Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Элементарная область A01 имеет три угла. Один из них обязан образовывать коническую точку. Зафиксируем угол, лежащий на оси Oy. Склеим пару областейA01 вдоль дуги эллипса и вертикального сегмента. Если склеить полученную область вдоль горизонтального сегмента, то получим область, принадлежащую первой серии. Иначе, получимобласть ∆β (A01 )2y . Аналогично, если фиксировать угол, лежащий на оси Ox, то получим область∆β (A01 )2x .
Осталось рассмотреть случай, когда конической точкой будет точка в начале координат. Тогда у полученной области ∆β (A01 )2c существует два строго выпуклых сегмента. Присклейке вдоль них двух экземпляров ∆β (A01 )2c получаем область ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c ) без границы(т.е. к ней уже ничего приклеить нельзя).Рассмотрим обобщённые области с коническими точками, склеенные из элементарных областей A00 . Коническая точка может быть образована склейкой пары экземпляров одного издвух углов этой области – центрального и лежащего на оси Oy.
Если присутствуют оба – тообласть эквивалентна ∆β (A00 )2cy . Рассмотрим область ∆β (A00 )2y склеенную из пары областей A00с конической точкой типа y. К этой области нельзя приклеить ни одного экземпляра A00 , таккак остались лишь прямолинейные и невыпуклые сегменты. В области ∆β (A00 )2c есть два эллиптических сегмента, которые могут быть ребрами склейки при добавлении либо пары областей∆α (2A00 ) (тогда в полученной области будет по прежнему одна коническая точка), либо второгоэкземпляра ∆β (A00 )2c (полученная область будет содержать уже две конические точки).Обобщённые области, состоящие из элементарных областей серии B, в качестве одной изсклеек обязательно содержат склейку вдоль выпуклого эллиптического сегмента. В этом случае, обобщенные области с коническими точками естественно делятся на два типа – по количеству конических точек.
Заметим, что эти конические точки имеют тип y, если область Bэквивалентна Bk , типы c и y, если область B эквивалентна области Bk0 и типы c, если областьB эквивалента Bk00 .Пусть обобщённая область ∆, содержащая конические точки, состоит из элементарных областей, эквивалентных A0 . Обобщённая область ∆β (A0 )2y , склеенная с образованием одной конической точки, имеет в качестве возможного сегмента дальнейшей склейки пару выпуклыхэллиптических сегментов. Если их склеить друг с другом, то полученная область будет содержать две конических точки. Если оставить эти сегменты не склеенными, то к области ∆β (A0 )2yможно приклеить обобщённую область ∆α (2A0 ).
Полученная в результате описанной склейкиобласть опять будет иметь два эллиптических сегмента в составе свободной границы, вследствие чего эту процедуру можно повторить многократно. Вторым вариантом склейки являетсяприклейка вдоль двух эллиптических сегментов ещё одного экземпляра области ∆β (A0 )2y . Такимобразом, получаем две последних серии, различающихся количеством конических точек.52Классификация областей, содержащих конические точки, состоящих из областей,принадлежащих различным классам эквивалентностиПредложение 2.3.4. Любая обобщённая область ∆, склеенная из элементарных областейразличных классов эквивалентности и содержащая конические точки, эквивалентна области,принадлежащей одной из следующих серий:• обобщённая область ∆β ((A01 )2c + C1 );• бесконечная серия областей ∆β ((A00 )2c + 2kA0 );• бесконечная серия областей с одной конической точкой, а именно, четыре подсерии вида∆β ((A00 )2c +2kA0 +2B0 ), ∆β ((A0 )2y +2kA0 +2B0 ), ∆β ((A00 )2c +2kA0 +2A00 ) и ∆β ((A0 )2y +2kA0 +2A00 ) получающиеся приклейкой к двойной гиперболической ленте из 2k экземпляров A0обобщённой области (∆β (A0 )2y или ∆β (A00 )2c ) с конической точкой с одного конца и парыэлементарных областей с другого конца (области ∆α (2B0 ) или области ∆α (2A00 ));• бесконечная серия областей с двумя коническими точками, а именно, две подсерии вида∆β ((A00 )2c + 2kA0 + (A00 )2c ) и ∆β ((A0 )2y + 2kA0 + (A00 )2c ) получающиеся приклейкой к двойнойгиперболической ленте из 2k экземпляров A0 обобщённой области с конической точкойс обоих концов (∆β (A0 )2y или ∆β (A00 )2c ).При этом области, принадлежащие к различным сериям неэквивалентны между собой, атакже неэквивалентны между собой внутри каждой серии области с различными индексами.Доказательство.
Для начала заметим следующий факт – любая элементарная область однозначно определена, если известна пара дуг границы, сходящихся в некоторой вершине изломаграницы области. Таким образом, если обобщённая область ∆ содержит конические точки,то в качестве подобласти она содержит одну из областей, описанных в утверждении 2.3.3 –обобщённых областей, состоящих из элементарных областей одного класса эквивалентности.Поэтому для того чтобы описать произвольную обобщённую область ∆, склеенную из элементарных областей различных классов эквивалентности, необходимо описать возможные склейкиe склеенной из областей одного класса эквивалентности Ω, с различными элеменподобласти ∆,тарными областями.
Напомним, что по определению приклейка новых элементарных областейвозможна лишь вдоль эллиптических сегментов.e должна иметь свободную границу, причем в её составе обязательТаким образом, область ∆но должны находиться выпуклые эллиптически сегменты (т.к. иначе никаких элементарныхобластей к этой обобщенной области приклеить уже нельзя).Пусть Ω эквивалентна A01 . В этом случае возможной областью для склейки (см. таблицуeсегментов из доказательства утверждения 2.3.2) является область B10 , в качестве области ∆0 20 2подходит только область ∆β (A1 )c , в результате получится область ∆β ((A1 )c + C1 ).e эквивалентПусть Ω эквивалентна A0 или A00 .
Соответствующие им обобщенные области ∆20 2ны ∆β (A0 )y или ∆β (A0 )c . К этим обобщённым областям можно приклеить либо пару областейA0 , либо пару областей B0 (пара областей склеена вдоль выпуклого гиперболического или верe у новойтикального сегмента). При добавлении пары областей, эквивалентных A0 к области ∆области остаётся свободной такая же пара эллиптических сегментов границы, таким образом,склейку можно повторить. В результате, область ∆ можно представить как склеенную из трёх53кусков – область ∆β (A0 )2y или ∆β (A00 )2c , k пар областей A0 (возможно, k = 0) и области ∆0 , которая склеена из пары элементарных областей так, чтобы в часть свободной границы входиливыпуклые дуги двух эллипсов. По классификации выше, получаем, что область ∆0 , не содержащая конических точек, эквивалентна либо паре областей B0 либо паре областей A00 , склеенныхвдоль выпуклого гиперболического или вертикального cегмента.
В этом случае в полученнойобласти ∆ существует только одна коническая точка. Область ∆0 , содержащая конические точки, эквивалента либо области ∆β (A00 )2c либо области ∆β (A0 )2y . Тогда область ∆ будет иметь двеконические точки.e как легко видеть, исчерпан. СледоваНа этом список допустимых обобщенных областей ∆,тельно, утверждение полностью доказано.Следствие 2.3.5.
Любая обобщенная область содержит не более трех конических точек,причем все случаи реализуются.54Глава 3Топология изоэнергетическогомногообразия.В дальнейших рассуждениях мы предполагаем, что изоэнергетическое многообразие Q3 биллиарда в некоторой области это поверхность уровня функции |v| = 1 в многообразии M 4 .3.13.1.1Классификация изоэнергетических 3-поверхностей биллиардов в компактной области без конических точек.Биллиардная область гомеоморфна кольцу.Предложение 3.1.1.
Изоэнергетическая поверхность Q3 биллиарда в любой плоской областиΩ, ограниченной двумя гладкими кривыми, гомеоморфна прямому произведению S 1 × S 2 .Доказательство. Рассмотрим естественную проекцию h : Q3 → Ω изоэнергетической 3-поверхностина биллиардную область.Пусть плоская область Ω ограничена двумя гладкими кривыми l1 и l2 . Очевидно, что междукривыми l1 и l2 существует гладкая гомотопия φ, следовательно, область между ними заполнить непересекающимися кривыми вида φ(x, t), t ∈ [0; 1] – здесь φ(x, t) это точка кривой l1 приt = 0 и кривой l2 при t = 1. При 0 < t < 1 точка φ(x, t) может быть оснащена целой окружностью векторов скорости, поэтому прообраз h−1 (φ(x, t)), t ∈ (0, 1) в Q3 гомеоморфен открытомуцилиндру. Если точка φ(x, t) лежит на кривых l1 и l2 , т.е.
при t = 0 и t = 1 то, вследствие законаотражения, она может быть оснащена векторами скорости, множество которых в этой точкегомеоморфно отрезку. Поэтому прообраз любой кривой φ(x, t), x ∈ l, t ∈ [0; 1], оснащенный векторами скорости, гомеоморфен цилиндру, у которого две граничные окружности заклеены вотрезки, т.е. двумерной сфере S 2 . Так как кривые l1 и l2 гомеоморфны окружности S 1 , то многообразие Q3 будет гомеоморфно прямому произведению S 1 × S 2 . Предложение доказано.Следствие 3.1.2. Изоэнергетическая поверхность Q3 биллиарда в областях-кольцах Ck , ∆α (2Ck , )∆α (kA0 )2 прямому произведению S 1 × S 2 .Доказательство.
Это утверждение может быть доказано аналогично доказательству утверждения 3.1.1. Кривые l1 и l2 , ограничивающие такую область, состоят из k дуг, лежащих нанекотором (фиксированном) эллипсе (в случае областей Ck и ∆α (2Ck ) ) или некоторой (фиксированной) дуге (фиксированной) гиперболы (в случае области ∆α (kA0 )2 ).
Обозначим параметр55eквадрики, на которой лежат дуги кривой li , через λi . Для области ∆α (2Ck ) обозначим через λпараметр λ на котором лежит эллиптический сегмент склейки. В качестве гомотопии φ можновзять непрерывное изменение параметра λ софокусного семейства, для области Ck непрерывноe и непременяющегося от λ1 до λ2 , для области ∆α (2Ck ) непрерывно возрастающего от λ1 до λ2e до λ2 , для области ∆α (kA0 ) непрерывно меняющегося от λ1 до λ2 ,рывно убывающего от λв случае, если части дуг кривых l1 и l2 лежат по одну сторону от кривой Oy, и непрерывновозрастающего от λ1 до a и непрерывно убывающего от a до λ2 , в случае, если части дуг кривыхl1 и l2 лежат по различные стороны от кривой Oy.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
