Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вектора скорости vi будем различать по направлению обхода вокруг интегрального эллипса (по или против часовой стрелки) ипо направлению к интегральному эллипсу или от него. Тогда обозначим экземпляры области,e i , v1 ) – вектора скорости направленыоснащенные векторами скорости следующим образом: (Ωe i , v2 ) – вектора скорости направлены по чапо часовой стрелке к интегральному эллипсу, (Ωe i , v3 ) – вектора скорости направлены против часосовой стрелке от интегрального эллипса, (Ωe i , v4 ) – вектора скорости направлены против часовойвой стрелки от интегрального эллипса, (Ωстрелки к интегральному эллипсу. Заметим, что согласно закону отражения на эллиптическихe i , v1 ) с (Ωe i , v2 ) и (Ωe i , v3 ) с (Ωe i , v4 ), а на дугах гипербол и прясегментах границы склеиваются (Ωмолинейных сегментах границы (отметим, что все прямолинейные сегменты лежат на дугахe i , v1 ) с (Ωe i , v4 ) и (Ωe i , v2 ) с (Ωe i , v3 ).
На интегральном эллипсе векторавырожденных гипербол) (Ωe i представляетv1 и v2 , а также v3 и v4 тождественно совпадают. Поэтому в тех случаях, когда Ωсобой четырёхугольник (это верно для всех области, кроме A2 и области типа C) уровень интеграла гомеоморфен четырём четырехугольникам, склеенным по соотношениям выше, и, какe=Ωeiлегко видеть, представляет собой тор.
В случае областей A2 и областей типа C область Ωне имеет на границе дуг гипербол и прямолинейных отрезков и разбивается на две компоненты связности – с векторами v1 и v2 , направленными по часовой стрелке, и векторами v3 и v4 ,направленными против часовой стрелки. В результате торов будет два.4.1.3Теорема Лиувилля для эллиптико-гиперболического биллиарда:гиперболические значения интеграла.Предложение 4.1.2. Для всех неособых значений b < λ поверхность уровня интеграла Λ = λв изоэнергетической поверхности Q3 динамической системы биллиарда в элементарной области Ω гомеоморфна объединению торов.
Для значений λ = maxj поверхность уровня интегралов состоит из нескольких особых траекторий и, быть может пустого, объединения торов,на которых лежат траектории, не отражающиеся от выпуклого сегмента границы областиΩ, лежащего на гиперболе с параметром maxj .Определение 4.1.4. Торы, соответствующие уровням интеграла b < λ назовем гиперболическими, так как касательные к траекториям биллиарда на этом уровне касаются ветвей гиперболы семейства (1.1) с параметром λ.Доказательство.
предложения 4.1.2 почти дословно повторяет доказательство утверждения4.1.1.4.1.4Особые уровни интеграла. Описание их окрестности в терминахатомов-бифуркаций.Предложение 4.1.3. Прообраз Λ−1 ([b − ε, b + ε]) в изоэнергетической поверхности Q3 длядинамической системы биллиарда в элементарной области Ω при достаточно малом значении ε > 0 гомеоморфен следующим трёхмерным многообразиям (перечисленные ниже атомытрехмерные):• атом B для областей A2 , A0 ;64• атом A∗ для области A1 ;• атом Dn для области Cn ;000• атом Bn для Bn , Bn+1, Bn+2где n > 0;• произведение тора на отрезок для областей A02 , A01 , A00 , B0 , B10 и B200 .Доказательство.
Пусть элементарная область Ω не содержит фокусов и все точки пересеченияс фокальной прямой находятся между фокусами. Тогда эта область эквивалентна A0 или A00 .Рассмотрим интервал (f1 , f2 ) фокальной прямой, расположенный между фокусами f1 и f2 .Пусть s = [s1 , s2 ] ∈ (f1 , f2 ) отрезок, такой что гипербола, принадлежащая софокусному семейству (1.1), и проходящая через точку x0 ∈ s, имеет непустое пересечение с областью Ω.Оснастим каждую точку x0 ∈ s двумя единичными векторами скорости w, направленным горизонтально к правому и левому фокусам.
Рассмотрим дугу h˘λ гиперболы hλ семейства (1.1),проходящую через эту точку. Зафиксируем вектор скорости в точке x0 ∈ s и оснастим дугугиперболы сонаправлено этому вектору. А именно, если этот вектор был направлен вправо, тооснастим точки гиперболы векторами v1 и v2 направленным соответственно к правому фокусу и от левого фокуса (такие гиперболы назовем “правыми”).
Если же вектор был направленвлево, то оснастим гиперболу векторами v3 и v4 , направленными от правого фокуса и к левомуфокусу соответственно (такие гиперболы назовем “левыми”). На граничных дугах эллипсов области Ω по закону отражения имеем (x, v1 ) ∼ (x, v2 ) (соответственно (x, v3 ) ∼ (x, v4 )). Если жеточка x0 ∈ s лежит на гиперболическом сегменте границы области, то по закону отражения,она может быть оснащена одним вектором скорости (или двумя эквивалентными друг другувекторами).
В этом случае, вектора, направленные вправо и влево, которыми оснащается гипербола hλ , проходящая через такую точку x0 (в этом случае дуга гиперболы hλ совпадает ссегментом границы области) склеиваются друг с другом по закону отражения: (x, v1 ) ∼ (x, v4 ) и(x, v2 ) ∼ (x, v3 ).
Таким образом “правые” дуги гиперболы склеиваются с “левыми” дугами. Следовательно, прообраз Λ−1 (b) представляет собой прямое произведение окружности (прообразотрезка s) на восьмёрку (случай области A0 ) или окружность (случай области A00 ).
Рассмотримпрообраз в Q3 каждой оснащенной “правой” или “левой” дуги гиперболы при Λ ∈ ([−ε+b, b+ε]).Тогда при λ < b концы дуг гипербол hλ , лежащие в проекции уровня интеграла Λ, расположенына интегральном эллипсе. Вследствие закона отражения, каждая такая дуга гиперболы, оснащенная подходящими векторами скорости, будет гомеоморфна некоторой окружности в Q3 .При λ < b при оснащении дуги гиперболы векторами скорости (вправо или влево) получаемокружность. Таким образом, если оснащать каждую дугу гиперболы hλ , лежащую в областиΩ векторами скорости, направленными вправо (или влево), так чтобы точки этой гиперболылежали бы в прообразе Λ−1 ([−ε+b, b+ε]), то все такие точки образуют плоский атом B в случаеобласти A0 и произведение окружности на отрезок для области A00 .Пусть теперь элементарная область Ω эквивалентна области Cn .
Рассмотрим эллипсы, накоторых лежат дуги границы области Cn . Обозначим параметры этих эллипсов через λ1 < λ2 ,а соответствующие эллиптические граничные сегменты через eλ1 и eλ2 . Рассмотрим непрерывную деформацию eλ в классе квадрик семейства (1.1), переводящую сегмент eλ1 в сегмент eλ2 .При этом гомеоморфная окружности кривая eλ целиком лежит на дугах эллипса с параметромλ. Рассмотрим оснащение каждой кривой eλ векторами скорости. Пусть значение интегралаΛ = b. Тогда вектора, которыми может быть оснащена точка x кривой eλ , направлены к фокусам или от них.
Рассмотрим вектора, направленные от фокусов. Каждая точка кривой eλ ,65лежащая на фокальной прямой, оснащается одним вектором скорости, а точка, не лежащая нафокальной прямой – двумя (к правому и левому фокусам соответственно). Близких векторов,таких что точки кривой eλ лежат на уровне интеграла Λ ∈ [−ε + b, b + ε], в каждой точке попрежнему будет два – при этом точки, лежащие на фокальной прямой либо не входят в проекцию интеграла Λ на область Cn (при Λ > b) либо оснащаются двумя векторами скорости (приΛ < b).
На каждом уровне интеграла Λ > b, оснащенные точки кривой eλ образуют n окружностей – по числу отрезков, на которые распадается эта дуга при вырезании из области Cnвнутренности интегрального эллипса. На каждом уровне интеграла Λ < b оснащенные точкикривой eλ образуют две окружности – одна окружность соответствует векторам, направленнымот интегрального эллипса, а другая – векторам, направленным в интегральному эллипсу. Такимобразом, точки кривой eλ , оснащенные векторами v, направленными к фокусам, так что каждаяпара (точка, вектор) принадлежит уровню интеграла Λ ∈ [−ε + b, b + ε], образуют двумерныйатом Dn , соответствующий перестройке двух окружностей (Λ < b), в n окружностей (Λ > b),причем на особом слое лежат n критических точек (точки, лежащие на фокальной прямой).Аналогично образуют атом Dn точки кривой eλ , оснащенные векторами v, направленными отфокусов. При λ = λ1 и при λ = λ2 вследствие закона отражения происходит склейка векторов,направленных к фокусам и векторов, направленных от фокусов.
В результате полный прообразΛ−1 ([−ε + b, b + ε]) будет гомеоморфен трехмерному атому Dn .Пусть теперь область Ω эквивалентна области-ленте серии B. В этом случае в качествезаполняющих область кривых можно рассмотреть дуги кривых eλ , рассмотренных выше. Такимобразом получится, что точки x дуги кривой eλ , оснащенные векторами v, направленными кфокусам, так что Λ(x, v) ∈ [−ε + b, b + ε], образуют двумерный атом Bn , соответствующийперестройке одной окружности (Λ < b), в n + 1 окружность (Λ > b), причем на особом слоележат n критических точек (количество точек дуги кривой eλ , лежащих на фокальной прямой).В результате аналогичной конструкции получаем атомы Bn или, если n = 0 или Ω эквивалентнаB10 или B200 , прямое произведение тора на отрезок.Пусть элементарная область Ω эквивалентна области A01 . Будем считать, что горизонтальный сегмент границы этой области это отрезок [h, e], где точка (h, 0) лежит на граничной гиперболе, а точка (e, 0) на граничном эллипсе, причем e > h.
Дуги h˘λ софокусных гипербол hλгипербол, принадлежащие семейству 1.1, попавшие в область A01 , не пересекаются, а их объединение при λ < b заполняет область Ω без горизонтального отрезка [f2 , e].Как уже было показано, если оснащать каждую точку x дуги h˘λ гиперболы hλ , лежащуюв области векторами скорости v, направленными вправо (или влево), так чтобы точки этойгиперболы лежали бы в прообразе Λ(x, v) ∈ [−ε + b, b + ε], то множество всех таких точек будетгомеоморфно прямому произведению окружности, лежащей на слое Λ = λ ∈ [−ε + b, b + ε], наотрезок [−ε, +ε].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
