Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Склейка происходит вдоль отрезков границы, лежащих на осях Ox и Oy, которые делят область A2 начетыре части. В результате образуется одна коническая точка типа c.Рассмотрим изоэнергетическое многообразие Q3 биллиарда в области A2 , гомеоморфноетрёхмерной сфере S 3 согласно предложению 3.1.2. Запишем координаты каждой точки этойсферы как (x, y, v, w), где (x, y) – координаты материальной точки, (v, w) – координаты еёвектора скорости. Определим на этом множестве склейку противоположных точек – склеим(x, y, v, w) и (−x, −y, −v, −w).
Результатом будет, очевидно, RP 3 . Покажем, что с другой стороны, в результате этой склейки получится изоэнергетическое многообразие биллиарда в обобщённой области ∆β (A01 )2c . Для этого рассмотрим точки, расположенные не ниже оси Ox. У каждойточки, расположенной строго выше оси уже есть дубликат – точка, расположенная ниже, поэтому точки ниже оси Ox можно не рассматривать.
Осталось склеить точки, расположенныестрого на оси Ox. Каждая точка вида (x, 0, v, w) склеивается с точкой вида (−x, 0, −v, −w).Отразим левую половину точек направо относительно оси Oy. Тогда точка (−x, 0, −v, −w) перейдёт в точку (x, 0, v, −w). Но склейка точек (x, 0, v, w) и (x, 0, v, −w) это именно та склейка наребре излома, которую мы определяли для обобщенного биллиардного движения. В результатетакой склейки получается изоэнергетическое многообразие биллиардной системы в обобщеннойобласти ∆β (A01 )2c . Утверждение доказано.59Замечание 11.
Заметим, что фундаментальная группа многообразия RP 3 нетривиальна. Возникает естественный вопрос – как выглядит образующая фундаментальной группы Z2 изоэнергетической поверхности биллиарда в обобщенной области с одной конической точкой? Такая область, согласно классификации, гомеоморфна диску. Рассмотрим граничную окружностьэтого диска и оснастим её касательными векторами скорости.
В случае, когда граница не гладкая, оснащение можно дополнить, добавив вектора, которым оснащены углы области. Такаяоснащенная окружность будет гомеоморфна некоторой нестягиваемой петле в Q3 . Попробовав стянуть это петлю через коническую точку мы натолкнёмся на препятствие. Однако, есливзять эту петлю дважды, то можно показать, что её уже можно стянуть. В самом деле, такаяпетля гомотопически эквивалентна оснащенной кривой, оснащенной касательными векторамискорости, один конец которой находится в конической точке, а другой – на границе области,причем можно считать, что эта кривая перпендикулярна границе. Заметим, что такая кривая вQ3 гомотопически эквивалентна двум обходам конической точки – соответствующим двум направлениям вдоль граничной окружности области Ω.
Таким образом, взяв кривую дважды, мысможем “снять” её с конической точки и получить кривую в области Ω, которая ограничиваетобласть без конической точки, и оснащенную касательными векторами скорости. Воспользовавшись законом отражения на границе, мы можем обратить часть касательных векторов изанулить индекс векторного поля на этой кривой (см. рис. 3.1). Это приведёт к тому, что кривая стянется в точку в многообразии Q3 .Биллиардная область содержит две конических точки.Предложение 3.2.2.
Изоэнергетическая поверхность Q3 для биллиарда в обобщённой области Ω, гомеоморфной диску и содержащей две конические точки, гомеоморфна связной суммеRP 3 #RP 3 .Доказательство. Докажем это утверждение для обобщённой области ∆β (A0 )22y . Эта биллиардная область может быть получена в результате склейки двух обобщенных областей ∆β (A00 )2yс одной конической точкой вдоль участка границы, расположенного на оси Ox.
Рассмотримв изоэнергетическом многообразии Q3 биллиардной системы в области ∆β (A00 )2y точки, расположенные на оси Ox. Координаты этих точек могут быть записаны в виде (x, 0, v, w), где безограничения общности можно положить w ≥ 0. При фиксированном w < 1, множество точек(x, 0, v, w) гомеоморфно окружности – на границе и на ребре излома, идущем по оси Oy, точки (x, 0, v, w) и (x, 0, −v, w) склеиваются по√ законам отражения, а во всех остальных точках(x, 0) определены два вектора скорости (± 1 − w2 , w).
Множество точек (x, 0, 0, 1), очевидно,образует отрезок (при этом w = 1). Получаем, что концентрические окружности при w < 12стягиваются на отрезок w = 1, в результате получается двумерный диск D+. Точки (x, 0, ±1, 0)соответствуют биллиардному движению вдоль оси Ox и образуют граничную окружность диска2D+(при этом w = 0).Разрежем изоэнергетическое многообразие Q3 биллиарда в области ∆β (A00 )2y по двумерно2му диску D+, который образуют точки, расположенные на оси Ox. Для этого каждую точку(x, 0, v, w), где w ≥ 0 надо дополнить точкой (x, 0, v, −w). Все точки, для которых w ≤ 0, также2образуют диск, который обозначим через D−. Будучи склеенными вдоль общей окружностиw = 0 эти диски образуют двумерную сферу S 2 .Сделаем аналогичную операцию с изоэнергетическим многообразием Q3 биллиарда системыво втором экземпляре области ∆β (A00 )2y , расположенным для удобства, ниже оси Ox.
Для тогочтобы получить изоэнергетическое многообразие Q3 биллиарда в обобщённой области ∆β (A0 )22y60необходимо склеить разрезанные изоэнергетические многообразия Q3 для областей ∆β (A00 )2yвдоль полученных сфер разреза. Результатом будет, по определению, прямая сумма исходныхмногообразий Q3 , которые, по предыдущему утверждению, гомеоморфны RP 3 .61Глава 4Лиувиллева классификацияэллиптико-гиперболических биллиардов.4.14.1.1Слоение Лиувилля: вычисление молекулы Фоменко.Особые и неособые уровни интеграла.Допуская некоторую вольность речи, мы всюду далее будем говорить об элементарных областяхкак о подмножествах плоскости (подразумевая под этим образы простейших элементарныхобластей, из которых состоит рассматриваемая элементарная область, при их изометричныхвложениях в плоскость, согласованных на общих граничных сегментах).Определение 4.1.1.
Фиксируем элементарную область Ω и рассмотрим эллиптико-гиперболическийбиллиард в ней. Граница области Ω образована сегментами эллипсов и гипербол семейства (1.1).Рассмотрим те сегменты границы, которые лежат на невырожденных эллипсах и гиперболахи являются выпуклыми по отношению к области Ω. Обозначим через mini и maxj значенияпараметра Λ, на которых лежат соответственно выпуклые эллиптические и гиперболическиесегменты границы области Ω. Если область Ω имеет непустое пересечение с прямой Oy, тодополним набор maxj значением a.Тогда назовем особыми следующие значения интеграла Λ:• (локально) минимальные значения интеграла Λ = mini ,• седловое значение интеграла Λ = b,• (локально) максимальные значения интеграла Λ = maxj .Все остальные значения интеграла Λ для области ∆ назовем неособыми.Опишем траектории, лежащие на особых уровнях интеграла Λ.Упорядочим особые значения интеграла Λ: 0 ≤ min1 ≤ min2 ≤ ...
≤ minn < b < max1 ≤.. ≤ maxm ≤ a, где через n и m обозначено количество (локально) минимальных и (локально)максимальных значений интеграла Λ соответственно. Заметим, что число n принимает значения1 или 2 (например, n = 2 для области, эквивалентной A0 ), а число m принимает значения 1, 2или 3 (например, m = 3 для области, эквивалентной B2 ).62При минимальном значении интеграла Λ = mini , каждому выпуклому эллиптическому сегменту границы области Ω, лежащему на эллипсе с параметром mini , соответствуют траектории,которые представляют собой не кусочно-прямолинейные движения, а движения вдоль дуг эллипса с параметром mini . В многообразии Q3 эти траектории являются объединением нескольких окружностей (одной или двух).
Так как эти сегменты являются выпуклыми, то другихтраекторий на этом уровне интеграла, отражающихся от частей границы, соответствующихзначению интеграла Λ = mini нет. Все другие траектории (если они существуют), как будетпоказано далее, лежат на торах.При седловом значении интеграла Λ = b траектории обладают следующим свойством: касательные к ним поочерёдно проходят через фокусы семейства (1.1) (фокус меняется приотражении траектории от границы области).При максимальном значении интеграла Λ = maxj < a, каждому выпуклому гиперболическому сегменту границы области Ω, лежащему на гиперболе с параметром maxj , соответствуюттраектории, которые представляют собой не кусочно-прямолинейные движения, а движениявдоль дуг гиперболы с параметром maxj .
В многообразии Q3 эти траектории являются объединением нескольких окружностей. Все другие траектории (если они существуют), как будетпоказано далее, лежат на торах. При Λ = maxj = a все траектории представляют собой вертикальные движения вдоль оси ординат. В многообразии Q3 эти траектории также являютсяобъединением нескольких окружностей.Определение 4.1.2. Траектории биллиардного движения в (элементарной) области Ω, целиком лежащие на дугах квадрик с параметрами mini и maxj , а также траектории, лежащие наседловом уровне интеграла Λ = b назовём особыми.4.1.2Теорема Лиувилля для эллиптико-гиперболического биллиарда:эллиптические значения интеграла.Опишем неособые поверхности уровня интеграла Λ в изоэнергетическом многообразии Q3 , ипокажем, что они гомеоморфны несвязному объединению нескольких торов.Предложение 4.1.1.
Для всех неособых значений λ < b поверхность уровня интеграла Λ = λв изоэнергетической поверхности Q3 динамической системы биллиарда в элементарной области Ω гомеоморфна объединению торов. Для значений λ = mini поверхность уровня интегралов состоит из нескольких особых траекторий и, быть может пустого, объединения торов,на которых лежат траектории, не отражающиеся от выпуклого сегмента границы областиΩ, лежащего на эллипсе с параметром mini .Определение 4.1.3. Торы, соответствующие уровням интеграла λ < b назовем эллиптическими, так как касательные к траекториям биллиарда на этом уровне касаются эллипса семейства(1.1) с параметром λ.Доказательство.
Вырежем из элементарной области Ω область, лежащую внутри интегрального эллипса (область, в которую не проектируются точки, лежащие на этом уровне интеграла), иe Многообразие Ωe это в точности результат естественной проекцииобозначим результат через Ω.e входит несколько элементарныхповерхности уровня интеграла Λ = λ на область Ω. В состав Ωобластей и, быть может, несколько дуг эллипсов в том случае, если λ = mini при некоторомe мы будем подразумевать именно двумерную часть полуi. В дальнейших рассуждениях под Ωченного многообразия, так как дугам эллипса соответствуют особые траектории-окружности.63e и обозначим её через Ωe i , где i это номер этой части.Фиксируем некоторую связную часть Ω,eВ каждой внутренней точке x области Ωi определены четыре вектора скорости vi , i ∈ {1..4},так, что (x, vi ) лежит на соответствующем уровне интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
