А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В зависимости от температуры 0 растет несколько быстрее, чем пропорционально Тз'з. Это объясняется тем, что прн росте Т несколько уменьшается поперечное сечение, что приводит к дополнительному увеличению длины свободного пробега. Коэффициент диффузии для кислорода и азота в воздухе при нормальных условиях имеет порядок 10 ' м'/с, как это непосредственно видно из (52ЛЗ), если учесть, что для них (1) - 10 а м, (и) - 500 м/с. Связь между коэффициентами, характеризующими уравнение переноса. Из выражений (52.7), (52.10) и (52.13) следует, что 2. = цек/(юд а) = цс„ (52.14) 0 = ц/р = Х/(сгр), (52.15) 368 6. Процессы переноса Прежде всего по смыслу вывода (52.4) ясно, что это уравнение применимо для каждой из компонент газа, однако длина свободного пробега (1) должна быть вычислена с учетом столкновений с молекулами не только того же сорта, но и другого.
Поэтому для диффузионных потоков 1„, и 1„молекул каждого сорта можно написать аналогично (52.12) уравнения 1„, = — Р2 дл2/дх, 1„= — Рэдп~дх, где (52.17) Р2 (е2) (11)/З Р2 (е2) (12)/З (52.18) а величины (1,) и (12) определяются столкновениями с обоими сортами молекул. Очевидно, что в общем случае Р, ~ Р2, поэтому диффузионные потоки 1„, и 1„ не компенсируют друг друга, вследствие чего должно нарушиться постоянство давления по объему газа.
Поэтому наряду с диффузионными потоками должен возникнуть гидродинамический поток, т. е. движение газа как целого, такой, чтобы сохранить постоянство давлений. Обозначая о — гидродинамическую скорость потока газа как целого, можно условие неизменности давления записать в виде 1„, + 1„+ (л, + п2) и = О. Отсюда 1 1 1' дл2 дл2 '1 е= (1„ + 1„ ) =— — Р, — — — Р2 — 1= и,+п2 "' "' л,+и, ' дх дх / 1 дл, = — — — (Р2 — Р2) (52.20) л,+л, дх ' где учтено получа2ощееся в результате дифференцирования (52.16) равенство дп,/дх = — дп2/дх. Поэтому полный поток 1, первой компоненты, являкяцийся суммой диффузионного и гидродинамического потоков этой компоненты, равен (5221) где (52.22) Аналогично для полного потока второй компоненты находим (52.23) где (52.24) — коэффициент взаимной диффузии (Р~ 2 = Рм).
1 52. Процессы переноса в гагах Збр Таким образом, задача сводится к громоздким вычислениям средних длин свободных пробегов. Дж. Максвелл и Ц. Стефан для вычисления этих величин в модели жестких, абсолютно упругих шаров предложили следующие формулы: 1 1 <1,> = — = — -.— —;.; <!г> = у1+,/,ь,к' 1 1-'; ~,е,к' (52.25) ° При взаинодиффузни в газе нз различных нопекул больщое значение иненэт гидрадинанические потоки, существующме наряду с диффуэнонныни.
Они возникают для конленсации неоднородности давления, возникающей вследствие раэлмчной скорости диффузии компонент газо. терноднффуэил обусловливается не самин фактон столкно- венил молекул. а зависимостью частоты столкновения неягду молекулани от их скорости. 24 А. Н.
Ма~ввез — !488 где т, и т, — массы молекул, К = (г, + ггу2, г, и г, — радиусы молекул. С помощью этих формул выражение для (52.22) может быть представлено в вцде у тг (юг> + угтг <юг> 1 2(ст( 1 1 Вгг — Х + (52.26) 12л(л ф п )йг '(ггт„+ т бл(п~ + пг)н л 1х тг тг/ где скорости (н,> и (н,> заменены их выражениями через температуру по формуле (о.1й). В дальнейшем были проведены многочисленные другие расчеты коэффициента !>, в частности с использованием потенциала Леннарда — Джонса (29.2). Однако получающиеся при этом результаты очень громоздки и ненаглядны и обсуждаются в узко специализированной литературе по диффузии. Как показывают расчеты и измерения, коэффициент взаимной диффузии газов при нормальных условиях имеет порядок 10 ' мг!с. Термическая диффузия.
Если в объеме г' ,занимаемом смесью газов, создать градиент температуры, то равномерное распределение газа по объему нарушается. В большинстве случаев в более теплых областях объема увеличится концентрация легкой компоненты смеси, а в более холодных — тяжелой, хот» и не всегда. Это явление называется термической диффузной. При стационарном распределении температур устанавливается стационарное распределение концентраций, однако говорят о процессе термической диффузии.
Дело в том, что наличие градиента концентраций создает обычную диффузию молекул и, следовательно, стационарность обеспечивается тем, что одновременно в противоположном направлении происходит диффузия, обусловленная градиентом температур, которая и называется термической диффузией. По своей природе термодиффузия отличается от только что рассмотренных процессов переноса, которые обусловливались самим фактом столкновения молекул между собой. Термодиффузия обусловливается не самим фактом столкновения молекул, а зависимостью частоты столкновений между молекулами от их скорости.
Если представить силы отталкивания между молекулами в виде Е 1!«, то расчет показывает, что при т = 5 термолиффузия отсутствует. При т ъ 5 термодиффузия 370 б. Процессы переноса происходит так, что более горячие области обогащаются более легкой компонентой, а при а < 5 — более тяжелой. Полная теория термодиффузии является сложной. Мы ограничимся лишь главными моментами в рассмотрении этого вопроса. В стационарном состоянии при наличии небольшого градиента температур гидродинамические потоки отсутству.от, давление постоянно и смесь газов однородна. Это означает, что соблюдаются условия р = и)еТ = сопаг, п,(п = сопай пе(п = попай (52.27) где и, и иэ — концентрация частиц компонент газа; п = и, + и, — полная концентрация частиц газа.
Направим ось Х системы координат в направлении градиента температур. Благодаря этому можно считать, что все величины зависят лишь от координаты х. Взяв от обеих частей первого равенства (5!.27) логарифм и продифференцировав по х, находим д)пи/дх = — д1п Т(дх. С другой стороны, из второго и третьего равенств (52.27) следует, что д1пи,/дх = д)пи/дх, д1пи,!дх= д1пи!дх.
(52.29) (52.28) Сравнивая (52.29) и (52.28), видим, что для каждой из компонент справедливо соотношение д1пп; д1п Т дх дх Теперь воспользуемся распределением Максвелла (8.16). Обозначим Ж;(пд концентрацию молекул сорта 1, скорости которых расположены вблизи скорости и;. На основании (8.16) можно написать д1;(пд = е(и;/е)п, = и; 1; (п,), (52.31) где и; — полная концентрация молекул, 11(п;) дается формулой (8.16). При наличии градиента температур и; зависит явно от координат, а Л(п;) зависит от координат через температуру, поскольку поддерживается градиент температуры. То~да, логарифмируя обе части (52,31) и взяв производную по х, находим д!пМ,(п) д!пгй д1пЛ(е) д!пи; д!пу';(еД дТ (' гппк 5 "1 д1п Т дх дх дх дх дТ дх \, 2)еТ 2 1' дх где использовано равенство (51.30) и учтено, что ЯТ) дТ/дх = д 1п Т)дх.
Это означает, что в направлении увеличения температуры происходит увеличение концентрации быстрых молекул, у которых впеЯ2)еТ) > "~ь и уменьшение концентрации медленных молекул, у которых тп7(2)е1) ( '~е Это рассуждение справедливо для молекул, скорости которых расположены в окрестности скорости пе Вывод формулы (52.12) для потока молекул предполагал, что движение молекул прослеживалось лишь в пределах одного свободного пробега. На этих расстояниях скорость молекулы постоянна. Поэтому формулу (52.12) можно записать для потока молекул скорости п; в виде 1п = — — и;1(п,) 1 д1х';(и;) (5233) дх где 1(п;) — средний свободный пробег для молекулы со скоростью ее 1 52. Процсспа переноса в газах 371 Отсюда для суммарного потока молекул сорта 1 получаем 1; = — — в;1(е;) — ' ' -Двв 1 (' дж,.(вД (52.34) 3~' д Принимая во внимание, что дЖ;(сД/дх = Ж;(вД1д1пЖ;(е)(дх3, а также равенство (52.32), перепишем выражение для потока в виде 1; = — — еД(иДХ;(е,) — '' — — Дс; (52.35) Таким образом, соотношение между направлением потока молекул и направлением, в котором растет температура, зависит от знака выражения, стоящего в квадратных скобках.
Длина свободного пробега 1(в,) связана с частотой столкновений «'(в,) формулой (51.6):, с учетом которой (52.35) можно переписать: (52.36) 1; = — — — ' — 1х';(еД вЂ” ' — ' — -- г)в, Очевидно, что знак интеграла определяется характером зависимости частоты столкновений ч'(еД от скорое~и молекул. Подынтегральное выражение меняв~ знак при е;с~х,~2 = з)з )сТ. Поэтому если на малых скоростях частота столкновений мала, а с увеличением скорости достаточно быстро увеличивается, то интеграл имев~ отрицательное значение. В этом случае поток направлен в сторону увеличения температуры и в области повышенной температуры концентрируешься данная компонента газа. Если же на малых скорое~ах частота столкновений мала, а затем с увеличением скорости она достаточно быстро убывает, то интеграл положителен н поток движется против направления увеличения температуры.
Следовательно, данная компонента концентрируется в более холодной области. Имеется, очевидно, и промежуточный случай, когда интеграл равен нулю и, следовательно, поток отсутствует, явление термодиффузии не наблюдается. Это происходит как раз в том случае, когда в формуле Р - 1!г для силы отталкивания гя = 5. Термодиффузия получила, в частности, важное применение для разделения изотопов. Ввиду близости масс изотопов обогащение состава смеси одним из изотопов при разумных градиентах температур невелико. Для значительного разделения изотопов используется многоступенчатый процесс, когда на каждом последующем этапе обогащения в качестве исходной смеси берегся смесь, обогащенная на предыдущем этапе.
В результате удается достигнуть желаемых результатов. Парадокс Гиббса, По второму началу термодинамики, при взаимной диффузии двух газов энтропия системы увеличиваетск Это увеличение нетрудно подсчитать точно таким же методом, как это было сделано в ~ 22 для выравнивания температур и давлений в газе. Если первоначально два газа были разделены перегородкой, находились под одинаковым давлением н температурой и занимали объемы )г, и 1'з, то после устранения перегородки и завершения процесса диффузии они перемешаются и займут объем 1', + )гх, пРичем темпеРатУРы и давление в смеси останУтсЯ без изменения. Пусть имеется сг молей первого газа и сз молей второго газа. Тогда занимаемые ими первоначально объемы находятся из условия рг = рз или сгЯТ~)Гг = н КТ(Ух.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
