Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(1,1) (1,1)(1,1)Начальные данные полностью определяют ψ= exp iS h (x,t) ϕ0 (t).u(γ1 ) (x, t) = ψ (1,1) (x, t) + ψ (1,2) (x, t),u(γ2 ) (x, t) = ψ (2,1) (x, t),u(γ3 ) (x, t) = ψ (3,1) (x, t).Получаем условия:ψ (1,1) (x, t) + ψ (1,2) (x, t) = ψ (2,1) (x, t) = ψ (3,1) (x, t),α1(2.37)∂ψ (1,2)∂ψ (1,1)∂ψ (2,1)(0, β) +(0, β) + α2(0, β)+∂x∂x∂x(2.38)∂ψ (3,1)+α3(0, β) = 0.∂xУчтем тот факт, что∂S (1,1)∂S (1,2)(0, β) = −(0, β),∂x∂x∂S (2,1)∂S (1,1)(0, β) = −(0, β),∂x∂x∂S (3,1)∂S (1,1)(0, β) = −(0, β).∂x∂x(1,1)(1,2)(2,1)Из (2.37) следует, что S0 (0, β) = S0 (0, β) = S0(1,1)(1,2)(2,1)(3,1)Кроме того, ϕ0 (β) + ϕ0 (β) = ϕ0 (β) = ϕ0 (β).Тогда из (2.38) получаем(1,1)α1 ϕ 0В итоге,выражение:(1,2)(1,1)(1,2)(β) − α1 ϕ0 (β) − α2 (ϕ0 (β) + ϕ0(1,1)(1,2)−α3 (ϕ0 (β) + ϕ0 (β)) = 0.(3,1)(0, β) = S0(β))(0, β).(2.39)получаем для амплитуды отраженного квантового пакета49α1 − α2 − α3 (1,1)ϕ (β),(2.40)α1 + α2 + α3 0а для амплитуд прошедших квантовых пакетов — одинаковые выражения:(1,2)ϕ0(2,1)ϕ0(β) =(3,1)(β) = ϕ0(β) =2α1(1,1)ϕ0 (β).α1 + α2 + α3(2.41)2.2.5.
Случай петли.Граф представляет собой окружность с одной выделенной точкой, в которойзаданы условия трансмиссии. Начальные условия заданы в некоторой другойточке x = x0 .Сперва квантовый пакет, определенный начальными данными, достигнетвершины графа. После этого два квантовых пакета будут двигаться впротивоположных направлениях (это, по сути, случай двух ребер, соединенныхв одной вершине, разобранный ранее). Покажем, что оба этих квантовых пакетавернутся в вершину графа в один и тот же момент, если потенциал не зависитявным образом от времени.На уровне энергии имеем: P 2 + V = E.
Отсюда, и из системы Гамильтона,получаем, что±dxdt = p.2 E − V (x)Разные знаки здесь соответствуют разным квантовым пакетам. Однако,абсолютное значение промежутка времени, которое мы получим послеинтегрирования, для обоих случаев совпадает.Таким образом, на петле в каждый момент времени будет находиться неболее двух квантовых пакетов.Нормируем коэффициенты в условии трансмиссии, а именно, потребуем,чтобы α1 + α2 = 1.Утверждение 7 Рассмотрим задачу Коши для нестационарного уравненияШредингера на графе-петле.Тогда квазиклассическое решение будетпредставлять собой два гауссова пакета, движущихся на графе.
Причемв момент отражения амплитуда того квантового пакета, которыйсоответствует “волне”, “прошедшей” на первом шаге, равна, после n(1,1)отражений, (2nα1 − n + 1)ϕ0 , а амплитуда того, который соответствует(1,1)“отраженной волне”, равна (2nα1 − n)ϕ0 .50Доказательство. Применим принцип математической индукции. Для волны,пришедшей слева, коэффициент прохождения равен 2α1 , а отражения α1 −α2 = 2α1 − 1. Для волны, пришедшей справа, коэффициенты вычисляютсясимметрично. А именно: прохождения 2α2 = 2 − 2α1 , отражения α2 − α1 =1 − 2α1 .Рассмотрим n = 2.
Уйдет налево суммарно (повторяющийся множитель(1,1)ϕ0опустим): (2α1 )2 − (α1 − α2 )2 = 4α1 − 1. Уйдет направо суммарно: 2α1 (α1 −α2 ) + 2α2 (α1 − α2 ) = 4α1 − 2. Утверждение верно.Теперь предположим, что оно уже доказано для некоторого k, и покажем,что из этого следует, что оно выполняется при k + 1.Итак, на следующем шаге для волны, пришедшей слева: пройдет 2α1 (2α1 k −k + 1), отразится (2α1 − 1)(2α1 k − k + 1). А для волны, пришедшей справа:пройдет (2 − 2α1 )(2α1 k − k), отразится (1 − 2α1 )(2α1 k − k).Итого, после очевидных сокращений, уйдет налево: 2α1 (k + 1) − (k + 1) + 1,направо: 2α1 (k + 1) − (k + 1). Что и требовалось доказать.Замечание. В самосопряженном случае коэффициенты α равны (а графпревращается в окружность без выделенных точек), и единственный квантовыйпакет, не меняя амплитуды, движется по окружности.2.2.6.
Распространение квантовых пакетов на произвольном графе.Приведенныевышерассужденияпозволяютописатьпроцессраспространения гауссовых пакетов на произвольном геометрическом графе.На каждом ребре это делается с помощью комплексного ростка Маслова(то есть, при помощи нахождения решений гамильтоновой системы и еелинеаризации).А для описания поведения в вершинах графа достаточнорассмотреть случай звездного графа.Обобщаяприведенныевышерассуждения,можносформулироватьследующее утверждение.Теорема 2.1.Дан звездный граф, причем валентность единственнойвершины a равна n. Пусть начальные данные имеют вид (2.2), где точка x0лежит на одном из ребер.
Тогда решение задачи∂ψ(x, t)b+ O(h3/2 )Hψ(x,t) = ih∂t51представляет собой, в любой конечный момент времени, jсумму конечногоiS (x,t)числа квантовых пакетов, то есть, функций вида expϕj (t), где S j =hS0j (t) + (x − xj (t))S1j + S2j (x − xj (t))2 , Im S2j > 0.Говоря точнее, пришедший в вершину a пакет разделяется на n пакетов,бегущих по инцидентным вершине ребрам. На каждом из ребер решениеопределяется гамильтоновой системой обыкновенных дифференциальныхуравнений (2.7) и ее линеаризацией (2.8).
Причем начальные значения дляамплитуд определяются следующими формулами.Для отраженного квантового пакета:α1 − α2 − · · · − αn (1,1)ϕ (β).α1 + α2 + · · · + αn 0Для прошедших квантовых пакетов:(1,2)ϕ0(β) =(k,1)ϕ0(β) =2α1(1,1)ϕ0 (β),α1 + α2 + · · · + αn(2.42)(2.43)гдк k = 2, . . . , n.Здесь β — момент времени когда, исходный пакет пришел в точку a.b является самосопряженным,Если стоящий в левой части оператор Hто это решение отличается от точного решения нестационарного уравненияШредингера не более, чем на O(h1/2 ).Доказательство опирается на тот факт, что нам известен вид решенияна каждом из ребер. Будем считать, что ребро, по которому пакет пришелв вершину, имеет номер 1.
Используяранее обозначение для (k,j) введенное(k,j)iS(x,t)(k,j)отдельного пакета ψ(x, t) = expϕ0 (t), запишем решения наhребрах: u(γ1 ) (x, t) = ψ (1,1) (x, t) + ψ (1,2) (x, t), u(γj ) (x, t) = ψ (j,1) (x, t) для j> 1.(1,1)(1,1)Начальные данные полностью определяют ψ (1,1) = exp iS h (x,t) ϕ0 (t),подробности приведены в Утверждении 4.Для постановки краевых условий для ψ (1,2) (x, t) и ψ (j,1) (x, t), j > 1 выпишемусловия непрерывности решения на всем графе u(γ1 ) (0, β) = u(γj ) (0, β) j > 1 иусловия трансмиссии:Xγj ∈Γ(a)∂u(γj )αj(0, β) = 0.∂xУчтем тот факт, что∂S (1,2)∂S (1,1)(0, β) = −(0, β)∂x∂x(2.44)52и∂S (j,1)∂S (1,1)(0, β) = −(0, β),∂x∂xдля индексов j > 1.(1,2)(j,1)(1,1)Из условия непрерывности следует, что S0 (0, β) = S0 (0, β) = S0 (0, β),(1,1)(1,2)(j,1)j > 1. Кроме того, ϕ0 (β) + ϕ0 (β) = ϕ0 (β), j > 1.Эти уравнения, совместно с требованием отсутствия точек поворота,приводят к искомым формулам.
Корректность постановки краевой задачи дляψ (1,2) (x, t) подробно обсуждается в доказательстве Утверждения 5.Итак, мы можем описать эволюцию гауссова пакета в случае произвольногографа. В каждой из вершин, до которой дошел квантовый пакет, можноприменить (2.42) и (2.43). Получаем решение уравнения (2.1) на подграфеисходного графа, содержащем точку, в которой заданы начальные данные.Таким образом, квазиклассическое решение задачи Коши в любой конечныймомент времени будет представлять собой конечное количество гауссовыхпакетов, движущихся на геометрическом графе.Замечание.
Случай α1 + α2 + · · · + αn = 0 отвечает несамосопряженномуоператору и не имеет физического смысла. В статье [8] доказано, что спектрсоответствующего оператора заполняет всю комплексную плоскость.Нужно отметить схожесть выражений (2.42) и (2.43) и формул, полученныхдля случая гиперболического уравнения в [14].2.3. Статистика распространения квантовых пакетов.Как было доказано в предыдущем разделе, квазиклассическое решениезадачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с начальнымиусловиями вида (2.2) имеет вид Ψ(x, t) + O(h1/2 ), где Ψ(x, t) — конечная суммагауссовых пакетов.
В этом разделе мы будем рассматривать асимптотикуфункции Ψ(x, t) при t→∞, а именно будем изучать, как меняется со временемчисло квантовых пакетов. Заметим, что эта задача отличается от задачиописания асимптотики решения уравнения Шредингера при t→∞, так какоценка остатка справедлива только на конечных временах. С физическойточки зрения это означает, что мы рассматриваем времена больши́е, но многоменьшие, чем 1/h.В этом разделе изучаются только конечные графы с компактными ребрами.Условия трансмиссии в вершинах будем брать такими, чтобы оператор53Шредингера был самосопряженным (см.
[36]). В этом случае из формул (2.42) и(2.43) следует, что в вершинах степени 2 число квантовых пакетов не меняется(так как у отраженного квантового пакета нулевая амплитуда). Графы, вкоторых нет вершин степени 2, будем, следуя [30], называть чистыми. Ниже втексте мы рассматриваем только такие графы.Кроме того, из формул (2.42) и (2.43) следует, что если квантовый пакетпроходит вершину степени v, то при этом образуется ровно v новых квантовыхпакетов.Рассмотрим величину tj — время прохождения квантовым пакетом jтого ребра. Напомним, что во второй части главы показано, что времяпрохождения определяется решениями гамильтоновой системы, при данныхначальных условиях.
Будем предполагать, что tj линейно независимы надполем Q (ситуация общего положения).2.3.1. Асимптотика числа квантовых пакетов.Определим функцию N (T ) как число квантовых пакетов на графе к моментувремени T .Пусть ωj — это частота прохождения j-го ребра, то есть ωj = 1/tj .Утверждение 8 Для звездного графа (состоящего из одной вершинывалентности v и v вершин степени 1, которые соединены с первой)справедлива формулаРис.
2.2. Граф, имеющий форму звезды, v = 6.54N (T ) =v−1Pk=1k(v − k)CvPi=1W (4ik (ω1 T /2, . . . , ωk T /2)),(2.45)здесь W (4ik ) — это число точек целочисленной решетки, которые лежатна i-ой грани k-мерного симплекса 4k , со сторонами ω1 T /2, . . . , ωk T /2.Учитываются только грани старшей размерности, инцидентные началукоординат.Рис. 2.3. Симплексы, v = 3.N (T ) =1σv−1 (ω1 , . . . , ωv )T v−1 + o(T v−1 ).v−12 (v − 1)!(2.46)Здесь σk — стандартный симметрический многочлен степени k.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
