Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАМеханико-Математический факультетНа правах рукописиУДК 514.8Чернышев Всеволод ЛеонидовичКвазиклассические асимптотики в спектральных задачах иэволюционных уравнениях на сингулярных множествах.Специальность: 01.01.04 — Геометрия и топология.Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд.ф.-м.н., профессорА.
И. ШафаревичМосква20082Содержаниестр.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.Квазиклассические асимптотики в спектральных задачах дляуравнений Шредингера на квантовых графах. . . . . . . . . . . . . . . 201.1. Общие замечания. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 201.2. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3. Алгоритм построения правил квантования. . . . . . . . . . . . . . 221.4. Доказательство теоремы 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5. Примеры. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.1. Случай двух двух точек, соединенных двумя отрезками. . . 311.5.2. Дерево с двумя λ-вершинами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.3. Граф K1,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 331.6. Асимптотические собственные значения, соответствующиесобственным функциям, локализованным в вершине графа. . . . . 341.7. Описание ядер для случая нулевого потенциала. . . . . . . . . . . 362. Квазиклассическая асимптотика и статистические свойствагауссовых пучков для нестационарного уравнения Шредингера нагеометрическом графе. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1. Вводные замечания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2. Распространение квантовых пакетов на геометрическом графе. . . 392.2.1. Комплексный росток Маслова на прямой. . . . . . .
. . . . . 392.2.2. Гауссовы пакеты на полупрямой. . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.3. Случай двух бесконечных лучей, сходящихся в одной точке. 442.2.4. Случай трех бесконечных лучей, сходящихся в одной точке. 472.2.5. Случай петли. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.6. Распространение квантовых пакетов на произвольном графе. 502.3. Статистика распространения квантовых пакетов. . . . . . . . . . 522.3.1. Асимптотика числа квантовых пакетов. . . . . . . . . . . . . 532.3.2. Плотность распределения пакетов. . . . . . . . . . . .
. . . . 592.4. Распространение гауссовых пакетов на однородном дереве. . . . . 613. Квазиклассические спектральные серии квантового оператораШредингера,соответствующие неизолированным положениямравновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 6533.1. Постановка асимптотической квантовой задачи. . . . . . . . . . . 653.2.Спектральные серии, соответствующие неизолированнымположениям равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Cписок использованных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 734ВведениеРабота посвящена описанию квазиклассического приближения дляуравнений квантовой механики, соответствующего сингулярным множествам,в частности, построению квазиклассической теории на геометрических графах.Теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрическихграфах интенсивно развивается в последние десятилетия. Дифференциальныеуравнения на пространственных сетях используются при моделированииразличных задач естествознания: колебаний упругих сеток, процессов в сетяхволноводов, состояний электронов в молекулах и других.Большую часть работ в этой области условно можно разделить на дванаправления.
Первое из них связано с применением методов теории операторов,теории самосопряженных расширений.Такой подход одним из первыхиспользовал Б. С. Павлов, вместе с соавторами, в 80-х годах (см., в частности,статью [3]). В настоящее время в этой области активно работают П. Экснер,О. Пост, П. Курасов, У. Смелянский (см.обзор [29] и ссылки внем) и многие другие.Например, в работе [30] исследована обратнаяспектральная задача и получена формула следа. Второе направление связанос получением аналогов классических результатов теории дифференциальныхуравнений для случая геометрических графов. В частности, исследовалисьспектральные и качественные свойства решений краевых задач, построенатеория неосцилляции, изучалась функция Грина, активно исследуютсяволновые процессы на графах. Здесь можно отметить работы Ю.
В. Покорного,В. Л. Прядиева, А. В. Боровских, О. М. Пенкина, К. П. Лазарева, С. А. Шаброва(см. книгу [15] и ссылки в ней) и других.Возрос интерес к уравнениям Шредингера на сетях. Произошло это в связис тем, что квантовые системы могут описываться тонкими многообразиями,которые в пределе стягиваются к графам (см., например, [27]).Для волнового уравнения на геометрическом графе (а точнее, на декартовомпроизведении графа и R) при гладких условиях трансмиссии получены аналогиформулы Даламбера, и для некоторых классов геометрических графов описаныпрофили прямой и обратной волн (F.
Ali-Mehmeti [22]; Ю. В. Покорный,В. Л. Прядиев, А. В. Боровских, А. В. Копытин, серия работ 1999-2003;C. Cattaneo, L. Fontana [24]). Исследовано гиперболическое уравнение нагеометрическом графе, которое на ребрах этого графа имеет вид одномерного5волнового уравнения, а в вершинах имеет особенность типа δ-функции примладшей производной по времени (см.
[5]).Цельюдиссертационнойработыявляетсяописаниеповеденияквазиклассических решений уравнения Шредингера на сингулярныхмножествах. Основное внимание уделено случаю геометрических графов.В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений,топологии, дифференциальной геометрии, теории графов, линейной алгебры,теории уравнений математической физики.Получен алгоритм построения правил квантования (обобщающих известныеправила квантования Бора-Зоммерфельда) для случая геометрических графов.Описаны ядра оператора Лапласа, действующего на k-формах, определенныхна сети.Кроме того, найдены асимптотические собственные значения,соответствующие собственным функциям, локализованным в вершине графа.В квазиклассическом приближении описано распространение гауссовыхпакетов на графе, в начальный момент локализованных в одной точке.
Основноевнимание уделено статистике поведения асимптотических решений пристремлении времени к бесконечности. Показано, что подсчет числа квантовыхпакетов на графе связан с известной теоретико-числовой задачей нахождениячисла целочисленных точек в расширяющемся симплексе. Получены явныеформулы для старшего члена асимптотики в некоторых важных частныхслучаях.Таким образом, построена квазиклассическая теория для уравненийквантовой механики, заданных на геометрическом графе.Кроме того, рассматривается двумерная поверхность и операторШредингера на ней.
Предполагается, что критические точки потенциалаобразуют на поверхности некоторую кривую, гомеоморфную окружности.Для оператора Шредингера найдены соответствующие спектральные серии сточностью до O(h5/2 ) .Во введении обсуждается актуальность диссертации, ее научная новизна.Кроме того, в нем приводится краткий обзор результатов работы.Перваяглава посвящена квазиклассическим асимптотикам вспектральных задачах для стационарных уравнений Шредингера нагеометрических графах.В параграфе 1.1 обсуждаются некоторые вводные замечания.В параграфе 1.2 речь идет о том, что такое геометрический граф.
Вотличие от графа топологического, в котором ребро представляет собой просто6отношение между вершинами, в геометрическом графе ребро — это некотораякривая.Вводится оператор Шредингера на сети. Делается это стандартным (см.[15]) образом.Пусть V произвольная, непрерывная на Γ и гладкая на ребрах функция,принимающая действительные значения. Тогда оператор Шредингера22 d ψ(x)bH = −h+ V (x)ψ(x)dx2определен на множестве функций из пространства Соболева ψ ∈ ⊕удовлетворяющих следующим граничным условиям в вершинах:NPH 2 (γj ),j=11.
функция ψ непрерывна на Γ;2.Xγj ∈Γ(am )αjdψj(am ) = 0, αj ∈ R, m = 1, 2, ..., M − Kdx(1)во всех внутренних вершинах (то есть в вершинах валентности, большейчем единица);3. ψ(am ) = 0 во всех внешних (висячих) вершинах, то есть в вершинахвалентности один.Второе условие называется условием трансмиссии.Далее рассматриваются некоторые специальные виды условий трансмиссии.Определение.Будем говорить, что условия трансмиссии имеют видусловий Кирхгофа, если все коэффициенты в условиях трансмиссии входятсо знаком “плюс”, когда ребро из вершины выходит, и со знаком “минус”,когда, наоборот, ребро входит в вершину. Если, кроме того, в каждойвершине значения коэффициентов равны между собой по модулю, такие условияназываются натуральными.Затем рассматривается, в каких случаях оператор Шредингера будетсамосопряженным и будет иметь дискретный спектр.
В частности, операторзаведомо самосопряжен, если условия трансмиссии являются натуральными. Впервой главе рассматриваются только компактные графы.В параграфе 1.3 изложен алгоритм построения правил квантования,обобщающих правила квантования Бора-Зоммерфельда.7Граф деформируется (на нем отмечаются точки поворота и удаляются куски,для которых λ < V (x)), а потом по нему выписывается матрица размера 2N −Kна 2N − K (здесь N — количество ребер в графе, K — число висячих вершин).RpКоэффициенты зависят от интегралов вида φj = h1λ − Vj (y)dy, где γj —γjребро графа, а Vj (x) — потенциал, ограниченный на j-ое ребро.. Равенствоопределителя этой матрицы нулю (1.4) и будет аналогом правила квантования.А именно, справедливаТеорема 1.1.
Если λ = O(1) — корень уравнения (1.4), то тогда существуетb такая, чтофункция ξ(x) (порядка O(1)) из области определения оператора HbHξ(x)= λξ(x) + O(h2 ). То есть λ является точкой h2 -псевдоспектра (см. [25])bоператора H.Нас интересует вопрос о том, когда найденное нами λ приближает точноеb Это будет так в том случае, когда операторсобственное значение оператора H.является самосопряженным.Определение.Под “преобразованием оператора на графе всамосопряженный” понимается такая замена параметризации на графе,которая делает определенный в разделе 1.2 оператор самосопряженным.Перемычкой мы называем ребро, которое удаляется из базисного цикла вграфе в процессе получения остовного дерева.Первым числом Бетти β1 (Γ) геометрического графа будем называть (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
