Топологическая классификация интегрируемых биллиардов (1105027), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рассмотрим теперь точки, лежащие на горизонтальном отрезке.Прообраз этого отрезка, лежащий на особом слое интеграла Λ = b в изоэнергетической поверхности Q3 гомеоморфен окружности. В самом деле, в прообразе фокуса лежат точки вида(f2 , 0, w1 , w2 ), где (w1 , w2 ) – это единичный вектор скорости, без ограничения общности направленный вверх т.е. w12 + w22 = 1 и w2 ≥ 0. Значит, прообраз фокуса можно запараметризоватьзначением w1 ∈ [−1, 1]. Прообраз полуинтервала (f2 , a] – это интервал.
Каждая точка полуинтервала кроме точки (a, 0) оснащена парой векторов (±1, 0), а точка (a, 0) по закону отраженияна данном уровне интеграла может быть оснащена лишь одним вектором. Склеивая отрезоки интервал по граничным точкам, получаем окружность. Будем называть её правой фокуснойокружностью. Правая фокусная окружность с одной стороны является пределом окружностей,лежащих на каждом уровне интеграла Λ < b в прообразе отрезка [l, e], где l > xf (точка (e, 0)66лежит на интегральном эллипсе), а с другой стороны пределом окружностей, лежащих на каждом уровне интеграла Λ > b в прообразе дуги интегральной гиперболы.Покажем, как именно на уровне интеграла Λ = b точки, лежащие на дугах невырожденныхгипербол, переходят в правую фокусную окружность.
Устремим оснащенную единичными векторами скорости дугу h˘λ к правому фокусному отрезку т.е. устремим λ к b. При λ достаточноблизких к b при движении точки x по дуге h˘λ вектор скорости v1 (напомним, что он направлен кправому фокусу), которым оснащена точка x, совершает почти полный оборот на π – на отрезкемежду фокусами он направлен вправо, а на границе направлен почти горизонтально влево, поворачиваясь по часовой стрелке при стремлении точки x к границе области. Если же оснаститьточку x дуги h˘λ вектором скорости v2 (он направлен от левого фокуса), то при стремлении x кгранице области, вектор скорости v2 повернётся на небольшой угол против часовой стрелки.
Впределе при стремлении дуги h˘λ , оснащенной векторами v1 , к горизонтальному отрезку частьдуги перейдёт в фокус, оснащенный векторами скорости, а часть дуги – в часть отрезка [xf , e],оснащенного векторами скорости, направленными влево. Дуга h˘λ , оснащенная векторами скорости v2 в пределе целиком перейдёт в часть отрезка [xf , e], оснащенного векторами скорости,направленными вправо.Так как область Ω эквивалентна A01 , то с одного конца полученные цилиндры – прообразыдуг невырожденных гипербол, лежащих внутри области A01 – склеиваются вдоль фокуснойокружности, а с другой – вследствие закона отражения.
Таким образом, прообраз особого слоя– это тор, на котором можно выделить цикл типа (1, 1), который соответствует движению вдольгоризонтальной границы области. На рисунке 4.1.4 показан особый слой интеграла Λ = b длябиллиарда в области A01 .Рис. 4.1: Особый слой интеграла Λ = b для биллиарда в области A01 . Точки А и B – это точки,лежащие в фокусах, оснащенные векторами скорости, направленными горизонтально.
Жирнымвыделена особая окружность этого слоя.Пусть элементарная область Ω эквивалентна элементарной области вида A1 или A2 . Можносчитать, что эллиптические сегменты границы этих областей лежат на эллипсе с параметром a.Проведём построение, аналогичное построению выше для областей A01 или A02 . При этом будемговорить, что дуги h˘λ гипербол hλ состоят из двух дуг – верхней h˘uλ (расположенной в верхнейполуплоскости y > 0) и нижней h˘dλ (расположенной в нижней полуплоскости y < 0). Множествоточек x, принадлежащих объединению дуг h˘uλ и h˘dλ , и оснащенных векторами скорости v, такимичто значение интеграла Λ(x, v) ∈ [−ε+b, b+ε], как показано выше, гомеоморфно плоскому атомуB, где особый слой – восьмерка – образован точками, лежащими на уровне интеграла Λ = b.Рассмотрим точки, лежащие на особом слое Λ = b.
Прообраз отрезка [f2 , a], лежащий наособом слое Λ = b, гомеоморфен результату склейки окружности (прообраз фокуса) и отрезка(образованного точками отрезка [f2 , a], оснащенных векторами скорости (1, 0) и (−1, 0)), где67граничные точки отрезка (точки (f2 , 0), оснащенные векторами (1, 0) и (−1, 0) ) отождествленыс двумя точками окружности. Устремим теперь λ к b и покажем, как восьмерка переходит впрообраз отрезка [f2 , a]. Дуга h˘uλ , оснащенная векторами v1 при стремлении λ к b переходит вфокус, оснащенный векторами, направленными вниз, и отрезок [f2 , a], оснащенный векторами,направленными вправо.
Далее, дуга h˘dλ , оснащенная векторами v3 при стремлении λ к b переходит в фокус, оснащенный векторами, направленными вниз, и отрезок [f2 , a], оснащенныйвекторами, направленными вправо. Таким образом, пределы у этих дуг совпадают. Разбираяоставшиеся пары дуг, приходим к выводу что при склейке дуг h˘λ , оснащенных векторами v1 иv2 , и дуг h˘λ , оснащенных векторами v3 и v4 , происходит “перекрутка”, при которой оснащенныеверхние дуги h˘uλ склеиваются с оснащенными нижними дугами h˘dλ .
На рисунке 4.2 показано, каклокально на особом слое 3-атома B выглядят прообразы дуг h˘λ и прообраз фокуса, оснащенныйвекторами скорости.Если область Ω эквивалентна элементарной области A2 , то “перекруток” будет две (по однойв каждом фокусе) и особый слой совпадёт с особым слоем атома B. Если же Ω эквивалентнаэлементарной области A1 то когда дуга h˘λ в определенный момент совпадёт с границей области:верхние дуги склеятся с верхними, а нижние с нижними (как на границе происходит склейка вособом слое для биллиарда в области A0 ), вследствие чего второй “перекрутки” не произойдёт.В результате получим нечетное число “перекруток” и особый слой будет гомеоморфен особомуслою атома A∗ .Предложение полностью доказано.4.2Вычисление инварианта Фоменко-Цишанга.Предложение 4.2.1.
А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. [4.3][11]1. Молекула A–A всегда задаёт 3-многообразие, склеенное из двух полноторий. Каждое изэтих полноторий стандартным образом расслоено на 2-торы, что и задаёт слоение всего3-многообразия на торы Лиувилля. Это слоение имеет ровно два особых слоя – окружности, являющиеся осями полноторий.2. Молекула A–A с меткой r = 0 задаёт трёхмерную сферу S 3 .3. Молекула A–A с меткой r =12задаёт трёхмерное проективное пространство RP 3 .4.
Молекула A–A с меткой r = ∞ задаёт прямое произведение S 1 × S 2 .5. Молекула A–A с меткой r = pq , где q < p и p ≥ 3, задаёт линзовое пространство Lp,q .Теорема 4.1. Инвариант Фоменко-Цишанга – меченая молекула W ∗ , описывающая топологию слоения Ливуилля изоэнергетической поверхности Q3 для биллиардного движения в элеr=0,ε=1ментарной области Ω, имеет вид A −−−−−→ A, если область Ω не содержит (внутри областиили на границе) отрезков фокальной прямой, т.е. если область Ω эквивалентна A00 , A01 , A02 ,B0 , B10 или B200 . Если область Ω содержит отрезки фокальной прямой, то молекула имеетуказанный в таблице вид (см. рис.
4.2).68а)б)Рис. 4.2: На рисунке а) изображена часть особого слоя атома B, описывающего бифуркациюна уровне интеграла Λ = b изоэнергетической 3-поверхности биллиарда в области A2 (ограниченной эллипсом), точки которой проектируются в точки области A2 , расположенные вблизиправого фокуса. Жирным изображены точки, проекции которых лежат на отрезке фокальнойпрямой между правым фокусом и границей области A2 .
На этом особом слое цветом отмеченыточки, проекции которых лежат на дугах h˘λ софокусных гипербол. Красным цветом изображены точки дуг гипербол, оснащенных векторами скорости v1 , направленными к правому фокусу,зелёным цветом – точки дуг гипербол, оснащенных векторами v2 , направленными от левогофокуса, синим цветом – точки дуг гипербол, оснащенных векторами v3 , направленными отправого фокуса, оранжевым цветом – точки дуг гипербол, оснащенных векторами v4 , направленными к левому фокусу. Слева от особой окружности изображены точки, проекции которыхлежат на дугах гипербол, расположенных выше оси Ox (для точек, оснащенных векторами v1и v2 ) и ниже оси Ox (для точек, оснащенных векторами v3 и v4 ). На рисунке б) изображеначасть атома B: жирным красным изображены точки, проекции которых лежат на отрезке фокальной прямой между правым фокусом и границей области A2 , в том числе точки, которыележат на интегральной гиперболе (на части внешнего, гиперболического, тора) и точки, лежащие на интегральных эллипсах (на частях внутренних, эллиптических торов).
Зелёным цветомизображено сечение атома B, образованного точками, лежащими на дуге некоторой гиперболы,софокусной с граничным эллипсом области A2 .69Доказательство. Рассмотрим биллиард систему в элементарной области Ω, эквивалентной одной из областей A00 , A01 , A02 , B0 , B10 , B200 . Согласно предложению 4.1.3 изоэнергетическое многообразие Q3 расслоено на двумерные торы, и может быть представлено как результат склейки двухполноторий (атомов A) по граничному тору. Так как Q3 гомеоморфно, согласно предложению3.1.2, сфере S 3 , то метка r = 0.Пусть теперь внутренность элементарной области Ω содержит отрезки фокальной прямой.Тогда, согласно предложению 4.1.3, молекула имеет один седловой атом. Ориентируем все рёбрамолекулы по направлению к седловому атому.
Для вычисления меток в каждом случае необходимо выбрать циклы на граничных торах у атомов, образующих молекулу W . Эти циклымы будем выбирать следующим образом: предъявим кривую в биллиардной области Ω, которая лежит в проекции данного тора Лиувилля. И покажем, какими векторами скорости мыоснащаем эту кривую, поднимая её до кривой на торе и на многообразии Q3 . После вычисления меток, ориентируем рёбра согласно росту функции Λ изменяя метки согласно описаннымвыше правилам. Согласно замечанию 2 мы в каждом случае будем фиксировать ориентациюдополнительных циклов µ на граничных торах седлового атома.
Тогда для выбора правильнойориентации цикла λ на граничном торе минимаксного атома A необходимо будет выбрать туиз них, при которой определитель матрицы склейки на этом ребре будет равен -1.4.2.1Метки эллиптико-гиперболического биллиарда в бесфокуснойобласти.Напомним, что на граничном торе атома A в качестве цикла λ выбирается цикл, стягивающийсяв точку внутри полнотория, а в качестве цикла µ – цикл, дополняющий λ до базиса, причемориентация выбирается таким образом, чтобы ориентация цикла µ совпадала с ориентациейоси полнотория (атома A), т.е. его направление должно совпадать с ориентацией критическойтраектории.На атоме B цикл λ – это слой расслоения Зейферта и при стремлении интегрального эллипса(или интегральной гиперболы) к фокальной прямой он должен переходить в отрезок прямой,оснащенный касательными векторами к ней.70Циклы для биллиарда в области A0 .Рис.
4.3: Циклы на торах для области A0 . Зелёным цветом выделены циклы λ, а краснымциклы µ. Пунктиром обозначены интегральные эллипсы и гиперболы. На рисунках а) и б)изображены циклы на эллиптических торах атомов A и B соответственно, на рисунке в) –циклы на гиперболическом торе.Рассмотрим эллиптический тор. Траектории, лежащие на этом торе, касаются некоторогоинтегрального эллипса. Проекция тора состоит из двух областей, вырезаемых из области A0внутренностью интегрального эллипса.
В качестве исчезающих циклов λ на граничных торахатома A можно выбрать дугу некоторой гиперболы, оснащённую подходящими векторами скорости (т.е. такими что оснащенные точки лежат на соответствующем торе). Такая оснащённаядуга представляет собой окружность на рассматриваемом эллиптическом торе. Цикл µ, дополняющий выбранный λ до базиса, можно выбрать как дугу интегрального эллипса, лежащую награнице проекции эллиптического тора, оснащённую касательными векторами скорости. Этотже цикл при стремлении тора к атому B переходит в критическую окружность этого атомаи, таким образом, может быть выбран в качестве цикла λ на граничном эллиптическом тореатома B. Согласованные циклы µ на граничных торах атома B можно выбрать следующимобразом. Рассмотрим отрезок, образованный в пересечении области A0 и осью Oy.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
