Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Очевидно, что при этом изменении дуга lλзаметает всю область. Далее доказательство можно повторить.3.1.2Биллиардная область гомеоморфна диску или сфере.В статье Е.Гуткина [38] упомянут следующий факт – если плоская односвязная область Ω ограничена некоторой гладкой кривой, то изоэнергетическое многообразие Q3 биллиардной системы, определённой на такой области гомеорморфно трёхмерной сфере S 3 . Ниже мы доказываемэто факт, а также обобщаем его на случай локально-плоской односвязной области.Предложение 3.1.3. Изоэнергетическая поверхность Q3 биллиарда в любой плоской односвязной области Ω, ограниченной гладкой или кусочно-гладкой кривой, углы излома которойсоставляют π2 , гомеоморфна сфере S 3 .Доказательство.
Докажем утверждение в случае, когда кривая γ, ограничивающая областьΩ, является гладкой. Рассмотрим естественную проекцию h : Q3 → Ω. Разрежем многообразиеQ3 на два куска следующим образом. Рассмотрим гладкую связную несамопересекающуюсякривую l строго внутри области Ω.
Очевидно, что такая кривая гомотопна кривой γ. Прообразh−1 (l) кривой l в 3-поверхности Q3 гомеоморфен тору. Разрежем изоэнергетическое многообразие Q3 по этому тору. Оно распадётся на два куска. Докажем, что каждый из них гомеоморфенполноторию.“Внешний” кусок многообразия Q3 образован прообразами точек, расположенными междукривыми l и γ. Напомним, что между кривыми l и γ существует гомотопия φ, следовательно,область между ними заполнить непересекающимися кривыми вида φ(x, t), x ∈ l, t ∈ [0; 1]. При0 ≤ t < 1 точка φ(x, t) может быть оснащена целой окружностью векторов скорости, поэтомупрообразом всех таких точек в изоэнергетическом многообразии Q3 будет цилиндр.
При t = 1,т.е. когда точка φ(x, t) лежит на границе области Ω она может быть оснащена только отрезкомточек, вследствие закона отражения. Поэтому прообразом любой кривой φ(x, t), x ∈ l, t ∈ [0; 1]будет диск. Таким образом, “внешний” кусок многообразия Q3 гомеоморфен полноторию, образованному прямым произведением кривой l и прообраза одной из гомотопных друг другукривых φ(x, t), x ∈ l, t ∈ [0; 1]. В качестве стягивающегося цикла может быть выбрана прообразточки некоторой фиксированной кривой φ(x, t), x ∈ l, t ∈ [0; 1].
На границе полнотория этотцикл будет соответствовать некоторой точке кривой l, оснащенной единичными векторами скорости. При этом сама кривая l, оснащенная в каждой точке некоторым вектором (например,вектором (1, 0)), будет являться осью этого полнотория.“Внутренний” кусок многообразия Q3 образован прообразами точек, расположенными внутри кривой l. Его можно описать следующим образом – каждую точку области Ω, расположенную внутри кривой l можно оснастить окружностью точек.
Так как область внутри l, очевидно,56связна, то “внутренний” кусок многообразия Q3 гомеоморфен прямому произведению диска (области внутри кривой l) на окружность единичных векторов скорости. При этом стягивающимсяциклом является сама кривая l, будучи оснащенной в каждой точке вектором скорости (1, 0).Единичная окружность векторов, которым оснащена произвольная точка кривой l, очевидно,не может быть стянута по “внутреннему” куску многообразия Q3 .Таким образом, склейка на граничном торе T 2 склеивает исчезающий цикл одного полнотория с осью другого полнотория. Результатом этой склейки, как хорошо известно, являетсямногообразие, гомеоморфное S 3 .Пусть теперь кривая γ не гладкая, а имеет n углов Ai = π2 , i ∈ {1..n}. Фиксируем некотороедостаточно малое ε > 0. Гладко аппроксимируем кусочно-гладкую кривую γ гладкой кривойγe такой что, кривая она совпадает с кривой γ всюду, кроме ε-окрестностей углов Ai кривой γ.e Изоэнергетическая поверхностьПлоскую область, ограниченную кривой γe обозначим через Ω.3eQ для биллиарда в области, ограниченной кривой γe гомеоморфна, как уже было доказано,S 3 .
Рассмотрим ε-окрестность угла Ai кривой γ. Граница этой ε окрестности – это кривая mi ,концы которой лежат на различных сторонах угла Ai . Кривая mi лежит как в области Ω, так иe Прообраз кривой mi при отображении h в изоэнергетических многообразиях Q3 ив области Ω.3e гомеоморфна сфере, а прообраз части области Ω,e находящейся по ту же сторону от кривойQmi , что и угол Ai области Ω, гомеоморфен трехмерному диску.Рассмотрим прообраз части области Ω, ограниченной кривой mi и содержащей угол Ai .Обозначим часть области Ω, ограниченную кривой mi и содержащей угол, через ΩAi Докажем, что этот прообраз гомеоморфен трехмерному диску. Рассмотрим стягивание fAi (mi , t), t ∈[0, 1], fAi (mi , 0) = mi кривой mi в вершину угла Ai .
Причем в любой момент времени t < 1концы кривой fAi (mi , t) лежат на различных сторонах угла Ai . Тогда прообразы h−1 (fAi (mi , t))гомеоморфны сферам, стягивающимся в отрезок – прообраз вершины угла при отображении h.Таким образом, весь прообраз h−1 (ΩAi ) гомеоморфен диску.e3 все прообразы частей области Ω,e каждая изЗаменим в изоэнергетической поверхности Qкоторых находится по ту же сторону от кривой mi , что и угол Ai области Ω, на трехмерныедиски h−1 (ΩAi ). С одной стороны, такая замена не меняет топологию многообразия – трехмерной сферы S 3 . С другой стороны, в результате было получено изоэнергетическое многообразиеQ3 биллиарда в области Ω.Предложение доказано.Замечание 9. Заметим, что точки кривой γ, будучи оснащены единичными векторами скорости, будут гомеоморфны кольцу, только если кривая γ является гладкой.
Пусть кривая γимеет точку излома, образуя угол равный π2 . Локально окрестность точки излома A кривой γсостоит из двух подкривых γ1 и γ2 . Будем считать, что кривая γ1 расположена вертикально, акривая γ2 горизонтально. Оснастим каждую точку этих кривых векторами скорости.
При этомкривую γ1 оснастим векторами, направленными не левее касательной к кривой γ1 , а кривую γ2векторами, направленными не ниже касательной к кривой γ2 . Остальные вектора, которымимогут быть оснащены кривые γ1 и γ2 , мы не принимаем во внимание вследствие закона отражения. В точке излома A происходит “двойное отражение”, а именно, точка может быть оснащенавекторами, направленными не левее касательной в точке A к кривой γ1 и не ниже касательнойк кривой γ2 . Таким образом, отрезок, лежащий в прообразе любой неугловой точки кривых γ1 иγ2 “складывается пополам”.
Однако, как легко понять, сам прообраз точек кривой γ гомотопически эквивалентен окружности, которая получается в результате стягивания любого отрезкав прообразе каждой точки.57Замечание 10. Несложно убедиться в том, что фундаментальная группа изоэнергетическойповерхности Q3 для биллиарда в плоской области Ω, ограниченной кусочно-гладкой кривой,тривиальна. Элементы фундаментальной группы это петли в области Ω, оснащенные векторным полем. Понятно, что любая петля в области Ω является стягиваемой и может быть продеформирована в окружность. Препятствием для стягивания оснащенной векторами окружностиявляется индекс векторного поля вдоль неё.
Однако наличие биллиардного закона на границепозволяет “занулить” этот индекс (см. рис. 3.1).Рис. 3.1: На рисунке видно, как окружность с векторным полем, имеющим индекс 1 может бытьпродеформирована в окружность с нулевым индексом векторного поля. При вытягивании части области на границу мы можем заменить вектора (черные) на им эквивалентные (красные)воспользовавшись биллиардным законом. Очевидно, что индекс векторного поля вдоль окружности, оснащенной красными векторами на границе области и черными внутри будет нулевой.Следствие 3.1.4.
Изоэнергетическая поверхность Q3 биллиарда в обобщённой области Ω водносвязной области без конических точек гомеоморфна S 3 .Доказательство. Пусть даны две односвязные элементарные области Ω1 и Ω2 , склеивающиеся по общему эллиптическому сегменту границы l, который является дугой эллипса т.е.
гомеоморфен отрезку. Изоэнергетические поверхности Q3 для биллиарда в областях Ω1 и Ω2 попредыдущему предложению 3.1.3 гомеоморфны сферам S 3 . Переход к обобщенному биллиарду в обобщенной области, полученной склейкой областей Ω1 и Ω2 вдоль сегмента границы l,задаёт на изоэнергетических многообразиях Q3 для биллиарда в областях Ω1 и Ω2 следующиепреобразования.В начале необходимо сделать разрез вдоль точек, проекции которых при отображении Q3на область Ωi переходят в эллиптический сегмент l. Так как сегмент l гомеоморфен отрезку, тодо разреза все точки, оснащенные векторами скорости (склеенные по биллиардному закону),будут гомеоморфны диску, а после разреза (после отмены биллиардного закона) – двумернойсфере S2 , так как внутренние точки отрезка оснащаются окружностью векторов скорости, аконцевые точки – по прежнему лишь отрезком векторов.
Склейка, которую задаёт обобщенный58биллиардный закон, склеивает два разрезанных Q3 по этим сферам разреза, в результате чегополучается прямая сумма S 3 #S 3 , как известно, гомеоморфная Q3 .Для случая биллиарда в области ∆α (A2 + C2 ) можно провести аналогичное доказательство,рассмотрев область ∆α (A2 +C2 ) как результат склейки двух областей ∆α (A02 +B200 ), где в качествеотрезка l будет выступать горизонатльный отрезок, состоящий из двух граничных сегментовобласти B200 и граничного сегмента области A02 .Следствие 3.1.5. Изоэнергетические поверхности биллиардного движения в областях Ω иΩ + Ω0 гомеоморфны, если область Ω0 односвязна и приклейка её к области Ω происходит безобразования конических точек вдоль граничного сегмента, гомеоморфного отрезку.3.23.2.1Классификация изоэнергетических многообразий длябиллиардов в компактной области, содержащей конические точки.Биллиардная область гомеоморфна диску.Биллиардная область содержит одну коническую точку.Предложение 3.2.1.
Изоэнергетическая поверхность Q3 биллиарда в обобщённой области Ωс одной конической точкой гомеоморфна RP 3 .Доказательство. Из классификации обобщенных областей следует, что биллиардная областьс одной конической точкой гомеоморфна диску. Докажем утверждение для области ∆β (A01 )2c .Данная область эквивалентна области, полученной склейкой двух одинаковых областей A01 ,каждая из которых является четвертинкой области A2 , ограниченной эллипсом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
