Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Случай двух двух точек, соединенных двумя отрезками.Возьмем следующий граф: две точки a и b, соединенные двумя отрезками.Пусть, сначала, везде λ < minV (x).Рис. 1.4. Две обычные вершины соединены двумя отрезками.Правило квантования имеет вид32cos (φ1 + φ2 ) (α1 − α2 )(β1 − β2 ) − cos (φ1 − φ2 ) (α1 + α2 )(β1 + β2 )+(1.19)+2(α1 β2 + α2 β1 ) = 0.Здесь αj обозначают коэффициенты в условиях трансмиссии в вершине a, аβj , соответственно, в вершине b.Рассмотрим частный случай, когда α1 = −α2 или β1 = −β2 . Получаем, чтотогда условие квантования имеет вид cos(φ1 + φ2 ) = 1, то есть1 2hπZb pZb p1 λ − V1 (y1 )dy1  +λ − V2 (y2 )dy2  = k, k ∈ Z.2hπa(1.20)a1.5.2. Дерево с двумя λ-вершинами.Если мы откажемся от условия λ < min V (x), то на ребрах рассмотренного[a,b]выше графа могут появиться λ-вершины.Если по одной λ-вершине появляется на каждом из ребер исходного графана втором шаге алгоритма, то получаем объект, изображенный на рисунке 1.5.Рис.

1.5. Две новые вершины и одна старая.Условия квантования имеют видππππα1 sin φ1 −cos φ2 −+ α2 sin φ2 −cos φ1 −= 0.4444Рассмотрим частный случай α1 = α2 , соответствующий склеиванию из двухотрезков одного. Получаем1hπZa pb1λ − V (y1 )dy1 +hπZa pcλ − V (y2 )dy2 =1+ n, n ∈ Z.233Это условие в точности совпадает с правилом Бора-Зоммерфельда дляслучая решения, заключенного между двумя точками поворота.1.5.3. Граф K1,3 .Рассмотрим звездный граф K1,3 все вершины которого, кроме центральной,являются точками поворота (см.

рис. 1.6).Рис. 1.6. K1,3 с тремя λ-вершинами.Правило квантования для этого графа:(α1 − α3 − α2 ) sinπ+ φ1 − φ2 − φ3 +4π+ (α3 − α1 + α2 ) cos+ φ1 + φ2 − φ3 +4π+ (α2 − α1 − α3 ) cos+ φ1 + φ3 − φ2 −4π− sin+ φ1 + φ2 + φ3 (α1 + α3 + α2 ) = 0.4(1.21)Теперь рассмотрим K1,3 , у которого имеется только одна λ-вершина (см.рис.1.7).Правило квантования:ππ+ α3 sin φ1 sin φ2 cos φ3 ++α1 cos φ1 sin φ2 sin φ3 +44π+α2 sin φ1 sin φ3 +cos φ2 = 0.4(1.22)34Рис. 1.7. K1,3 с одной λ-вершиной.1.6.

Асимптотические собственные значения, соответствующиесобственным функциям, локализованным в вершине графа.Ранее мы рассматривали ту часть спектра, которой соответствуютсобственные функции, осциллирующие на ребрах.Теперь перейдем ксобственным значениям, соответствующим функциям, локализованным в однойточке и имеющим вид: V (a) + O(h). Случай, когда решение сконцентрированона ребре, не представляет для нас интереса, т.к. полностью описан, например,в [11]. Если решение локализовано в вершине графа, то верна следующаятеорема.Теорема 1.3.

Пусть для потенциала V (x) в точке a выполнены следующиеусловия:1) значения первых односторонних производных Vj0 (a) для каждого ребраравны нулю,2) значения вторых односторонних производных Vj00 (a) совпадают иположительны.Тогда существует асимптотическое собственное числоrV 00 (a)h + O(h3/2 ).E = V (a) +2Другими словами, существует непрерывная на графе и гладкая на ребрахbфункция ξ(x) такая, что Hξ(x)= Eξ(x) + O(h3/2 ). Если рассматриваемыйоператор является самосопряженным, то построенное E приближает точноесобственное значение µ (расстояние между ними есть величина порядкаO(h3/2 )).35Этот вариант осцилляторного приближения не учитывает глобальнуюструктуру графа.Замечание.Старшая часть асимптотической собственной функциипри выполнении условий Теоремы 1.3 имеет вид exp(S/h)c0 и не зависит,как и асимптотическое собственное значение с точностью до O(h3/2 ), откоэффициентов в условии трансмиссии.

Но на следующие поправки это условиеуже влияет. В частности, для получения приближения порядка O(h5/2 ) длясобственных чисел нужно, дополнительно к условиям теоремы, потребовать,чтобы значения односторонних третьих производных Vj000 (a) совпадали поPмодулю, а их знаки удовлетворяли условиюαj sgn(Vj000 (a)) = 0.jДоказательство. Следуя идеям, изложенным в [10], будем искать решениеспектральной задачи на каждом ребре в видеiS jψ j = exph(ϕj0 + ϕj1 h + ϕj2 h2 + O(h5/2 )),E = E0 + E1 h + E2 h2 + O(h5/2 ).(1.23)(1.24)Рассмотрим спектральную задачу на каждом ребре отдельно.

Приравниваяслагаемые при одинаковых степенях h, получим уравнение на S (котороеназывается уравнением Гамильтона-Якоби и соответствует h0 ) и уравнение наϕjm (уравнение переноса). Будем искать их решения в окрестности точки a ввиде отрезков ряда Тейлора. Для этого возьмем функцию S j в видеS j = S2j (x − a)2 + S3j (x − a)3 + S4j (x − a)4 + O((x − a)5 )).(1.25)Функции ϕjk разложим в ряд до членов порядка O((x − a)3 ):ϕj0 = cj0 + cj1 (x − a) + cj2 (x − a)2 + O((x − a)3 ), ϕj1 = dj0 + dj1 (x − a) ++ dj2 (x − a)2 + O((x − a)3 ). Функцию V (x), ограниченную на ребро, запишем так:V j (x) = V0j + V1j (x − a) + V2j (x − a)2 + V3j (x − a)3 + O((x − a)4 ).Воспользуемся тем, что (x − a)m exp((x − a)/h) = O(hm/2 ).Приравнивая слагаемые одного порядка малости,алгебраических уравнений. А именно:получим системуПри h0 : V0j cj0 = E0 cj0 .

Для порядка h1/2 : (x − a)(V0j cj1 + V1j cj0 ) = E0 cj1 (x − a).Для порядка h1 : 4(S2j )2 (x − a)2 cj0 − 2iS2j cj0 + V0j c2 (x − a)2 + dj0 V0j + V1j cj1 (x − a)2 ++ V2j (x − a)2 cj0 = E0 c2 (x − a)2 + E1 cj0 + E0 dj0 .36Vqj (a),2V1j = (V j )0 (a) = 0. Далее 4S2j +V2j = 0, E1 = −2iS2j . Следовательно, E1 = V2j .Уравнение для слагаемых порядка h3/2 даст, после необходимых сокращений:12S2j S3j + V3j = 0, 2S2j cj1 + 3S3j cj0 = 0.Отсюда получаем, что система разрешима, если значения первыходносторонних производных (при подходе по каждому ребру) от потенциалав вершине равны нулю, а значения вторых односторонних производныхположительны (это следует из того, что ψ должна быстро убывать с удалениемот точки) и совпадают.Теперь рассмотрим условия трансмиссии и условие непрерывности решенияв вершине.

Подставляя вид ψ в условия непрерывности, получим, что значенияϕj0 (a) должны совпадать. Условие трансмиссии, взятое с точностью до O(h2 ),P j jP j jзапишется в виде:α c1 = 0 иα d1 = 0 и тем самым влияет только напоправку порядка h1/2 к собственной функции.Решая ее (на каждом ребре отдельно), находим, что E0=1.7.

Описание ядер для случая нулевого потенциала.Рассмотрим оператор Лапласа (оператор Шредингера с нулевымпотенциалом) на графе.Для компактных гладких многообразий без края хорошо известна связьядра оператора Лапласа, действующего на k-формах, с топологическимихарактеристиками многообразия (см., например, книгу [18] и ссылки в ней).Естественно возникает вопрос: справедливы ли аналогичные свойства длястратифицированных множеств, в частности, для геометрических графов? Нанего дают ответ приведенные ниже утверждения. Граф компактен. Функциипредполагаются непрерывными.В дальнейшем тексте предполагается, что условия трансмиссии имеют видусловий Кирхгофа.Утверждение 2 Размерность ядра оператора Лапласа, действующего на0-формах, определенных на геометрическом графе, равна числу связныхкомпонент графа, не содержащих висячих вершин (то есть, не имеющихкрая).Доказательство.

Это утверждение непосредственно следует из результатов,изложенных в [15].Следствие 2 Теоремы 3.1 (стр.61) утверждает,37что если u(x) — гармоническая функция без нулей в Γ, то для любойдругой гармонической на Γ функции w(x), неколлинеарной u(x), отношениеw(x)/u(x) не может иметь внутри Γ ни глобальных максимумов, ни глобальныхминимумов. Рассмотрим одну связную компоненту графа и возьмем в качествеu(x) константу.

Предположим, что существует гармоническая функция неколлинеарная u(x), и придем к противоречию. Таким образом, на каждойсвязной компоненте гармоническая функция может быть только константой.Если висячих вершин нет, то эту постоянную можно выбирать произвольнымобразом. Если же в какой-то связной компоненте есть висячая вершина, то из-заналичия в ней условия Дирихле, константа будет нулевой.Отметим, что условия трансмиссии не обязательно должны иметь видусловий Кирхгофа. Приведем простой пример, который показывает, чторазмерность ядра и в том случае, когда знаки коэффициентов не согласованыс ориентацией, равна единице (для связного графа) почти для всех значенийкоэффициентов. Рассмотрим следующий граф: две точки a и b, соединенныедвумя отрезками (см. рисунок 1.4).

В ядре лежат функции, непрерывные навсем Γ и линейные на каждом из ребер. Нетрудно показать, что для всех αj(коэффициенты в вершине a) и βj (коэффициенты в вершине b), для которых невыполнены соотношения: α1 l2 = α2 l1 , β2 l1 = β1 l2 (li — длины отрезков), ядробудет одномерным. В противном случае его размерность будет равна двум.Нужно отметить, что утверждение, аналогичное Утверждению 2, былополучено в недавно вышедшей работе [30] для случая натуральных условийтрансмиссии.Перейдем к рассмотрению 1-форм на геометрических графах.

Будемрассматривать только графы без висячих вершин.Определение. На каждом ребре рассмотрим выражение вида fj (x)dx, и пустьв вершинах будет выполнено условиеXσ(γj , a)fj (a) = 0,(1.26)γj ∈Γ(a)где σ(γj , a) = 1, если ребро входит в вершину, и σ(γj , a) = −1, если выходит.Такую совокупность будем называть 1-формой на графе.Теперь определим лапласиан на 1-формах. Оператор Лапласа действует на1-формы, для которых fj (x) — гладкие функции на ребрах, удовлетворяющиекраевым условиям38Xσ(γj , a)fj0 (a) = 0,(1.27)γj ∈Γ(a)здесь σ(γj , a) = 1, если ребро входит в вершину, и σ(γj , a) = −1, есливыходит. На каждом ребре оператор задается соотношением 4 = dd∗ + d∗ d(см. [18]).Отметим, что на каждом ребре оператор Лапласа форме fj (x)dxсопоставляет форму −fj00 (x)dx.

Действительно, слагаемое d∗ d обращается вноль, так как d(fj (x)dx) = 0. Рассмотрим первое слагаемое d∗ = − ∗ d∗.Справедливы следующие соотношения: ∗(fj (x)dx) = fj (x), d(fj (x)) = fj0 (x)dx,∗(fj0 (x)dx) = fj0 (x), d(−fj0 (x)) = −fj00 (x)dx.Утверждениеусловиямивершин,1-формы, равна3 Дляоператоратрансмиссии,наразмерностьядра,первому числу Бетти.ЛапласаграфеприcнатуральнымибезвисячихдействиинаДоказательство.

На каждом ребре 1-форма, которая лежит в ядре, имеетвид (cj x + bj )dx. Условия трансмиссии в определении оператора совпадаютс условиями трансмиссии для случая функции на графе. Они определяютcj . Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве Утверждения 2 дляслучая функций, получим, что все cj равны нулю. Связь между bj найдемиз краевых условий, входящих в определение 1-формы. Выписываем системулинейных алгебраических уравнений для определения постоянных.

Из того, чтокраевые условия имеют указанный вид, непосредственно следует, что матрицасистемы будет совпадать с матрицей инцидентности графа. Воспользуемсяшироко известным фактом, что ранг в этом случае равен числу вершин минусчисло связных компонент графа (см. [9]), то есть M − P . Следовательно,размерность пространства решений будет равна числу ребер минус числовершин и плюс число связных компонент (N −(V −P )). Отсюда и из определениячисла Бетти непосредственно следует утверждение.392. Квазиклассическая асимптотика истатистические свойства гауссовыхпучков для нестационарного уравненияШредингера на геометрическом графе.2.1. Вводные замечания.В настоящей главе изучаются свойства уравнения в частных производных(нестационарного уравнения Шредингера), пространственная переменная вкотором меняется на геометрическом графе.

Характеристики

Список файлов диссертации