Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Для всех значений Λmin < λ < b поверхность уровня интеграла Λ = λ визоэнергетической поверхности Q3 динамической системы биллиарда в обобщённой областигомеоморфна объединению торов.Определение 6.1.3. Торы, соответствующие уровням интеграла Λmin < λ < b назовем эллиптическими, так как касательные к траекториям биллиарда на этом уровне касаются эллипсасемейства (1.1) с параметром λ.Доказательство. Обобщённая область ∆ склеена из элементарных областей Ωi . Нам известно,что λ < b. Касательные к траекториям биллиарда на этом уровне будут касаться некоторого эллипса с параметром λ. Назовём этот эллипс интегральным. Вырежем из каждой элементарнойобласти Ωi , входящей в состав обобщённой области ∆, внутренность интегрального эллипса.Полученное многообразие является проекцией уровня интеграла на область ∆. В дальнейшихрассуждениях под прообразами точек области понимаются прообразы при этой проекции.

Фикe При этомсируем некоторую компоненту связности этого многообразия и обозначим её через ∆.eмногообразие ∆ это некоторая элементарная или обобщенная область, склеенная не более чемe это элементарная область, то можно воспользоиз четырех элементарных областей Ωei . Если ∆e – обобщеннаяваться аналогичным утверждением 4.1.1 для элементарных областей. Если же ∆eобласть, то опишем её, используя прообразы элементарных областей Ωi . Для этого в каждойобласти Ωei рассмотрим прообраз для системы биллиарда в ней. Он гомеоморфен одному илиe поднимаетсянескольким торам (см. предложение 4.1.1).

Далее, склейка областей Ωei в область ∆до склейки торов – для этого на каждом торе необходимо произвести разрез вдоль точек, проекции которых лежат на ребре склейки. А затем склеить разрезанные торы по новому отношениюэквивалентности – обобщенному биллиардному закону.84e являющихся обобщенными областями, конечен и исчерпывается пятью типами,Список ∆,поэтому разобьём дальнейшее доказательство на четыре шага.e эквивалентна области, склеенной из двух экземпляровШаг первый. Область ∆элементарной области, принадлежащей серии B или C, вдоль выпуклого эллиптического граничного сегмента.В каждом торе, лежащем в прообразе области Ωei , прообраз ребра склейки, лежащего наэллиптическом граничном сегменте, является некоторым циклом.

Результат склейки двух экземпляров разрезанных по одинаковым циклам торов, будет, очевидно, тором.e эквивалентна области, склеенной из четырех экземпляШаг второй. Область ∆ров элементарной области, принадлежащей серии B, вдоль дуг выпуклых сегментовграницы (эллиптических и гиперболических).В каждом торе, лежащем в прообразе области Ωei , прообразы ребер склейки, лежащих наэллиптическом и гиперболическом граничных сегментах, являются парой циклов, образующихбазис на этом торе. Можно считать, что прообраз ребра склейки, лежащего на эллиптическомграничном сегменте, является циклом (1, 0), а прообраз ребра склейки, лежащего на гиперболическом граничном сегменте, является циклом (0, 1).

Очевидно, что если четыре экземпляратора сначала разрезать по упомянутым циклам, а потом склеить попарно, то результатом будеттор.e эквивалентна области, склеенной из двух экземпляровШаг третий. Область ∆элементарной области, принадлежащей серии B, вдоль дуг выпуклых сегментовграницы (эллиптических и гиперболических) в область с одной конической точкой.Склеим из прообразов областей Ωei тор, подняв склейку областей Ω вдоль гиперболического сегмента границы до склейки двух разрезанных торов вдоль цикла (1, 0) (см. предыдущий шаг). Разрежем полученный тор по точкам, проекции которых лежат на эллиптическомребре склейки. Эти точки на данном торе образуют окружность – нетривиальный цикл (попостроению).

Обозначим вектора скорости, которыми оснащены точки на одном экземпляреобласти B через vi , а на другом экземпляре области B через wi , сохраняя прежнюю нумерацию (вектора v1 и w1 направлены к интегральному эллипсу по часовой стрелке, вектора v2 иw2 направлены от интегрального эллипса по часовой стрелке, вектора v3 и w3 направлены кинтегральному эллипсу против часовой стрелки, вектора v4 и w4 направлены от интегрального эллипса против часовой стрелки).

Тогда на разрезанном торе граница – это две окружности, каждая из которых разделена на четыре равных части. Одна окружность, обозначимеё через S1 , состоит из точек x, принадлежащих ребру склейки и последовательно оснащенных следующими векторами {v1 , v3 , w1 , w3 } – каждая из четвертей окружности S1 оснащенасвоим типом векторов, которые склеиваются друг с другом в концах эллиптического сегмента либо по закону отражения (например, v1 и v3 ), либо по правилу склейки – обобщенномубиллиардному закону на гиперболическом ребре склейки (например, v1 и w3 ).

Все векторы,которыми оснащены точки эллиптического граничного сегмента, составляющие окружность S1e Окружность S2 составляют точки эллиптического граничногонаправлены “внутрь” области ∆.сегмента, последовательно оснащенные следующими векторами, направленными “наружу”, аименно векторами {v2 , v4 , w2 , w4 }. В неразрезанном торе эти окружности склеивались по правилу (v1 , v3 , w1 , w3 ) ∼ (v2 , v4 , w2 , w4 ) соответственно. После окончательной склейки области Ωei вe вдоль эллиптического граничного сегмента, эти окружности будут склеены по слеобласть ∆,дующим правилам {v1 , v3 , w1 , w3 } ∼ {w2 , w4, v2 , v4 } соответственно, т.е.

фактически с поворотомокружности на π. При этом тор перейдёт в тор.85e эквивалентна области, склеенной из двух экземпляШаг четвертый. Область ∆ров элементарной области, принадлежащей серии B, вдоль двух дуг выпуклых сегментов границы (эллиптических и гиперболических) и одной дуги горизонтальногосегмента границы в область с двумя коническими точками.Склеим из прообразов областей Ωei два тора, подняв склейку областей Ω вдоль двух сегментов границы (выпуклого гиперболического и горизонтального) до склейки двух разрезанныхторов вдоль двух параллельных циклов.

Тогда в прообразе эллиптического ребра склейки лежат две окружности на каждом торе. Склеив два разрезанных тора по двум окружностям,получаем тор. Утверждение доказано.6.1.3Теорема Лиувилля для обобщённого биллиарда: гиперболические значения интеграла.Предложение 6.1.2. Для всех значений b < λ < Λmax поверхность уровня интеграла Λ = λ визоэнергетической поверхности Q3 динамической системы биллиарда в обобщённой области,не содержащей конических точек, гомеоморфна объединению нескольких торов.Определение 6.1.4.

Торы, соответствующие уровням интеграла b < λ < Λmax назовем гиперболическими, так как касательные к траекториям биллиарда на этом уровне касаются ветвейгиперболы семейства (1.1) с параметром λ.Доказательство. предложения 6.1.2 аналогично доказательству утверждения 6.1.1.6.1.4Особые уровни интеграла. Описание их окрестности в терминахатомов-бифуркаций.Предложение 6.1.3. Трехмерный прообраз Λ−1 ([b−ε, b+ε]) в изоэнергетической поверхностиQ3 для динамической системы биллиарда в обобщенной области ∆, склеенной из элементарных областей одинаковых типов, и не имеющей конических точек, гомеоморфен следующимтрёхмерным многообразиям (перечисленные ниже атомы трехмерные):• произведение тора на отрезок для “простейших удвоенных” областей вида ∆α (2Ω), гдеэлементарная область Ω эквивалентна A00 , A01 , A02 , B0 , B10 , B200 ;• атом B для областей ∆α (2A1 ), ∆α (2C1 ) и ∆α (A0 )2 ;• атом C2 для области ∆α (2A2 );000• атом Bn для областей, склеенных из эллиптических лент – ∆α (2Bn ), ∆α (2Bn+1) и ∆α (2Bn+2)n > 0 и гиперболических лент ∆α (nA0 ), n > 1;• атом Dn для областей, гомеоморфных кольцу, а именно для гиперболических “колец”∆α (nA0 )2 , n > 1 и областей, склеенных из эллиптических “колец” – ∆α (2Cn ), n > 1 ;Доказательство.

Пусть область ∆ эквивалентна области ∆α (2A1 ). Рассмотрим заполнениеэтой области дугами софокусных эллипсов, в том числе, двумя отрезками вырожденного эллипса. Тогда почти полностью повторяя доказательство 4.1.3 для области A2 заменой дуг гиперболна дуги эллипсов получаем, что особый слой будет гомеоморфен особому слою атома B.86Пусть область ∆ эквивалентна области ∆α (2C2 ). Рассмотрим атом C2 , описывающий окрестность особого слоя Λ = b для биллиардного движения в области C2 . При построении (см. предложение 4.1.3) особого слоя мы рассматривали заполнение области C2 дугами софокусныхэллипсов, расположенных между граничными эллипсами области C2 . Рассмотрим объединениетаких заполнений двух областей ∆α (2C2 ).

В прообразе каждого эллипса лежит особый слойплоского атома C2 . Разрезав трехмерный атом C2 вдоль плоского атома C2 мы получаем прообраз точек, лежащих в одной области C2 : фактически это будет прямое произведение особогослоя плоского атома C2 на отрезок, образованный точками, лежащими на отрезке фокальнойпрямой внутри области (без ограничения общности) справа от фокуса. Два таких отрезка (каждый в своём экземпляре области C2 ) склеиваются в окружность. Эта склейка продолжается насклейку прямых произведений в результате чего получается прямое произведение особого слояплоского атома C2 на окружность.

Аналогичную конструкцию можно провести и в случае областей ∆α (2Cn ) и ∆α (2Bn ).Для дальнейшего доказательства этого предложения мы показываем, как меняются прообразы особых слоев изэнергетических поверхностей Q3 биллиарда в элементарных областях присклейке этих элементарных областей в обобщенную область. Заметим, что слой интеграла Λдля биллиарда в обобщенной области может быть склеен из разрезанных слоев интеграла Λ вэлементарных областях, составляющих область Ω.

На слоях интеграла Λ необходимо сделатьразрезы вдоль точек x, проекции которых лежат на ребрах склейки. Затем произвести склейкуразрезанных слоев интеграла Λ, согласно новым правилам склейки – обобщенному биллиардному закону. Склейка на неособых эллиптических торах описана в предложении 6.1.1, аналогичноможет быть описана склейка на гиперболических торах 6.1.2. Здесь покажем как происходитсклейка особых слоев интеграла Λ.Пусть обобщенная область ∆ эквивалентна области вида ∆α (2Ω), где внутренность элементарной области Ω не содержит точек фокальной прямой. Рассмотрим торы T u и T d , которыепредставляют собой особые слои динамической системы биллиарда в элементарной области Ω(см.

предложение 4.1.3). Разрежем каждый тор по окружности, образованной точками эллиптического сегмента границы – ребра склейки областей Ω – оснащенными векторами скорости.Такие окружности образуют циклы на торах T u и T d . Два разрезанных тора склеиваются вдольдвух граничных окружностей вследствие обобщенного биллиардного закона. При этом получается тор.Пусть область ∆ эквивалентна области ∆α (A0 )2 . Представим эту область, как результатсклейки двух экземпляров области A00 вдоль двух граничных сегментов – эллиптического игоризонтального.

Характеристики

Список файлов диссертации