Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Конические точки типа y образованы склейкой выпуклого или вертикальногогиперболического сегмента m и выпуклого эллиптического сегмента l(в обозначениях определений 2.3.1, 2.3.2 и 2.1.4). Конические точки типа c, иначе говоря центральные коническиеточки, образованы склейкой вдоль выпуклого или вертикального гиперболического сегмента mи горизонтального сегмента l – отвечающего квадрике с параметром b (в обозначениях определений 2.3.1, 2.3.2 и 2.1.4). Напомним, что мы не рассматриваем склейки вдоль невыпуклыхсегментов.Введём обозначения склеек, показывающих какие именно конические точки образовались:∆β (Ω)2c обозначает, что произошла склейка двух экземпляров элементарной области Ω с образованием центральной конической точки типа c, ∆β (Ω)2y обозначает, что произошла склейкадвух экземпляров элементарной области Ω с образованием конической точки типа y, ∆β (Ω)2xобозначает, что произошла склейка двух экземпляров элементарной области Ω с образованиемконической точки типа x.

Удвоенные индексы показывают, что склейка произошла с образованием двух конических точек, например ∆β (Ω)22y – область, склеенная из двух экземпляровобласти Ω с образованием двух конических точек типа y.2.3.4Классификация обобщенных областей без конических точек.Классификация обобщенных областей без конических точек, скленных из эквивалентных друг другу элементарных областей.Предложение 2.3.1. Любая обобщённая область ∆, склеенная из эквивалентных друг другуэлементарных областей, и не содержащая конических точек, эквивалентна области, принадлежащей к одной из следующих серий:• конечная серия областей, состоящая из пяти “простейших удвоенных” областей вида∆α (2Ω), которые получаются в результате склейки вдоль одного выпуклого эллиптического сегмента двух экземпляров элементарной области Ω эквивалентной A00 , A01 ,A1 ,A2 , A02 ;• бесконечная серия областей, состоящая из “гиперболических лент” ∆α (kA0 ), k > 1 полученных путем последовательной склейки k экземпляров A0 с образованием двух свободных эллиптических ребер и 2k свободных гиперболических ребер; эти области гомеоморфны диску;• бесконечная серия областей, состоящая из “гиперболических колец” ∆α (kA0 )2 , k > 0;свободная граница — это объединение 2k свободных гиперболических ребер;• бесконечная серия областей, состоящая из “эллиптических лент” ∆α (2Bk ); для этихобластей свободная граница — это объединение двух свободных эллиптических ребер ичетырех свободных гиперболических ребер; эти области гомеоморфны диску;47• бесконечная серия областей, состоящая из “эллиптических колец” ∆α (2Ck ); для этихобластей свободная граница — это объединение двух свободных эллиптических ребер.При этом области, принадлежащие к различным сериям неэквивалентны между собой, атакже неэквивалентны между собой внутри каждой серии области с различными индексами.Все такие области изображены на рисунке 2.6.AAADnAABAAAAAC областейn=2Рис.

2.6: Обобщенные области без конических точек, склеенные из элементарныходинаковых типов.2AAДоказательство. Пусть ∆ – обобщенная область, склеенная из элементарных областей Ω, принадлежащих к одному классу эквивалентности.Пусть Ω принадлежит первой серии элементарных областей (серия A) и при этом не эквивалентна A0 . В такой области Ω есть лишь один эллиптический сегмент. В результате всеобобщенные области ∆, которые получаются из этой элементарной области приклейкой такихже элементарных областей Ω, целиком принадлежат первой серии (“удвоенные области”).Пусть Ω эквивалентна A0 . У области A0 есть два строго выпуклых сегмента. Последовательные склейки вдоль этих сегментов приводят к склейке либо в длинную полосу kA0 , гомеоморфную диску (“гиперболическая лента”), либо в кольцо, если можно склеить две свободные эллиптические границы области ∆α (kA0 ) (“гиперболическое кольцо”).

Отметим, что в последнемслучае склейка возможна только в том случае, если свободные эллиптические сегменты либосовпадают, либо получаются отражением относительно фокальной прямой (при этом предполагается, что фиксированы такие изометричные вложения в плоскость всех элементарных областей, из которых склеена “лента” ∆α (kA0 ), что склеиваемые эллиптические сегменты соседнихэлементарных областей совпадают).Пусть Ω эквивалента области-кольцу Cn либо области Bn .

Все эллиптические граничныесегменты этой области отвечают софокусным эллипсам с параметрами λ1 и λ2 (предположимпри этом, что λ1 < λ2 ). Сегменты границы, вдоль которых может происходить склейка областиΩ (с другими элементарными областями Ω), принадлежащей серии элементарных областей B,при погружении в плоскость лежат на эллипсе с параметром λ1 . Так как склейка происходитвдоль всего сегмента границы, то получаемая область строится также как и “удвоенная”, врезультате получаем область “эллиптическую ленту” (если Ω эквивалентна области серии B)или “эллиптическое кольцо” (если Ω эквивалентна области серии C).48n=1Классификация обобщенных областей без конических точек, склеенных из элементарных областей, принадлежащих различным классам эквивалентности.Предложение 2.3.2.

Любая обобщённая область ∆, склеенная из элементарных областей,принадлежащих различным классам эквивалентности и не содержащая конических точек,эквивалентна области, принадлежащей одной из следующих серий:• конечная серия областей, состоящая из четырех областей вида ∆α (Ω1 +Ω2 ), где Ω1 содержит фокусы семейства (1.1) и эквивалентна A01 , A02 , A1 , A2 , а область Ω2 не содержитфокусы семейства (1.1) и эквивалентна B10 , B200 , B1 , C2 соответственно;• бесконечная серия областей, состоящая из двух подсерий областей вида ∆α (kA0 + B0 ) и∆α (kA0 + A00 ), где k > 0,которые получаются в результате склейки “гиперболической ленты” и одной из областей A00 или B0 вдоль эллиптических сегментов; эти области гомеоморфны диску;• бесконечная серия областей, состоящая из трех подсерий областей вида∆α (A00 + kA0 + B0 ), где k ≥ 0,∆α (B0 + kA0 + B0 ) и ∆α (A00 + kA0 + A00 ), k > 0,которые получаются в результате склейки “гиперболической ленты”, возможно пустой,и двух областей A00 или B0 ; эти области гомеоморфны диску.При этом области, принадлежащие к различным сериям неэквивалентны между собой, атакже неэквивалентны между собой внутри каждой серии области с различными индексами.Все такие области изображены на рисунке 2.7.Рис.

2.7: Обобщенные области без конических точек, склеенные из элементарных областейразличных типов.n=149Доказательство. Пусть обобщённая область ∆ склеена из элементарных областей более чемодного класса эквивалентности. Сразу заметим, что тогда в состав области ∆ не входят областибесконечных серий Bn и Cn при n > 2. Перечислим все ребра склейки, которые лежат на границедвух областей, принадлежащих различным классам эквивалентности (см. таблицу).Описание сегментаВ границе каких областейсодержитсядуга эллипса, не пересекающая ось абсциссB0 , A0 , A00дуга эллипса, с концами на осях координатB10 , A01дуга эллипса с концами на горизонтальном диаметреB200 , A02дуга эллипса, содержащая одну точку горизонтального B1 , A1диаметра эллипсаэллипсC2 , A 2Заметим, что если в области ∆ происходит одна из склеек между парами элементарныхобластей B10 и A01 , B200 и A02 , B1 и A1 , C2 и A2 то состав обобщенной области ∆ исчерпываетсяэтими областями с указанной склейкой.

Таким образом, остаётся рассмотреть области ∆, вкоторых присутствует склейка вдоль малой дуги эллипса, лежащей целиком в верхней илинижней полуплоскости, т.е. области ∆, склеенные из областей A0 , A00 и B0 .Пусть теперь область ∆ склеена из элементарных областей эквивалентных B0 , A0 и A00 .Заметим, что область A0 можно рассматривать как две области A00 , склеенные вдоль горизонтального прямолинейного сегмента.

Заменим все области A0 в составе области ∆ на паруобластей A00 . Таким образом, все склейки в ∆ являются последовательными склейками междуобластями, эквивалентными B0 и A00 . Однако, если произошла склейка между областью B0 иA00 , то к полученной обобщенной области больше уже нельзя ничего приклеить, т.к. один из еёэллиптических сегментов невыпуклый, а второй горизонтальный. Получаем, что любая область∆, состоящая из элементарных областей A0 , A00 и B0 может быть построена по следующей схеме: к области “гиперболической ленте”, состоящей из k экземпляров A0 вдоль двух свободныхэллиптических границ приклеиваются области B0 и A00 .

Получаем пять случаев, описанных вовторой и третьей сериях.2.3.5Классификация обобщенных областей, содержащих коническиеточки.Классификация обобщенных областей с коническими точками, склеенных из элементарных областей одного класса эквивалентности.Предложение 2.3.3. Любая обобщённая область ∆, склеенная из элементарных областей,принадлежащих одному классу эквивалентности, и содержащая конических точек, эквивалентна области, принадлежащей одной из следующих серий:• конечная серия областей, состоящая из обобщённых областей, склеенных из элементарных областей, эквивалентных A01 , а именно, три области с непустой свободной границей,склеенные из двух экземпляров ∆β (A01 )2y , ∆β (A01 )2x , ∆β (A01 )2c и две области без свободнойграницы ∆β (A01 )2cxy и ∆β ((A01 )2c + (A01 )2c );• конечная серия областей, состоящая из обобщённых областей, склеенных из элементарных областей, эквивалентных A00 , а именно, три области, склеенные из двух экземпляров50∆β (A00 )2c , ∆β (A00 )2y , ∆β (A00 )2cy и две области ∆β ((A00 )2c + (A00 )2c ), ∆β ((A00 )2c + 2A00 ), склеенныеиз четырех экземпляров области A00 ;• обобщённая область без свободной границы ∆β (A02 )22x , склеенная из двух экземпляров A02путём склейки вдоль всех границ;• обобщённая область без свободной границы ∆β (A1 )22y , склеенная из двух экземпляров A1путём склейки вдоль всех границ;• бесконечная серия областей, состоящая из обобщённых областей, склеенных из элементарных областей, эквивалентных A0 , а именно, область, склеенная из двух экземпляров∆β (A0 )22y и две бесконечных подсерии областей ∆β ((A0 )2y +2kA0 ) и ∆β ((A0 )2y +2kA0 +(A0 )2y );• бесконечная серия областей, состоящая из обобщённых областей, склеенных из элементарных областей, эквивалентных Bk , а именно, две серии областей ∆β (Bk )2y и ∆β (Bk )22y ;• бесконечная серия областей, состоящая из обобщённых областей, склеенных из элементарных областей, эквивалентных Bk0 , а именно, три бесконечных подсерии областей∆β (Bk0 )2yx , ∆β (Bk0 )2y и ∆β (Bk0 )2x ;• бесконечная серия областей, состоящая из обобщённых областей, склеенных из элементарных областей, эквивалентных Bk00 , а именно, две подсерии областей ∆β (Bk00 )2x и ∆β (Bk00 )22x .При этом области, принадлежащие к различным сериям неэквивалентны между собой, атакже неэквивалентны между собой внутри каждой серии области с различными индексами.Примеры обобщенных областей с коническими точками, склеенных из областей серии Bизображены на рисунке 2.8.Рис.

2.8: Примеры обобщённых областей c коническими точками, склеенных из областей-лентсерии B. На рисунке жирным выделены ребра склейки и окрестности конических точек.Доказательство. Рассмотрим обобщённую область ∆, которая склеена из нескольких экземпляров элементарной области Ω.51Сразу заметим, что в этом случае элементарная область Ω не может быть эквивалентнаобластям без углов – это области A2 (ограничена эллипсом) и области серии C (бесконечнаясерия неодносвязных элементарных областей).Разобьём все остальные элементарные области на классы по количеству углов.Для областей A1 и A02 существует единственный вариант склейки в область с коническимиточками так как эти области содержат всего два граничных сегмента и при склейке происходитобразование сразу двух конических точек.Пусть обобщённая область ∆, содержащая конические точки, склеена из элементарных областей, эквивалентных A01 .

Характеристики

Список файлов диссертации