А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 83
Текст из файла (страница 83)
При рассмотрении столкновений одинаковых молекул в газах их чаще всего представляют в виде твердых шаров ние для плотности потока частиц в падающем пучке: д1(х) = — 1(х) алп с1х. (51.3) Знак минус учитывает, что плотность потока частиц убывает с ростом х, т. е. по мере продвижения пучка в веществе. Решая (51З), находим 1(х) = 1(0)ехр(-стпсх). (51.4) Измерив каким-либо способом плотность потока падающих частиц на двух расстояниях, например при х = 0 и при некотором другом значении х, можно вычислить поперечное сечение: о.
= — 1п 1 1(0) (51.5) псх 1 (х) Аналогично экспериментально измеряются поперечные сечения других событий. Надо лишь уметь подсчитывать число событий, измерять плотности потоков взаимодействующих часпщ и пути, проходимые при этом частицами. Конечно, эта кажущаяся принципиальная простота не должна создать иллюзию, что физическое измерение так же просто.
В действительности измерение поперечных сечений является очень сложной научной и технической задачей. Частота столкновений. Падающая частица лвижется со средней скоростью (ру и, следовательно, проходит длину среднего свободного пробега за время т= (1э/(р). Поэтому средняя частота столкновений (срелнее число столкновений за 1 с) равна 136 некоторого радиуса го, когда поперечное сечение и связанные с ним величины нетрудно рассчитать. Пусть молекулы-мишени неполвижны, а падающая на них молекула движется со скоростью г,'о) (рис. 136). Очевидно, падающая молекула, пройдя расстояние х, столкнется со всеми молекулами-мишенями, центры которых находятся в круглом цилиндре с радиусом основания 2го и высотой х.
Средняя длина свободного пробега равна высоте цилиндра, в котором в среднем находится одна молекула-мишень. Поэтому для определения среднего свободного пробега получаем уравнение к(2го) т(г но = 1 137 т, из которого следует, что (1) = 1/(4кгаано). (51.7) Частота соударений между молекулами на основании (51.6) равна т — 4ягоно то) (51.8) яств Фактически в газе молекулы-мишени движутся, а падающие молекулы также движутся с различными скоростями, причем скорости как молекул-мишеней, так и падающих молекул даются распределением Максвелла. Для того чтобы учесть этн скорости, можно все рассуждения оставить без изменений, но под скоростью г',о3 в (51.8) понимать среднюю относительную скорость падающих молекул.
Относительная скорость двух молекул, движущихся со скоростями тг и та, равна Я,„= Ча — Ч, и, следовательно, для абсолютного значения относитель- ной скорости получаем сетя = 'ру(уа — т,) = )уГО2 + О, — 2О,О2 СОЗ 8, (51.9) где 8 — угол между векторами скоростей ч, и г, (рис. 137). Среднее значение относительной скорости необходимо вычислить с учетом распределения Максвелла (8.16). Направив ось У сферической системы координат по вектору та, получаем ая я ю !36. К вычислению площади поперечного сечения столкновений таерлык шаров 137.
К вычислению средней пы носительной скорости Г 4 о а о -У2( Г 1'16ата и). (51.10) 31. Кинематнческие характеристики молекулярного движения 359 360 б. Процессы переноса 138 (51.11а) (51.11б) Для нормальных условий в воздухе по 10" м ', го -10 'о м, (п3-500 м/с, поэтому длина свободного пробега и частота имеют порядки (1У - 10 а м; уу-10 'с Формула (51.1!б) показывает, что при фиксированной температуре (1) 1/р, поскольку давление р = пойТ.
Это позволяет очень просто оценивать порядки величин свободного пробега для различных давлений. Например, если давление воздуха 133 Па, то длина свободного пробега молекул равна примерно 10 а см, а при 1,33 Па она имеет порядок ! см. Частота соударений между частицами в 1 м' н„„= нон72 = 8 гоно(яй Т/М)уч 138. К вынислснию срепнев алины проба а молекул в нанном направлении после послелнего столкновении В случае частиц двух сортов с молярными массами М, и Ма для средней относительной скорости (о,а) где множитель 1/(4л) учитывает усреднение относительной скорости по всевозможным взаимным направлениям скоростей, т.
е. по полному телесному углу 4я, а (пу — срелняя скорость движения молекул в распределении Максвелла, даваемая формулой (8.18). Поэтому с учетом распределения Максвелла для скоростей сталкивающихся молекул формуль1 для средней частоты столкновений и средней длины свободного пробега имеют вид 1 51. Кииематическис характеристики молекулярного движения 361 аналогично получаем (о!2) + Эффективный радиус сечения столкновения между молекулами различных радиусов равен, очевидно, полусумме эффективных радиусов сталкивающихся частиц (го, + гоа)/2. Обозначая тг,а частоту столкновений частицы 1 с частицами 2, получаем Г йт/ 1 1 Лп' тг22 = к(го2 + гоа) иог (охх) = 4~ 1 + Ц (~ох +1оа) иоа 2 2 М2 Мг/! Частота соударений молекул в 1 м' / 1 1 х.)212 (тг22 ол) = 8кЯТ~ + — — Ц (го2 + 'ог) ио2иог. (и, МЦ Частота столкновений частицы 2 с частицами ! г Г КТ! 1 1 уах =4~ — — ~ — + Ц (го2+гоа) ио2 =(иш/иоа)вкх.
2 ~М, М2Ц (51.11в) (513 2) где множитель ехр( — г/(1)) в соответствии с формулами (51.4) и (51.2) учитывает выбывание молекул из пучка из-за столкновений с другими молекулами. Поток числа молекул, пересекающих поверхность„равен 2 /2 с)!у' о'и~ ( ) Г 1 1 = — ~ дер ~ дО ~ Йг ехр( — г/(1)) = — о' (!) ио = — ио (о) дб дг 4и 4 4 (51.14) о о о где тг(!) =- (о) в соответствии с (51.6). Формула (51.14) совпадает с (8.32).
Теперь вычислим среднее расстояние вдоль оси У, которое проходят молекулы, пересекающие площадку 48 после последнего столкновения. Ясно, что это расстояние равно ) 2 с))т' (51 15) Средняя длина пробега молекул в данном направленюе после последнего. столкновения. Имеется площадка д5 (рис. 138), которую пересекают молекулы, пришедшие со всевозможных направлений и пересекающие ее в направлении отрицательных значений оси и.. Спрашивается: на каком среднем расстоянии по оси Х испытали последнее столкновение молекулы, пересекшие плошалку дб, расположенную в начале координат? Число молекул в объеме с))т равно ио дК В течение времени дг тг е)гио Й)г молекул из данного объема в результате столкновений ле~ят изотропно по всевозможным направлениям, в том числе и в направлении площадки Ж, которая видна из элемента объема е!и' под углом О. Число молекул, пересекших площадку Йб и на пути от элемента объема с(!' не испытавших нн одного последующего столкновения, равно с()т' = хуло с1$'с)! ехр ( — г/(!)), (51.13) 4 „2 362 б.
Процессы переноса где с)А2 дается формулой (51.13). Вычислим (5135): '/ес'по(<1>)' с(Я 2)г 2 1/4о по <1> 2)52)2 3 (51.16) т.е. средний пролет молекул вдоль оси У после последнего столкновения перед пересечением площадки с)5 не равен среднему свободному пробегу, а составляет лишь '/а от него.
где по = 2,7 . 102' м — постоянная Лошмидта, поскольку условия нормальные, находим: поа = 0,25 по = 0 675 10" м " по1 = 0,75по = 2 025 10" м '. Частоту столкновений молекул в 1 мз находим с помощью формулы (1 5.12). Тогда частота столкновений во всем объеме 1'= 10 л о" = )2<с'„,„> = 7,75 ° 1022 с Длина свободного пробега молекулы водорода между соударениями с молекулами азота [см.
(51.11в)1 — 1!2 )ы= —,— =я 11+ — ~ (го1+го2) поа =1,1 10 м=0,11 мм, <и> / М,1 -2 — 1 — 4 У'1 2 М2 где <о,> = [822Т/(пМ1)1'1~. Аналогично, средняя длина свободного пробега молекулы азота между столкновениями с молекулами водорода 12, — — <иа>/о21 = я '(1+ М2/М,) ыя(го1+ гоа) по,' = 8,1 10 е м. Пример 51.2. Найти вероятность того, что молекула (атом) гелия пройдет отрезок 0,5 мм без столкновений. Гелий находится при 0 С и давлении 100 Па.
Его газокинетический радиус 1,9 10 'о м. Используя (51.4) и (51.2), находим, что вероятность пробега пути без столкновений равна У(х) = ехр( — х/<1>). (51.17) Длина свободного пробега [см. (51.11б)1 <1> = 1/(4~/2.яг3по) = 0,263 мм, поэтому искомая вероятность У(0,5 1О ' м) = ехр ( — 0,5/0,263) = 0,15.
Пример 51.1. Газокинетический эффективный радиус для молекул водорода го, = 1,37 10 'о м, для молекул азота го2 = 1,87 10 1о м, а молярные массы водорода и азота равны М, = 0,00202 кт/моль; М, = 0,02802 кг/моль. Смесь газов занимает объем 10 л, парциальные давления водорода и азота составляют рн, — — 0,75ро и рп, =- 0,25ро (ро = 0,98 10' Па). Найти число столкновений между молекулами в сосуде за 1 с и среднюю длину пробега между столкновениями частиц различного сорта. Принимая во внимание закон Далътона Р = (по1 + поа) "Т= по" 7 б 52.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
