Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 2
Текст из файла (страница 2)
[6])ранг первой группы гомологий для соответствующего клеточного комплекса.Хорошо известно (см. [9]), что для графа первое число Бетти (его еще называютцикломатическим числом) равно N − M + P . Здесь N — количество ребер, M— количество вершин, P — число связных компонент графа.b определенный на дереве, всегда может бытьУтверждение 1.
Оператор H,преобразован в самосопряженный.b определенный на произвольномЗамечание. Для того, чтобы оператор H,графе, можно было преобразовать в самосопряженный, достаточно, чтобы быливыполнены β1 (Γ) условий.Отметим,что возможность привести задачу к эквивалентнойсамосопряженной отмечается при доказательстве Теоремы 5.9 (стр.102) вкниге [15], но там используется умножение уравнения на каждом ребре наподходящую константу, что не позволяет сохранить глобальную непрерывностьфункции V (x).Справедлива8Теорема 1.2. Если λ — корень уравнения (1.4), и оператор может бытьпреобразован в самосопряженный, то существует собственное число µ оператораb такое, что λ − µ = O(h2 ) (то есть λ является асимптотическим собственнымHчислом).Следствие.
Для случая, когда рассматриваемый граф — дерево, нашbалгоритм всегда дает приближение к точке настоящего спектра оператора H.Параграф 1.3 посвящен доказательству Теоремы 1.1. В этом рассуждениииспользуется, кроме прочего, частный случай канонического оператораМаслова.В параграфе 1.4 разобрано несколько примеров применения алгоритма.Среди них граф K1,3 с новыми вершинами.Асимптотические собственные значения, соответствующие собственнымфункциям, локализованным в вершине графа, обсуждаются в параграфе1.5. Ранее мы рассматривали ту часть спектра, которой соответствуютсобственные функции, осциллирующие на ребрах. В этом параграфе речь идето собственных значениях, соответствующих функциям, локализованным в однойточке и имеющим вид V (a)+O(h). Случай, когда решение сконцентрировано наребре, не представляет для нас интереса, так как полностью описан, например,в [11]. Если решение локализовано в вершине графа, то верна следующаятеорема.Теорема 1.3.
Пусть для потенциала V (x) в точке a выполнены следующиеусловия:1) значения первых односторонних производных Vj0 (a) для каждого ребраравны нулю,2) значения вторых односторонних производных Vj00 (a) совпадают иположительны.Тогда существует асимптотическое собственное числоrV 00 (a)h + O(h3/2 ).E = V (a) +2Другими словами, существует непрерывная на графе и гладкая на ребрахbфункция ξ(x) такая, что Hξ(x)= Eξ(x) + O(h3/2 ).
Если рассматриваемыйоператор является самосопряженным, то построенное E приближает точноесобственное значение µ (расстояние между ними есть величина порядкаO(h3/2 )).9Этот вариант осцилляторного приближения не учитывает глобальнуюструктуру графа.Замечание.Старшая часть асимптотической собственной функциипри выполнении условий Теоремы 1.3 имеет вид exp(S/h)c0 и не зависит,как и асимптотическое собственное значение с точностью до O(h3/2 ), откоэффициентов в условии трансмиссии. Но на следующие поправки это условиеуже влияет. В частности, для получения приближения порядка O(h5/2 ) длясобственных чисел нужно, дополнительно к условиям теоремы, потребовать,чтобы значения односторонних третьих производных Vj000 (a) совпадали поPмодулю, а их знаки удовлетворяли условиюαj sgn(Vj000 (a)) = 0.jПараграф 1.6 посвящен описанию ядер оператора для случая нулевогопотенциала, при действии на k-формы.Рассмотрим оператор Лапласа (оператор Шредингера с нулевымпотенциалом) на графе.Для компактных гладких многообразий без края хорошо известна связьядра оператора Лапласа, действующего на k-формах, с топологическимихарактеристиками многообразия (см., например, книгу [18] и ссылки в ней).Естественно возникает вопрос: справедливы ли аналогичные свойства длястратифицированных множеств, в частности, для геометрических графов? Нанего дают ответ приведенные ниже утверждения.
Граф компактен. Функциипредполагаются непрерывными. Кроме того, предполагается, что условиятрансмиссии имеют вид условий Кирхгофа.Утверждение 2. Размерность ядра оператора Лапласа, действующегона 0-формах, определенных на геометрическом графе, равна числу связныхкомпонент графа, не содержащих висячих вершин (то есть, не имеющих края).Далее отмечается, что условия трансмиссии не обязательно должны иметьвид условий Кирхгофа для того, чтобы ядро имело размерность, равнуюединице (для связного графа) почти для всех значений коэффициентов.Приводится соответствующий пример.Затем рассматриваются 1-формы на геометрических графах.
Речь идеттолько о сетях без висячих вершин.Определение. На каждом ребре рассмотрим выражение вида fj (x)dx, и пустьв вершинах будет выполнено условиеXσ(γj , a)fj (a) = 0,γj ∈Γ(a)10где σ(γj , a) = 1, если ребро входит в вершину, и σ(γj , a) = −1, если выходит.Такую совокупность будем называть 1-формой на графе.Теперь определим лапласиан на 1-формах. Оператор Лапласа действует на1-формы, для которых fj (x) — гладкие функции на ребрах, удовлетворяющиекраевым условиямXσ(γj , a)fj0 (a) = 0,γj ∈Γ(a)здесь σ(γj , a) = 1, если ребро входит в вершину, и σ(γj , a) = −1, есливыходит. На каждом ребре оператор задается соотношением 4 = dd∗ + d∗ d(см.
[18]). Отметим, что на каждом ребре оператор Лапласа форме fj (x)dxсопоставляет форму −fj00 (x)dx.Утверждение 3. Для оператора Лапласа c натуральными условиямитрансмиссии, на графе без висячих вершин, размерность ядра, при действиина 1-формы, равна первому числу Бетти.Втораяглава посвящена квазиклассическим асимптотикам истатистическим свойствам гауссовых пучков для нестационарного уравненияШредингера на геометрическом графе.Глава разделена на три части. В первой (2.1) обсуждаются вводныезамечания. Здесь рассматриваются свойства уравнения в частных производных(нестационарного уравнения Шредингера), пространственная переменная вкотором меняется на геометрическом графе.
Основной эффект “разветвления”пространства состоит в многократном отражении от вершин графа, чтоприводит к появлению нетривиальных статистических явлений. Особенноясно такие свойства видны при описании гауссовых пакетов (изначальнолокализованных вблизи одной точки); мы строим соответствующие решенияпри помощи простейшего варианта комплексного ростка Маслова [11].Нужно отметить близость изучаемых вопросов к некоторым краевымзадачам для гиперболических уравнений на сетях. Интересные результаты вэтой области были получены в работах [5], [17], [16], [4].Рассматриваются геометрические графы с конечным числом ребер ивершин.
Допускаются ребра бесконечной длины, а также петли и кратныеребра.Вторая часть главы (раздел 2.2) посвящена распространению квантовыхпакетов на геометрическом графе.11Сперва, в параграфе 2.2.1, обсуждается известная схема построения решенийв виде квазиклассических гауссовых пакетов на прямой. Рассматриваетсянестационарное уравнение Шредингера2∂2ψ(x, t)∂ψ(x, t)(2)+V(x)ψ(x,t)=ih,∂x2∂tгде V — гладкая функция (потенциал). Соответствующий гамильтонианимеет вид H = p2 + V (x, t) (см.
[10]).Начальные условия выбираем в виде узкого пакета, локализованного приh → 0 вблизи точки x0 :i(a(x − x0 )2 + b(x − x0 ) + c).(3)ψ(x, 0) = K exph−hЗдесь b и c — вещественные константы, а мнимая часть a больше нуля. Kимеет вид K = h−1/4 K1 , K1 ∈ R. Нормировочный множитель h−1/4 введен длятого, чтобы гарантировать ψ(x, 0) = O(1) в норме пространства L2 .Решение строится с помощью двух гамильтоновых систем, одна из которыхопределяет распространение носителя пакета, а вторая является линеаризациейпервой и рассматривается в комплексном пространстве (она определяет формупакета).
Точная формулировка и явная формула для решения приведены вУтверждении 4. Следом, в Утверждении 5 раздела 2.2.2, обсуждается случайполупрямой.Далее, в Утверждении 6 в параграфе 2.2.3, описано решение для случая двухбесконечных лучей, сходящихся в одной точке.В разделе 2.2.4 обсуждается ситуация пересечения трех бесконечных лучей.В следующем параграфе (2.2.5) рассматривается граф, имеющий формупетли. Он представляет собой окружность с одной выделенной точкой, вкоторой заданы условия трансмиссии.
Начальные условия заданы в некоторойдругой точке x = x0 . Сперва квантовый пакет, определенный начальнымиданными, достигнет вершины графа. После этого два квантовых пакета будутдвигаться в противоположных направлениях (это, по сути, случай двух ребер,соединенных в одной вершине, разобранный ранее). Показано, что оба этихквантовых пакета вернутся в вершину графа в один и тот же момент, еслипотенциал не зависит явным образом от времени. Таким образом, на петле вкаждый момент времени будет находиться не более двух квантовых пакетов.Нормируем коэффициенты в условии трансмиссии, а именно, потребуем,чтобы α1 + α2 = 1.12Утверждение 7.Рассмотрим задачу Коши для нестационарногоуравнения Шредингера на графе-петле. Тогда квазиклассическое решениебудет представлять собой два гауссова пакета, движущихся на графе.
Причем вмомент отражения амплитуда того квантового пакета, который соответствует“волне”, “прошедшей” на первом шаге, равна, после n отражений, (2nα1 − n +(1,1)1)ϕ0 , а амплитуда того, который соответствует “отраженной волне”, равна(1,1)(2nα1 − n)ϕ0 .Раздел 2.2.6 посвящен описанию распространения пакетов в случаепроизвольного геометрического графа. На каждом ребре это делается спомощью комплексного ростка Маслова (то есть, при помощи нахождениярешений гамильтоновой системы и ее линеаризации). А для описания поведенияв вершинах графа достаточно рассмотреть случай звездного графа.Обобщая приведенные в разделе 2.2 рассуждения, можно сформулироватьследующее утверждение.Теорема 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
