Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Будучиоснащённым векторами, направленными либо к правому фокусу либо от левого он образуетвосьмёрку – критический слой двумерного атома B. Рассмотрим для каждого вектора оснащения его окрестность. В результате получим плоский атом B – сечение трёхмерного атома. Этосечение высекает изображенные красным цветом на рисунке 4.3б) две окружности на эллиптических торах и на рисунке 4.3в) окружность на гиперболическом торе.

Ориентацию выберемсонаправленную с векторами скорости – при направлении вектора вверх туда же направим ивектор скорости кривой, поднимающейся до цикла µ. Это правило задаёт согласованную ориентацию на всех циклах µ на граничных торах атома B.Выбранные (см.циклы показывают, что матрицы склейки на эллиптических рис. 4.3a),б))0 1торах имеют вид. Откуда получаем, что метки r = 0, ε = 1.1 0На рисунке (см.

рис. 4.3б) выбраны циклы на гиперболическом торе. Оказывается, эти циклыявляются допустимыми базисными циклами (λ, µ) как на граничных торах атома A, так и на71−1 0граничных торах атома B. Получаем, что матрица склейки имеет вид(сменили0 1ориентацию цикла λ, чтобы матрица склейки имела бы определитель -1). Следовательно, меткаr = ∞. Знак метки ε зависит от выбора ориентации многообразия Q3 , однако мы фиксируемориентацию, при которой знак ε = 1.Циклы биллиарда в областях серий B и C.Циклы для биллиарда в таких областях выбираются аналогично циклам для области A0 – всегиперболические сегменты заменяются на эллиптические и наоборот.Рис. 4.4: Циклы на торах для серии областей B, где в качестве примера взята область B2 .Зелёным цветом выделены циклы λ, а красным циклы µ. Пунктиром обозначены интегральныеэллипсы и гиперболы.

На рисунке а) изображены циклы на эллиптическом торе, на рисункахб) и в) циклы на гиперболических торах атомов A и B соответственно.Покажем, как выбрать циклы для изоэнергетической поверхности биллиарда в области B2(4.4). На рисунке 4.4а) выбраны циклы для эллиптического тора.

Так как цикл λ, гомеоморфный слою расслоения Зейферта на атоме B, стягивается в точку на атоме A, то метка r = ∞.Знак метки ε здесь не определён – он может меняться при смене ориентации многообразия Q3 .Выбранные на рисунках 4.4б) и 4.4в) циклы показывают, что матрицы склейки вдоль гипер0 1болических торов имеют вид. Напомним, что мы зафиксировали ориентацию циклов1 0µ на граничных торах седлового атома. Откуда получаем, что метки r = 0, ε = 1.При этом заметим, что проекции гиперболических торов областей для всех остальных областей серий B, а также для областей серии C будут такими же, как проекции торов, изображенных на рисунке 4.4. Циклы на этих торах выбираются точно также как и циклы длягиперболических торах биллиарда в области B2 .

Для выбора циклов на эллиптическом торенеобходимо “удлиннить” цикл µ так, чтобы его проекция на биллиардную область целиком былежала на всех дугах интегрального эллипса, входящих в данную область. Матрицы склейкипри этом, очевидно, не изменятся.724.2.2Метки эллиптико-гиперболического биллиарда в области, содержащей фокусы.Биллиард в области A2 .На рисунке 4.5 показан выбор циклов на торах для молекулы, описывающей топологию изоэнергетического многообразия биллиардной системы в области A2 . В верхнем ряду зелёные циклыпри стремлении интегральных эллипсов и гипербол к фокальной прямой, очевидно, переходят в движения вдоль фокального отрезка.

Красные циклы µ выбраны единым образом – онипредставляют собой окружности, которые ветвь некоторой гиперболы, оснащенная векторамискорости, направленными вправо, высекает на трёхмерном атоме B. Именно такие гиперболы были использованы в построении трехмерного атома B. Зафиксируем на них ориентациюединым образом (например так, чтобы направление ориентации цикла было сонаправлено векторам, которыми оснащена эта дуга гиперболы).В нижнем ряду зелёные циклы λ при стремлении интегрального эллипса к границе области,а интегральной гиперболы к горизонтальной прямой, стягиваются в точку, тогда как красныециклы µ переходят в соответствующие критические минимаксные движения.Заметим, что на каждом торе циклы µ и λ пересекаются в одной точке, т.е.

задают на нёмбазис.a)в)б)Рис. 4.5: Циклы на торах атомов в изоэнергетической поверхности Q3 для биллиарда в областиA2 . Зелёным цветом выделены циклы λ, а красным циклы µ. Пунктиром обозначены интегральные эллипсы и гиперболы. На рисунках а) и б) изображены циклы на эллиптических торах, нарисунке в) циклы на гиперболическом торе. В верхнем ряду –циклы на граничных торах седлового атома B, в нижнем ряду – на граничных торах соответствующих минимаксных атомовA.Выпишем матрицы склейки, исходя из выбранных на рисунке 4.5 циклов λ и µ. Очевидно,732 11 0.

На гиперболическомчто на эллиптических ребрах матрица склейки будет иметь вид−1 1ребре матрица склейки принимает вид: определитель матрицы склейки обязан рав0 1няться -1, что приводит к тому что необходимо обратить ориентацию исчезающего цикла λ наторе минимаксного атома, так как ориентация дополнительного цикла µ на седловом атоме Bуже фиксирована ранее.В результате, получаем, что метки на ребрах имеют вид r = 0, ε = 1.

Метка n в семье вычисляетсяобразом (напомним, что все рёбра молекулы ориентированы как входящие)P следующимδi0n = i [− βi ] = [− 1 ] + [− 01 ] + [− 11 ] = −1. Будем писать в молекулах n = 1, подразумевая, чтометка n = ±1 (она зависит от выбора ориентации многообразия Q3 ).Биллиард в области A1 .Выберем циклы на граничных торах минимаксных атомов A. В качестве исчезающих цикловλ можно выбрать оснащенную векторами скорости дугу гиперболы (эллипса), заключеннуюмежду интегральным и граничным эллипсом (интегральной или граничной гиперболой). Дополняющий λ до базиса на этом торе цикл µ как и раньше можно выбрать взяв дугу интегрального эллипса (интегральной гиперболы) и оснастить её касательными векторами скорости. Этициклы изображены на рисунке 4.6.Рис.

4.6: Циклы на граничных торах минимаксных атомов A для области A1 . Зелёным цветомвыделены циклы λ, а красным циклы µ. Пунктиром обозначены интегральные эллипсы и гиперболы. На рисунке слева изображены циклы на эллиптическом торе, на рисунке справа – нагиперболическом.Циклы на торах седлового атома A∗ с неориентируемыми сепаратрисными диаграммамивыбираются так.

Для начала укажем циклы λ – слои расслоения Зейферта. Они изображенызелёным цветом на рисунке 4.7 ниже. Очевидно, что при стремлении интегральной квадрики кфокальной прямой они перейдут в движения вдоль оси Ox. Здесь наглядно видно, что циклыλ в пределе будут накрывать критическую траекторию дважды, что показывает, в частности,неориентируемость атома A∗ .Далее, как и в случае области A2 , рассмотрим сечение трёхмерного атома A∗ двумерныматомом B, который образуют точки фиолетовой гиперболы, изображённой на рисунке 4.7, осна74щённые векторами скорости, направленными вправо. Такие точки распадаются на три циклаµ̂ – слева изображены два цикла, высекаемые на эллиптическом торе, а справа – цикл, высекаемый на гиперболическом торе.

Фиксируем на них ориентацию аналогично тому, как былазафиксирована ориентация на циклах µ в случае торов, относящихся к седловому атому B изоэнергетической поверхности биллиарда в области A2 , ограниченной эллипсом. Для того чтобы сконструировать из циклов µ̂ настоящие циклы µ мы, согласно построению циклов на неориентируемом атоме, из двух циклов на эллиптическом торе выберем один (без ограничения общностиверхний), а к половине цикла µ̂ на гиперболическом торе добавим половину соответствующегоцикла λ – слоя расслоения Зейферта.

Полученные искомые циклы µ изображены в нижнемряду на рисунке 4.7.Выпишемсклейки. Очевидно, что на эллиптическом торе матрицасклейки прини матрицы2 1−2 1мает вид. На гиперболическом торе получаем матрицу. В самом деле, без1 0−1 1учета знаков матрица имеет определитель 1, что противоречит определению матрицы склейки.Для того чтобы это исправить необходимо изменить ориентацию исчезающего цикла λ (тогдана -1 домножится первый столбец матрицы), так как ориентация цикла µ уже фиксирована.Следовательно, необходимо изменить ориентацию исчезающего цикла λ и матрица примет искомый вид.Тогда метки на ребрах имеют получаются следующие r = 0, ε = 1. Метка n в семьевычисляетсяследующим образом: т.к.

Характеристики

Список файлов диссертации