векторами “внутрь” нижнего экземпляра области A01 .
Втом случае, когда точка x лежит в фокусе нам необходимо склеить восьмерки по следующемуправилу: v1 , w2 ∼ v3 , w4 , v2 , w1 ∼ v4 , w3 . Пусть теперь x принадлежит границе области. Здесьдействует закон отражения, согласно которому склеиваются вектора v1 ∼ v3 , v2 ∼ v4 , w1 ∼ w3 ,w2 ∼ w4 , что приводит к тому, что окружности “восьмерок” склеиваются по тому же правилу:v1 , w2 ∼ v3 , w4 , v2 , w1 ∼ v4 , w3 . В результате получается атом B (правила совпадают).
Если же91мы рассматриваем случай области ∆β (A01 )2xyc , то тогда при попадании точки x на ребро излома правила склейки будут иные – а именно склеиваются вектора v1 ∼ w3 , v2 ∼ w4 , w1 ∼ v3 ,w2 ∼ v4 , что приводит к тому что окружности “восьмерок” склеиваются уж по другому правилу: v1 , w2 ∼ v4 , w3 , v2 , w1 ∼ v3 , w4 . Возникающая таким образом “перекрутка” приводит к томучто особый слой будет совпадать с особым слоем атома A∗ .
При переходе от области ∆β (A01 )2xycк области ∆β (A01 )2y разрез вдоль фокальной прямой продолжается до разреза каждой “восьмерки” в объединение двух окружностей. В результате, особый слой атома A∗ перейдёт в обычныйтор.Область ∆β (A02 )22x можно представить как результат склейки двух экземпляров области∆β (A01 )2x вдоль граничной окружности. Заполнение области ∆β (A01 )2x дугами оснащенных гипербол естественным образом продолжается до заполнения дугами оснащенных гипербол области ∆β (A02 )22x . В фокусах правила склейки совпадают, поэтому особый слой для биллиарда вобласти ∆β (A02 )22x опять же совпадает с особым слоем атома B.Для особого слоя биллиарда в области ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c ) можно провести построение, аналогичное построению в области ∆β (A01 )22x , заменив дуги гипербол на дуги эллипсов.Рассмотрим обобщенную область ∆α (2A2 ), склеенную из двух экземпляров элементарной области A2 вдоль эллиптического сегмента.
Как доказано ранее, особая поверхность уровня описывается атомом C2 . Рассмотрим заполнение области A2 дугами софокусных гипербол, котороепродолжается до заполнения области ∆α (2A2 ) окружностями – объединениями дуг софокусных гипербол в различных областях A2 – и двумя отрезками с концами в фокусах. Прообразомкаждой окружности являются два особых слоя плоского атома C2 : они различаются направлением векторов скорости вправо или влево. Примем следующие обозначения. Фиксируем одиниз экземпляров A2 , который для удобства будем называть верхним. Вектора vi – это вектораскорости, которыми оснащены отрезки особого слоя атома C2 , причем в точках верхнего экземпляра области вектора v1 направлены к правому фокусу (соответственно, в точках нижнегоэкземпляра эти вектора направлены от левого фокуса вследствие правил склейки), вектора v2направлены от левого фокуса, вектора v3 направлены от правого фокуса, а вектора v4 – к левомуфокусу.
На особом слое плоского атома C2 , соответствующем точкам, оснащенными векторамивправо (векторами v1 и v2 ) к внутренней окружности примыкают точки, лежащие на дугах гипербол, расположенных выше оси Ox, а к внешней – точки, лежащие ниже оси Ox.
На особомслое плоского атома C2 , соответствующем точкам, оснащенными векторами влево (векторами v3и v4 ) к внутренней окружности примыкают точки лежащие на дугах гипербол, расположенныхниже оси Ox, а к внешней – точки, лежащие выше оси Ox (подробнее см. рис. 6.1). Вырежемиз области ∆α (2A2 ) область ∆α (2A1 ) и на окружности разреза, определим склейку, котораяпереводит область ∆α (2A1 ) в область ∆β (A1 )22y склейкой этой окружности в отрезок.
При этомпроисходит склейка особого слоя атома C2 , соответствующего векторам направленным вправо, с особым слоем атома C2 , соответствующего векторам направленным влево, при которой“внутренние” окружности одного экземпляра особого слоя атома C2 склеиваются с “внешними”окружностями другого. Такая перестройка приводит к образованию атома A∗∗ .Шаг второй. Области, склеенные из областей серии B.В этом случае, согласно классификации обобщенных областей, область ∆ склеена из двухэквивалентных элементарных областей серии B. Выберем в области ∆ отрезки фокальной прямой, состоящие из отрезков в составляющих её областях B.
Все такие отрезки разбиваютсяна два типа. Отрезки первого типа получаются склейкой двух отрезков, каждый из которыхлежит в своем экземпляре области B. В тех случаях, когда область ∆ имеет коническую точку типа x, возникают отрезки второго типа – каждый из них является ребром склейки, конец92которого лежит в конической точке типа x. Обозначим отрезки первого типа в области ∆ через bi , а отрезки второго типа через di . Как было показано в предложении 6.1.1, поверхностьуровня интеграла Λ < b является тором. Рассмотрим прообраз отрезков bi и di (оснащение ихвекторами скорости) на достаточно близком к особому слою торе.При Λ < b на торе Лиувилля в прообразе каждого отрезка bi лежат две окружности, которыена торе являются двумя гомологичными нетривиальными циклами: одна из этих окружностейsui оснащена векторами v1 (направленных к интегральному эллипсу) и v2 (направленных отинтегрального эллипса), направленными по часовой стрелке, а другая окружность – sdi – оснащена направленными против часовой стрелки векторами v3 (к интегральному эллипсу) и v4(от интегрального эллипса).
Здесь мы фиксировали направление векторов на некоторой фиксированной области B, являющейся частью области ∆. В прообразе любого отрезка di лежитодна окружность Si , а именно, окружность, образованная последовательной склейкой отрезков, оснащенных векторами v1 , v4 , v2 , v3 , где вектора v1 и v4 , а также v2 и v3 склеиваются поправилам склейки в конической точке, а вектора v1 и v3 , а также v2 и v4 склеиваются по законуотражения на свободной границе области.При стремлении Λ к b вектора, которыми оснащены отрезки bi и di , стремятся к векторам,направленным горизонтально.
На торе это означает следующую склейку – пары окружностейsui и sdi склеиваются друг с другом, что приводит к тому что на торе возникают n пар гомологичных циклов, которые попарно склеиваются. Таким образом возникает особый слой атома Bn .Окружность Si переходит в окружность, оснащенную всего двумя векторами – вправо и влево. Таким образом, близкая к предельной окружности окружность Si накрывает её двулистно.На атоме Bn это отражается появлением звездочки.
Циклы, гомологичные циклам, лежащих впрообразах отрезков bi и di , лежат в прообразах отрезков, высекаемых дугами гипербол софокусного семейства. Их оснащение векторами vi при Λ → b переходит в следующее оснащение– вектора v1 и v3 направлены к фокусам (к правому и левому соответственно), а вектора v2и v4 от фокусов (от левого и от правого соответственно). Значит, склейка происходит лишьпрообразов отрезков bi и di .Шаг третий. Области, склеенные из областей серий A0 , A00 и B0 .Рассмотрим проекцию ∆ на плоскость Oxy.
В проекции выберем отрезки фокальной прямой.Рассмотрим связные прообразы этих отрезков в области ∆. Эти прообразы бывают двух типов– либо объединение двух отрезков, каждый из которых лежит в своем экземпляре области A0 ,либо отрезки, являющиеся ребрами излома. Обозначим отрезки первого типа в области ∆ черезbi , а отрезки второго типа через di .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
