Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При стремлении Q → ∞ данное семействоторов переходит в два семейства цилиндров, получающихся из них разрезами на каждом торевдоль этих двух параллельных циклов.Рассмотрим торы, соответствующие уровню интеграла 0 < p < Q. На каждом из них точки,которые при проекции этого тора на область Ω1 лежат на дуге параболы с параметром Q,образуют один цикл. При стремлении Q → ∞ данное семейство торов переходит в семействоцилиндров, получающихся из них разрезом на каждом торе вдоль упомянутого цикла.Рассмотрим прообраз отрезка p−1 [−ε, +ε].
В прообразе дуги с параметром Q лежит плоскийатом B, а целиком прообраз гомеоморфен 3-атому A∗ . При разрезе 3-атома A∗ вдоль трансверсального сечения плоским атомом B, получаем некомпактный атом B.Случай области Θ2 . Рассмотрим компактную область Ω2 , ограниченную дугами парабол спараметрами P1 , P2 и Q, причем P1 < P2 < 0 < Q. При переходе к пределу при Q → ∞ областьΩ2 переходит в область Θ2 .Рассмотрим семейство торов, соответствующих уровню интеграла P < p < 0. На каждом изэтих торов точки, которые при проекции этого тора на область Ω1 лежат на дуге параболы спараметром Q, образуют два параллельных цикла.
При стремлении Q → ∞ данное семействоторов переходит в два семейства цилиндров, получающихся из них разрезами на каждом торевдоль этих двух параллельных циклов.80Рассмотрим торы, соответствующие уровню интеграла 0 < p < Q. На каждом из них точки,которые при проекции этого тора на область Ω1 лежат на дуге параболы с параметром Q,образуют один цикл. При стремлении Q → ∞ каждое семейство торов переходит в семействоцилиндров, получающихся из них разрезом на каждом торе вдоль упомянутого цикла.Рассмотрим прообраз отрезка p−1 [−ε, +ε]. Прообраз каждой граничной дуги области Ω2 , лежащей на параболе с параметром Q гомеоморфен окружности. Более того, эта окружностьпараллельна оси 3-атома B, а прообраз при каждом ненулевом фиксированном параметреp ∈ [−ε, +ε] на торе является слоем расслоения Зейферта. Следовательно, при переходе к пределу Q → ∞ из 3-атома B необходимо удалить два диска, таким образом, что он перейдет внекомпактный 3-атом, гомеоморфный прямому произведению некомпактной базы – атома B 00(см.
подробнее рисунок 1.5) на компактный слой – окружность.Случай области Θ3 . Рассмотрим компактную область Ω3 , ограниченную дугами параболс параметрами P1 , P2 и Q1 < Q2 , причем P1 < P2 < 0 < Q1 < Q2 . При переходе к пределу приQ2 → ∞ (при этом Q1 < ∞) область Ω3 переходит в область Θ3 .Рассмотрим семейство торов, соответствующих уровню интеграла P < p < 0. На каждом изэтих торов точки, которые при проекции этого тора на область Ω3 лежат на дуге параболы спараметром Q2 , образуют цикл. При стремлении Q → ∞ данное семейство торов переходит всемейство цилиндров, получающихся из торов разрезами вдоль упомянутого цикла.Рассмотрим торы, соответствующие уровню интеграла 0 < p < Q2 .
На каждом из них точки,которые при проекции этого тора на область Ω3 лежат на дуге параболы с параметром Q2 , образуют один цикл. При этом при достаточно больших Q2 точки параболы с таким параметромрасположены теперь в проекции лишь одного семейства торов. При стремлении Q2 → ∞ данное семейство торов переходит в семейство цилиндров, получающихся из них разрезом вдольупомянутого цикла.Рассмотрим прообраз отрезка p−1 [−ε, +ε]. Прообраз граничной дуги области Ω2 , лежащей напараболе с параметром Q2 гомеоморфен окружности. Более того, эта окружность параллельнаоси 3-атома B, а прообраз при каждом ненулевом фиксированном параметре p ∈ [−ε, +ε] наторе является слоем расслоения Зейферта. Следовательно, при переходе к пределу Q2 → ∞из 3-атома B необходимо удалить один диск, таким образом, что он перейдет в некомпактный3-атом, гомеоморфный прямому произведению некомпактной базы – атома B 0 (см.
подробнеерисунок 1.5) на компактный слой – окружность.Случай областей Θ4 , θ1 и θ2 может быть рассмотрен аналогично предыдущим. В качестве аналога области Θ4 необходимо взять область Ω3 , а для областей θ1 и θ2 области ω1 и ω2соответственно.Замечание 12. Биллиарды в рассмотренных некомпактных областях могут быть полученыкак предел другой динамической системы, а именно, биллиарда в элементарной области, ограниченной дугами софокусных эллипсов и гипербол. Как известно, семейство софокусных парабол получается из семейства софокусных гипербол и эллипсов устремлением одного из фокусовк бесконечности.
Области, соответствующие при этом областям Θ1 и Θ2 , это области, ограниченные одним и двумя эллипсами соответственно. Молекулы, описывающие топологию слоенияЛиувилля для биллиарда в этих областях вычислены в теореме 4.1. При этом седловые атомы,описывающие топологию окрестности уровня функции Λ = b (соответствующий параболическому p = 0) гомеоморфны 3-атомам B и C2 . При переходе к пределу и устремлении одного изфокусов на бесконечность, атом B в молекуле, описывающей биллиардное движение в области,ограниченной эллипсом, не изменяется. Из атома C2 при этом необходимо вырезать окрестность одной из двух критических окружностей, при этом, как легко видеть, получится атом81B 00 . Область Θ3 может быть получена из эллиптико-гиперболической области B1 , при этом атом,описывающий соответствующую трёхмерную бифуркацию на особом слое это B.
При устремлении фокуса на бесконечность, очевидно, необходимо удалить окружность точек на особомслое, гомеоморфную критической окружности. Получаем трёхмерный атом B 0 .82Глава 6Лиувиллева классификация системобобщённых биллиардов.6.16.1.1Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко.Особые и неособые уровни интеграла.Определение 6.1.1. Фиксируем обобщённую область ∆ и рассмотрим в ней обобщённый биллиард. Область ∆ склеена из нескольких элементарных областей Ωi .
Граница каждой областиΩi образована сегментами эллипсов и гипербол семейства (1.1). Для каждой области Ωi укажемособые минимаксные значения интеграла согласно определению 4.1.1.Тогда назовем особыми следующие значения интеграла Λ для биллиарда в обобщенной области ∆:• (локально) минимальные значения интеграла Λ = mini , которые являются минимальными хотя бы в одной элементарной области Ωi ,• седловое значение интеграла Λ = b,• (локально) максимальные значения интеграла Λ = maxj , которые являются максимальными хотя бы в одной элементарной области Ωi .Все остальные значения интеграла Λ для области ∆ назовем неособыми.Опишем траектории, лежащие на особых уровнях интеграла Λ.Упорядочим особые значения интеграла Λ: 0 ≤ min1 ≤ min2 ≤ ...
≤ minn < b < max1 ≤.. ≤ maxm ≤ a, где через n и m обозначено количество (локально) минимальных и (локально)максимальных значений интеграла Λ соответственно.При минимальном значении интеграла Λ = mini каждому выпуклому эллиптическому сегменту границы каждой элементарной области Ωi , входящей в состав обобщенной области ∆,и лежащему на эллипсе с параметром mini , соответствуют траектории, которые представляют собой не кусочно-прямолинейные движения, а движения вдоль дуг эллипса с параметромmini .
В многообразии Q3 эти траектории являются объединением нескольких окружностей.Так как эти сегменты являются выпуклыми, то других траекторий на этом уровне интеграла,отражающихся от частей границы, соответствующих значению интеграла mini нет. Все другиетраектории (если они существуют), как будет показано далее, лежат на торах.83При седловом значении интеграла Λ = b траектории обладают следующим свойством: касательные к траектории поочерёдно проходят через фокусы семейства (1.1) (фокус меняется приотражении траектории от границы области или же при переходе с одной элементарной областина другую).При максимальном значении интеграла Λ = maxj < a, каждому выпуклому гиперболическому сегменту границы каждой элементарной области Ωi , входящей в состав обобщеннойобласти ∆, и лежащему на гиперболе с параметром maxj , соответствуют траектории, которыепредставляют собой не кусочно-прямолинейные движения, а движения вдоль дуг гиперболыс параметром maxj .
В многообразии Q3 эти траектории являются объединением несколькихокружностей. Все другие траектории (если они существуют), как будет показано далее, лежатна торах. При Λ = maxj = a все траектории представляют собой вертикальные движениявдоль оси ординат. В многообразии Q3 эти траектории также являются объединением нескольких окружностей.Определение 6.1.2. Траектории биллиардного движения в (элементарной) области Ω, целиком лежащие на дугах квадрик с параметрами mini и maxj , а также траектории, лежащие наседловом уровне интеграла Λ = b назовём особыми.6.1.2Теорема Лиувилля для обобщённого биллиарда: эллиптическиезначения интеграла.Опишем неособые поверхности уровня интеграла Λ в изоэнергетическом многообразии Q3 , ипокажем, что они гомеоморфны несвязному объединению нескольких торов.Предложение 6.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
