Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

[3], выкладка основана наприменении формулы интегрирования по частям) является попарное совпадениеследующих коэффициентов: αk в условии трансмиссии и коэффициента привторой производной на соответствующем ребре.Определение.Под “преобразованием оператора на графе всамосопряженный” понимается такая замена параметризации на графе,которая делает определенный в разделе 1.2 оператор самосопряженным.Перемычкой мы называем ребро, которое удаляется из базисного цикла вграфе в процессе получения остовного дерева.Первым числом Бетти β1 (Γ) геометрического графа будем называть (см.

[6])ранг первой группы гомологий для соответствующего клеточного комплекса.Хорошо известно (см. [9]), что для графа первое число Бетти (его еще называютцикломатическим числом) равно N − M + P . Здесь N — количество ребер, M— количество вершин, P — число связных компонент графа.25b определенный на дереве, всегда может бытьУтверждение 1 Оператор H,преобразован в самосопряженный (см. [15]).b определенный на произвольномЗамечание. Для того, чтобы оператор H,графе, можно было преобразовать в самосопряженный, достаточно, чтобы быливыполнены β1 (Γ) условий, а именно: совпадение коэффициентов αe и pe в конечнойточке каждой перемычки.

Тильда над символом означает, что он был изменен.Так, например, αe — это значение коэффициента в условиях трансмиссии, послеприменения процедуры, описанной в доказательстве Утверждения.Доказательство Утверждения 1. Возьмем в дереве корень (степени большеединицы).Применим к графу следующую процедуру: на всех ребрах,выходящих из данной вершины и таких, что соответствующее αj 6=1, сделаемлинейную замену переменной: y = kj x. Рассмотрим одно из ребер и дляпростоты будем считать, что оно имеет номер 1. Уравнение перепишется ввиде1 d2 ψ(y/k)−h2 2+ V (y/k)ψ(y/k) = λψ(y/k).kdy 2А условия трансмиссии, соответственно в начальной (a) и конечной (b) точках:Xdψjα1 dψjαj+= 0.k dxdxΓ(a)\{1}Xdψjβ1 dψjβj+= 0.k dxdxΓ(a)\{1}Теперь, если мы хотим добиться совпадения коэффициентов в условиитрансмиссии (eα) и в уравнении (ep), нам остается положить k = 1/α1 .1α1= 2 = pekkЕсли α1 было отрицательным, мы, делая линейную замену, поменялиориентацию ребра.

Мы изменили коэффициенты в уравнении и в условияхтрансмиссии, не изменив при этом множество функций, удовлетворяющих этимусловиям. В стартовой вершине условия самосопряженности теперь выполнены.Во всех вершинах, которые примыкают к данной (в частности, в b), домножимусловия трансмиссии так, чтобы для второго конца ребра было выполненоусловие равенства коэффициентов (в точке b на α1 /β1 ).Повторим процедуру, стартовав из вершин, в которых закончили первыйшаг. Ясно, что мы в состоянии охватить всё дерево.αe=26В случае произвольного графа, на перемычках (их будет β1 (Γ)) мы можемосуществить первый этап приведения к самосопряженному виду, но не можемпотом подходящим способом домножить условия трансмиссии. Соответственно,остается еще проверить, выполняются ли равенства (eα = pe).Отметим,что возможность привести задачу к эквивалентнойсамосопряженной отмечается при доказательстве Теоремы 5.9 в книге [15](стр.102), но там используется умножение уравнения на каждом ребре наподходящую константу, что не позволяет сохранить глобальную непрерывностьфункции V (x).Теорема 1.2.

Если λ — корень уравнения (1.4), и оператор может бытьпреобразован в самосопряженный, то существует собственное число µ оператораb такое, что λ − µ = O(h2 ) (то есть λ является асимптотическим собственнымHчислом).Следствие. Для случая, когда рассматриваемый граф — дерево, нашbалгоритм всегда дает приближение к точке настоящего спектра оператора H.1.4. Доказательство теоремы 1.1.Рассматривается задачаb = λψ + O(h2 ), kψk = O(1).HψАсимптотическое решение (асимптотическую собственную функцию) будемискать в виде канонического оператора Маслова, примененного к некоторойфункции. Для ребер, которые соединяют вершины исходного графа, достаточнорассмотреть метод ВКБ. Будем искать решение в видеiSψ = exph(ϕ0 + ϕ1 h + ϕ2 h2 + · · ·).(1.5)Для выписывания условий квантования нам достаточно ограничитьсяпервым членом асимптотики (про то, как добиться точности O(h2 ), будетсказано ниже).

Для этого возьмем в (1.5) только первое слагаемое.Подставляя (1.5) в уравнение на ребре и приравнивая коэффициентыпри одинаковых степенях h, получим при h0 уравнение, которое называетсяуравнением Гамильтона-Якоби:27∂S∂x2+ V (x) = λ.Откуда, выбрав в качестве начальной точки точку a — начальную вершинуребра при заданной параметризации, получаемS=±Zx pλ − V (y)dy.(1.6)aПосле этого, приравнивая коэффициенты при h1 , получим уравнение,называемое уравнением переноса. Используя его решение, строим на ребреасимптотическую собственную функцию в виде1ψ=p·4λ − V (x) xZ pZx piiλ − V (y)dy  + B exp −λ − V (z)dz  .· A exp hha(1.7)aОна зависит от двух постоянных (A и B). Определить значения этихкоэффициентов позволяют условия склейки решения в вершинах графа.Для ребра, соприкасающегося с λ-вершиной, то есть точкой поворота,решение получаем, применяя метод канонического оператора Маслова.

Аименно, вне окрестности λ-вершины, решение в этом случае будет выглядетьтак:1ψ=p4λ − V (x)A cos 1hZx pπλ − V (y)dy −  .4(1.8)aНа каждом ребре выражение (1.7) дает нам решение с заданной точностьюO(h2 ). Но так как мы хотим сохранить условия в вершинах в том же виде, чтои для порядка O(h), мы вынуждены рассмотреть второе слагаемое в (1.5). Аименно, будем искать решение в виде 1iSiSψ=A exp+ B exp −+1/4h (λ − V (x)) hiSiS+h χ1 (x) exp+ χ2 (x) exp −.hh(1.9)28На ребре мы получим, что эта функция, как и (1.7), удовлетворяетуравнению с точностью до O(h2 ). Теперь обратимся к вершинам и распишем(1.3) в точке a подробнее.

Посчитаем производную выражения в (1.9), а последомножим на h:p4iλ−V(a)·Zx pZx pii· A exp λ − V (y)dy  − B exp −λ − V (y)dy  +hh p xp xZ pZ piiλ − V (y)dy  + B exp −λ − V (y)dy  ·+h A exp hhppdV1· (a)+dx4 (λ − V (a))5/4 xZ ppi+χ1 (a) exp λ − V (y)dy  ih λ − V (a)+h p xZ ppi+χ2 (a) exp −λ − V (y)dy ih λ − V (a) + O(h2 ).h(1.10)pТаким образом, если взятьχ1 (a) =i dV(a) A (λ − V (a))−7/4 ,4 dxχ2 (a) = −i dV(a) B (λ − V (a))−7/4 ,4 dxто мы получим, что условия трансмиссии для получения решения сточностью до O(h2 ) будут такими же, как и для O(h).Заметим, что изменение структуры графа все еще дает возможностьполучить погрешность порядка h2 .

На втором шаге алгоритма вводятся новыевершины, которые отмечают точки поворота. Локальные решения вблизитаких точек известны. В области тени решения, ограниченные при h→0,экспоненциально малы. Поэтому исключение соответствующего куска из графане влияет на точность асимптотики.Теперь, для того чтобы обосновать четвертый шаг алгоритма, нужнопосмотреть, какие значения принимают асимптотические решения и ихпроизводные в начальных и конечных точках.29Для решений на ребрах, где нет точек поворота.

Значение в начальнойточке ребра равно Aj + Bj , в конечной Aj eiφj + Bj e−iφj (используем введенноеpранее обозначение φj ). Здесь уже произведено сокращение на ( λ − V (x))q .Оно возможно, так как V (x) является функцией, непрерывной на Γ.Выражение для производной:p04λ − V (x)·hψ=iZx pZx pii· A exp λ − V (y)dy  − B exp −λ − V (z)dz  +hha(1.11)a+O(h).Отметим,чтоусловиетрансмиссиивточкеaаналогичнымобразомможносократитьнаpiqh ( λ − V (a)) и в дальнейшем, говоря об этом уравнении, мы будем сразуподразумевать, что сокращение произведено.Значение производной в начале ребра: Aj − Bj . В конце ребра: Aj eiφj −Bj e−iφj .Для решений на ребрах с точкой поворота. Мы можем использоватьхорошо известный (см.

[10]) вид ограниченного асимптотического решения приналичии точек поворота, приведенный в (1.8).Тогда значение решения в начальной точке с заданной точностью равноA cos(φj − π4 ). Значение производной в начальной точке (после проведенного поаналогии со случаем ребер первого типа сокращения): −A 1i sin(φj − π4 )≡i sin(φj −π4 )A.Осталось пояснить, что для случая вершины исходного графа, имеющейстепень один, получаем (ориентировав ребро соответствующим образом)условие A + B = 0, из которого выражаем B через A и подставляем в (1.11).Отсюда следует, что решение можно записать в следующей форме:ψ = 2Ai11sinh(λ − V (x))1/4Zx pλ − V (y)dy  .(1.12)aСоответствующие значения в конце ребра (при правильной ориентации) длярешения 2iAj sin φj и его производной (после сокращения): 2Aj cos φj .Мы получили линейную однородную систему на коэффициенты Aj и Bj .Условие того, что у этой системы есть нетривиальное решение (равенство нулюопределителя), и есть способ найти правила квантования.30Осталось разобрать два простых случая, которые были упомянуты в концечетвертого шага алгоритма.Эти два графа отнесены к особым, так как у них нет внутренних вершин, вкоторых можно записывать уравнения в соответствии с алгоритмом.Первый случай.

Граф устроен так: две точки a и b соединены однимотрезком. Рассмотрим спектральную задачу.Рис. 1.2. Один отрезок и две обычные вершины.Не повторяясь, сразу выпишем, какие условия наложены на функцию:ψ(a) = 0ψ(b) = 0.(1.13)Тогда система для определения A и B выглядит так:A exp ihZb pA + B = 0,λ − V (y)dy  + B exp −aihZb p(1.14)λ − V (y)dy  = 0.aПолучаем, что для того, чтобы эта линейная однородная система имеланенулевые решения, нужно, чтобыsin 1hZb pλ − V (y)dy  = 0.(1.15)aТо есть:1hπZb pλ − V (y)dy = k, k ∈ Z.(1.16)aВторой случай.

Вершины снова две, но одна из них — λ-вершина. (Этотслучай может быть получен из более сложного графа после второго шагаалгоритма.) Ориентируем ребро из “старой” вершины в λ-вершину.31Рис. 1.3. Один отрезок и одна точка поворота.Решение имеет вид (1.8). В вершине исходного графа оно должно быть равнонулю. Получаем условие:cos 1hZb pπλ − V (y)dy −  = 0.4(1.17)3+ k, k ∈ Z.4(1.18)aОкончательно имеем1hπZb pλ − V (y)dy =a1.5. Примеры.Здесь приведен ряд примеров. Обозначение φj было введено на четвертомRb pλ − Vj (y)dy — интеграл берется пошаге алгоритма. Напомним, что φj = h1aребру.1.5.1.

Характеристики

Список файлов диссертации