А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Процессы переноса в газах Збз Процессы переноса в газах б 52 Выводится обшее уравнение переноса и на его синове обсуждаются тепнопроводность, вязкость и диффузия в газах. Рассматривается термическая диффузия Обсуждается парадокс Гиббса.
139 Общее уравнение переноса. Пусть 6 характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Этим свойством может быть энергия, импульс, концентрация, электрический заряд н т. д. Если в равновесном состоянии 6 постоянно по объему, то при наличии градиента 6 имеет место движение 6 в направлении его уменьшения. Пусть ось Х направлена вдоль градиента 6. Среднее расстояние, пробегаемое молекулами, пересекающими площадку г)Я (рис. 139) после последне~о столкновения, равно согласно (51.16) 2 (1У/3. Эта величина в большинстве случаев достаточно мала и 6 на расстоянии 2г',(213 от площадки Ю можно представить в виде 6 х+ — (1У~ = 6(х)+ — (1У 2 '1 2 д6(х) 3 1 3 дх (523) ограничившись первым членом разложения в ряд Тейлора в точке х.
Поток числа молекул в направлении оси Х равен пот'п2,14. Следовательно, поток 6 сквозь площадку г15 в направлении отрицательных значений осн Х равен ( 1 1 ( 2 д6(х)) уо1 ' = — — п,(ну ~6(х)+ — (!у 4 ( 3 дх (52.2) а в направлении положительных значений оси Х дается выражением х — 2<1>/3 х х+2(1>13 = .— ло(п) ~6(х) — — (1) 1ы 1 ( 2 д6(х)) 4 ( 3 дх (52.3) Следовательно, полный поток в положительном направлении оси Х в точке х имеет вид 139. К выводу обшего уравнения переноса (52.4) Уравнение (52.4) является основным уравнением процессов переноса количества 6. Теплопроводность. В этом случае6 есть средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Она переменна в том случае, если от точки к точке 364 б.
Процессы переноса меняется температура. При этом 1о — поток теплоты, который будем обозначать 1,. Из теоремы о равнораспределении энергии по степени свободы имеем 0 = — йТ= — Т= — --- Т= — Т. )е1Чх 1 зз Си (52.5) 2 2 зЧх 2 /Чд Мд Тогда уравнение переноса (52.4) принимает вид (52.6) где (52.7) — теплопроводность, р = псих, си = Си/(1Чдпз) — соответственно плотность и удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Уравнение (52.6) называется уравнением Фурье для теплопроводности или законом Фурье.
Учение о теплопроводности начало развиваться во второй половине ХЧ111 в. и получило свое завершение в работах Ж. Б. Ж. Фурье (1768 — 1830), опубликовавшего в 1822 г. монографию «Аналитическая теория теплоты». Теплопроводность можно измерить различными методами.
Принимая для молекулы модель твердой сферы, можно х',1) в формуле (52.7) выразить через радиус ге молекулы. Остальные величины в формуле (52.7) измеряются в эксперименте, а (пу при данной температуре вычисляется иэ распределения Максвелла. Поэтому из этой формулы можно найти радиус молекулы. Для молекул получается радиус -1О 'о м, причем радиус молекулы водорода меньше радиуса молекулы кислорода всего примерно в полтора раза. Поскольку радиусы всех молекул примерно одинаковы, значения Си также мало отличаются для различных газов, главное изменение теплопроводиосги при фиксированной концентрации пс частиц газа проистекает из-за различия в средней скорости (и'х.
Благодаря этому легкие газы обладают значительно большей теплопроводностью, чем тяжелые. Это подтверждается опытом. Например, кислород имеет теплопроводность при нормальных условиях 0,024 Вт/(м К), а водород — 0,176 Вт/(м - К). Теплопроводность других газов также изменяется в соответствии с массой их молекул или, что то же самое, их средней скоростью (и'х. 140. Механизм аозникноаеник нкзкосхи й 52.
Процессы переноса в газах 365 ПосколькУ но(12 =!/о не зависит от давлениЯ, а (е2 - )/Т и также не зависит от давления, можно заключить, что тецлопроводность не зависит от давления, что хорошо подтверждается экспериментом, и увелнчиваегся приблизительно прямо пропорционально коршо квадратному из температуры, Здесь использовано выражение «приблизительно» потому, что с увеличением температуры поперечное сечение а несколько уменьшается.
Следовательно, не ПУ в (52.7) также. несколько растет с температурой по довольно сложному закону, зависящему от характера взаимодействия между молекулами. Для многоатомных газов необходимо также учесть некоторое возрастание Сг с температурой. Что касается независимости теплопроводности от давления, то она достаточно хорошо подтверждается экспериментом. Вязкость.
Вязкость, или внутреннее трение в газах, обусловливается переносом импульса молекул поперек направления движения слоев газа, имеющих различные скорости. На рис. 140 показаны векторы скоростей и слоев, перпендикулярные оси Х. Произвольно выбранный слой движется медленнее, чем слой, расположенный справа, и быстрее, чем слой, расположенный слева. Разбиение на слои сделано условно, Лх — расстояние между слоями, скорости которых отличаются на Ли. В результате теплового движения молекулы перелетают из одного слоя газа в другой, перенося при этом свой импульс ти упорядоченного движения из одного слоя в другой.
В результате обмена молекулами между слоями, движущимися с различными скоростями, импульс упорядоченного движения быстрее движущегося слоя уменьшается, а медленнее движущегося — увеличивается. Это означает, что быстрее движущийся слой тормозится, а медленнее движущийся ускоряется. В этом и состоит механизм вОзникновения силы внутреннего трения между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Сила трения т, отнесенная к плошади трущихся поверхностей газа, равна, очевидно, потоку импульса упорядоченного движения в перпендикулярном скорости направлении. В данном случае 6 = азн (52.8) и, следовательно, уравнение (52.4) принимает вид (52.9) где (52.10) — динамическая вязкость, р = полз — плотность газа. Знак т учитывает, что сила трения, действующая на более быстро движущиеся слои„направлена против скорости.
Впервые выражение (52.10) для динамической вязкости было получено Дж. Максвеллом в 1860 г. Поскольку неПУ = 1/о, а (е) 'у/Т, можно заключить, что динамическая вязкость не зависит от давления и растет в основном пропорционально корню квадратному от температуры, если отвлечься от небольшого роста, связанного с уменьшением поперечного сечения при росте температуры. Збб б.
Процессы переноса Независимость динамической вязкости, т. е. силы трения, от давления н, следовательно, от плотности газа, на первый взгляд представляется непонятной. Дело заключается в следующем. Длина свободного пробега изменяется обратно пропорщюнальнодавлению,аконцентрация молекул — прямо пропорционально.Переносимый каждой молекулой импульс упорядоченного движения прямо пропорционален длине свободного пробега, т.е.
обратно пропорционален давлению. Поскольку концентрация молекул, переносящих импульс, прямо пропорциональна давлению, получается, что суммарный переносимый молекулами импульс, отнесенный к промежутку времени и объему, не зависит от давления. Это заключение хорошо подтверждается экспериментально. Единицей динамической вязкости является паскаль-секунда: 1 Па с = 1 Н с/м = 1 кг/(м с). Динамическая вязкость газов при температуре 20'С и атмосферном давлении (101,3 кПа) имеет порядок 10 з Па ° с.
Например, вязкости воздуха, гелия, кислорода и водорода равны соответственно 1,82 10' "; 1,96. 1О ', 2,02 10 ' и 0,88 10 ' Па. с. Наряду с динамической вязкостью используется также кинематическая вязкость у, определяемая как динамическая вязкосп, отнесенная к плотности: и = ц~р. Единицей кннематической вязкости является 1 мз/с. Самодиффузия. Пусть молекулы равномерно заполняют некоторый объем. Допустим, что все молекулы одинаковы по всем своим механическим и динамическим параметрам, однако могут отличаться по некоторому признаку, не оказывающему влияние ни на взаимодействие между молекулами, ни на их движения.
Таким образом, переносимым признаком в этом случае является просто идентичносп молекул, т. е. признак их иццивидуальной идентификации. Назовем условно этот признак «цветом» н будем считать, что имеются белые и черные молекулы. Предположим, что концентрация белых и черных молекул в пространстве неоднородна. Очевидно, что в состоянии равновесия как «черный», так и «белый» сорт молекул должен равномерно заполнить весь объем. Поэтому при неоднородном распределении начнется выравнивание концентраций в результате столкновений между молекулами.
Переносимым количеством в этом случае является концентрация рассматриваемого сорта молекул. ° Явления переноса обугловливанзтся в конечном счете стрем- лением сметены достигнуть равновесного состояния. Слабая зовисмность теплоенкости газов от тенлературы обусловлнваетсв некоторын уненыненмен поперечного сечения столкновений с ростом температуры. Динамическая вязкость не зависит от давления и растет е основнон пропорционально кормы квадратному из тенпературы.
Небольшой вклад в зависимость динаннческой вязкостм от тенперотуры дает уменьшение поперечного сечения столкновений с ростом твнперотуры. 5 52. Процессы переноса а газах 367 Пусть концентрация первого сорта молекул и,(х). Учитывая, что 6 в уравнении (52.4) есть характеристика переносимого количества„отнесенная к одной молекуле, имеем 6 = и1/ио (52.11) где и, — равновесная концентрация.
Уравнение (52.4) принимает вид (52.12) о где Р = (п) (1)/3 (52.13) где сг — удельная теплоемкость при постоянном объеме, р — плотность вещества. Наличие этой связи между коэффициентами процессов переноса обусловлено одинаковостью физической природы процессов переноса и тем, что все онн описываются одинаковыми уравнениями вида (52.4). Взаимодиффузия в газе из различных молекул. Если имеется два сорта молекул, различающихся динамическими свойствами и характером взаимодействия, то процесс диффузии значительно усложняется.
Пусть для определенности имеются тяжелые н легкие молекулы. Обозначим концентрации молекул и, и и,. Условие постоянства давления и температуры по всему объему по закону Дальтона имеет впц и1 + из = сол$1, Т= сопа1. Если в отдельности и, и и не являются постоянными по всему пространству, то процесс диффузии должен привести к выравниванию концентраций. Однако формулы, характеризующие коэффициенты диффузии, в этом случае не столь просты, как (52.13). — коэффициенг диффузии. Уравнение (52.12) называется уравнением Фика.
При фиксированной температуре (п) является постоянной, а 1 1/р. Следовательно, прн постоянной температуре 0 1/р. С другой стороны, прн фиксированном давлении 1 Т, а (и) ~/Т. Следовательно, при постоянном давлении Р 7 д. Эти заключения были тщательно проверены в экспериментах. Соотношение Р - 1/р, которое удобнее записать в виде Рр = солж, соблюдается в довольно широком интервале давлений для не очень плотных газов с точностью до нескольких десятков процентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
